2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量第六节　用空间向量研究线、面位置关系及距离

第六节用空间向量研究线、面位置关系及距离1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R）l1⊥l2n1⊥n2⇔＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔（k∈R）平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝km（k∈R）α⊥βn⊥m⇔n·m＝03.空间距离（1）点到直线的距离：设AP＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝｜AP｜2（2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ＝AP·n｜n｜（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的方向向量是唯一确定的.（）（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（）（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（）（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量AB的长度.（）2.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝153.已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（）A.4 B.3C.2 D.14.在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（）A.3 B.583C.21735.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），AB＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是.用空间向量证明平行关系【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18题节选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.证明：B2C2∥A2D2.解题技法利用空间向量证明平行关系的方法和步骤（1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上；（2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内；（3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内（也可转化为证明线面平行、线线平行）.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.用空间向量证明垂直关系【例2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：平面DEA⊥平面ECA.解题技法利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤（1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零；（2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明；（3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.用空间向量求空间距离【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点C1到平面ABN的距离.