2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量重难专攻(七)　立体几何中的综合问题

重难专攻（七）立体几何中的综合问题随着高考改革的不断深入，立体几何中的翻折、探究、动态等问题备受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”，将其转化为平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决.翻折问题【例1】如图，已知Rt△ABC和Rt△DBC，AB＝AC，BC＝2BD＝2，A＝90°，D＝90°，将Rt△ABC翻折到△A'BC的位置，使二面角A'-BC-D成30°角，E为边CD上的点，且CE＝2ED.（1）证明：BC⊥A'E；（2）求直线A'D与平面A'BC所成角的正弦值.解题技法翻折问题的两个解题策略如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4，求直线DE到平面PBC的距离.探究性问题【例2】（2024·襄阳模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PB⊥AC，点P在底面ABC上的射影为点H.（1）证明：PC⊥AB；（2）设PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点M，是否存在λ，使得CM＝λCP，且BM与平面PAB所成角的余弦值为45？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由解题技法利用空间向量巧解探究性问题的策略（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.提醒探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.动态问题考向1轨迹问题【例3】（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1上运动，若AP⊥D1M，则动点P的轨迹为（）A.两个点 B.线段C.圆的一部分 D.抛物线的一部分（2）点P为棱长是25的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A.π B.2πC.4π D.25π听课记录解题技法解决动点轨迹问题的方法（1）几何法：根据平面的性质进行判定；（2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算；（3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.考向2空间位置关系的判定【例4】（多选）已知P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（）A.AB⊥PQB.平面BPQ∥平面ADD1A1C.四面体ABPQ的体积为定值D.AP∥平面CDD1C1听课记录解题技法解决空间位置关系的动点问题的方法（1）应用“位置关系定理”转化；（2）建立“坐标系”计算.考向3最值（范围）问题【例5】如图，在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝π3，SA＝3.点P在线段SD上且满足SP＝λSD，试确定λ的值，使得直线BP与平面PCD所成的角最大解题技法立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思路是：（1）直观判断：判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大（小）值；（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解.1.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝M