2025版一轮高考总复习数学第九章教考衔接9⇒概率模型的辨识与应用

概率模型的辨识与应用典例展示【例】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和；（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X3；（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4（N－M≥n＞0，M≥n）.解法探究二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点，在有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.五种常见的概率模型及应用模型1相互独立事件的概率模型【例1】（2024·大连模拟）现有甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分，先得11分者该局获胜.（1）已知某局比赛中双方比分为8∶8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11∶9（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X反思感悟相互独立事件概率模型的特征（1）实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响；（2）A1，A2，…，An相互独立，则满足P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）；（3）求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概率求值.模型2条件概率模型【例2】为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植A后会有13的可能性种植B，23的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为14，种植C的概率为34；在每次种植C的前提下再种植A的概率为25，（1）在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率；（2）在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望.反思感悟求条件概率的常用方法（1）定义法：P（B｜A）＝P（（2）样本点法：P（B｜A）＝n（（3）缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.模型3二项分布概率模型【例3】国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我买单”促销活动，顾客消费满300元（含300元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，若摸出2个红球，1个白球，则享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折.（1）某顾客恰好消费300元，并选择方案一抽奖，求他实付金额的分布列和期望；（2）若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合适.反思感悟二项分布概率模型的特征（1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变.模型4超几何分布概率模型【例4】已知条件①采用无放回抽取，条件②采用有放回抽取，在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的按条件①的解答计分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.反思感悟超几何分布概率模型的特征（1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同；（3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数；（4）该问题属于不放回抽取问题.模型5正态分布概率模型【例5】（2024·广州一模）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9.（1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X～N（5.5，σ2）.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.反思感悟正态分布概率模型的特征（1）一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布.正态分布是最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等；（2）解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到转化和数形结合思想.高考还可这样考（2024·惠州一模）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围，举办了“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是12，且每次答题互不影响（1）若在不多于两次答题就决出胜负的情况下，则挑战者获胜的概率是多少？（2）在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？（3）现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续