2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量第七节　用空间向量研究夹角问题VIP

第七节用空间向量研究夹角问题能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.异面直线所成角若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则cosθ＝｜cos＜a，b＞｜＝.提醒两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.2.直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sinθ＝｜cos＜a，n＞｜＝.提醒直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π3.平面与平面的夹角（1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝n1·n2（2）二面角：二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cosφ｜＝cosθ＝｜n1·n提醒注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为［0，π21.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（）（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.（）（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.（）2.已知直线l1的方向向量s1＝（1，0，1），直线l2的方向向量s2＝（－1，2，－2），则l1和l2夹角的余弦值为（）A.24 B.C.22 D.3.已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于.4.已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－12，则l与α所成的角为5.已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的二面角的大小为.最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB＝∠BOC＝45°，则∠AOC的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°异面直线所成的角【例1】（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2 B.C.π4 D.（2）有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB与CD所成角的正弦值为.听课记录解题技法用向量法求异面直线所成角的步骤1.如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO⊥α，且PO＝4，OA，OB为圆O的半径，且∠AOB＝90°，M为AB的中点，则异面直线OB与PM所成角的余弦值为.2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF＝λAD，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ＝直线与平面所成的角【例2】（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.（1）证明：A1C＝AC；（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.解题技法利用空间向量求线面角的解题步骤提醒线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值.在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M为AD的中点.（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.平面与平面的夹角（二面角）【例3】（2023·天津高考17题节选）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.（1）求证：A1N∥平面C1MA；（2）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值.解题技法向量法求平面与平面的夹角（二面角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量