《电磁场与电磁波 》课件第8章

第8章导行电磁波8.1引言

8.2规则导行系统的导波方程及其求解方法8.3导行波的一般传输特性

8.1

引言

波导的主要功能有：①无辐射损耗地引导电磁波沿其轴向行进，将能量从一处传输至另一处，其称之为馈线；②设计构成各种微波电路的元件，如滤波器、阻抗变换器、定向耦合器等。波导包括双导体系统、单导体系统和介质导行系统等，但在习惯上，往往对不同形式的波导赋予一些专有的名称，如图8－1所示。按结构不同把双导体系统分别称为平行双线传输线、同轴线、带状线及微带等；把空心金属管的单导体系统，按其截面形状分别称为矩形波导、圆形波导、脊形波导和椭圆波导等；而把介质导行系统又分别称为介质波导、镜像线和单根表面波传输线等。

图8-1导行系统种类(1)双导体系统；（2）单导体系统；（3）介质导行系统（a）平行双线传输线；（b）同轴线；（c）带状线；（d）微带；（e）矩形波导；（f）圆形波导；（g）脊形波导；（h）椭圆波导；（i）介质波导；（j）镜像线；（k）单根表面波传输线

8.2规则导行系统的导波方程及其求解方法

8.2.1导波方程图8-2所示的是任意截面形状的规则波导，为了求解简单起见，作如下假设：（1）波导内壁的电导率为无限大。（2）波导内的介质（μ，ε）是均匀无耗、线性、各向同性的。（3）波导内无自由电荷和传导电流，即波导远离波源。

又设导行波的电场和磁场为时谐场，它们满足如下麦克斯韦方程：

（8-1）

（8-2）

（8-3）

（8-4）

式中，ε和μ分别为介质的介电常数和磁导率，ω为角频率。

图8-2导行波沿规则波导传播

将式（8-2）两边取旋度，并将式（8-1）代入，得到

应用矢量公式

及式（8-4），得到

（8-5）

同理可得

（8-6）

式中，k2=ω2με。式（8-5）和式（8-6）分别称为电场E和磁场H的波动方程，也称为齐次亥姆霍兹方程。8.2.2纵向场所满足的导波方程为求解式（8-5）和式（8-6），需要将矢量方程化为标量一维常微分方程，然后用分离变量法求解。对于图8-2所示的规则柱形波导，应采用广义柱坐标系（u,v,z）。设导波沿波导轴向（+z方向）传播，波动因子为e-jβz（若考虑导体和介质损耗，则波动因子为e-γz，γ为传播常数，其值为α+jβ），β为相位因数。根据假设，规则波导是无限长直波导，其截面形状与z无关，因此，横向坐标度量系数h1和h2与z无关，其坐标度量系数满足如下条件：

或

哈密顿算子▽、拉普拉斯算子▽2和电场E、磁场H可以表示成

（8-7）

（8-8）

（8-9）

（8-10）

角标T表示横向分量。将式（8-7）、式（8-9）和式（8-10）代入式（8-1）和式（8-2），展开后令方程两边的横向分量和纵向分量分别相等，得到

（8-11a）

（8-11b）

（8-12a）

（8-12b）

对式（8-12a）进行▽T×运算，得到

（8-13）

应用矢量公式

（8-14）

及方程（8-4），式（8-13）的左边得到

再次应用矢量公式（8-14）及式（8-11b）和式(8-12b)，式（8-13）的右边得到

则式（8-13）现在变成

（8-15）即得到导波的横向电场所满足的波动方程：

（8-16）同理，可得到导波的横向磁场所满足的波动方程：

（8-17）

式（8-16）和式（8-17）为矢量亥姆霍兹方程。将方程（8-5）的左边展开，并应用式（8-16），得到

即得到导波的纵向电场所满足的波动方程：

（8-18）

同理，可得到导波的横向磁场所满足的波动方程：

（8-19）

式（8-18）和式（8-19）是标量亥姆霍兹方程。将式（8-8）代入式（8-18）和式（8-19），得到

即

（8-20）

式中

（8-21）8.2.3边界条件规则波导中的导波场应该满足理想导体边界条件，即要求在理想导体表面上电场的切向分量和磁场的法向分量应等于零。在具体求解时，根据导波的模式只需使用其中一个条件就够了，即要求

（8-22）

或者

（8-23）

式中en为波导壁内法向单位矢量。

8.2.4横向场与纵向场之间的关系

将式（8-1）和式（8-2）在广义柱坐标系展开后分别得到

和

经替换整理，并将代入得到

（8-24a）

写成矩阵形式为

（8-24b）

式（8-24）即为用纵向场Ez和Hz表示横向场分量的表达式，只要知道了Ez或/和Hz，就可由此式求出导波的横向场分量。8.2.5规则波导中导波的种类导波是在规则波导中传输的电磁波，它具有不同的模式，称为导模（guidedmode），又称为传输模、正规模，是能够沿导行系统独立存在的场型，其特点是：①在导行系统横截面上的电磁场呈驻波分布，且是完全确定的，这一分布与频率无关，并与横截面在导行系统上的位置无关；②导模是离散的，具有离散谱，当工作频率一定时，每个导模具有唯一的传播常数；③导模之间相互正交，彼此独立，互不耦合；④具有截止特性，截止条件和截止波长因导行系统和模式而异。

满足式（8-21）的传输模，按其有无纵向场分量Ez和Hz分为以下三类：（1）Ez=0和Hz=0的导模称为横电磁模，记为TEM模。这种模只能存在于双导体或多导体导行系统中。由式（8-24）可知，此时k2c=0，即β2=k2，则（8-25）

表明TEM模沿轴向传播的相速度vp与同一介质中平面波的速度v相等。

（2）Ez=0而Hz≠0的导模称为横电模或磁模，记为TE模或H模；Hz=0，而Ez≠0的导模称为横磁模或电模，记为TM模或E模。因为空心金属波导管中只能传输这类模式，所以也将它们称做波导模。此时，k2c≠0，且k2c>0，即β2<k2，则（8-26）

表明空心金属波导管中的TE模和TM模沿轴向传播的相速度vp大于同一介质中平面波的速度v，因而TE模和TM模是一种快波。（3）Ez≠0和Hz≠0的导模称为混合模。这类模式存在于开放式波导中，且在波导表面附近的空间内传播，故又称为表面波模。此时kc2≠0，且kc2<0，即β2>k2，则（8-27）

表明表面波模沿轴向传播的相速度vp小于同一介质中平面波的速度v，是一种慢波。需要指出的是，上述按有无Ez和/或Hz分量分类的方法不是唯一的。8.2.6导波方程的求解方法

1.k2c≠0的情况此种情况下导波场的求解问题属于本征值问题，其解可用纵向场法（longitudinalfieldmethod）求得。第一步：结合边界条件由本征值方程（8-20）求出纵向场分量Hz(u,v)或Ez(u,v)。求解方法通常采用分离变量法，边界条件要求在波导内壁切向电场为零，即（8-28）

第二步：由横-纵向场关系式（8-24）求出各横向场分量。纵向场法不仅适用于本书所讨论的金属波导，而且也适用于其他规则波导，如介质波导等。

2.k2c=0的情况与此种情况对应的是Ez=Hz=0的TEM导波场。由于kc=0，因此TEM导波场求解问题属于非本征值问题，不能用上述纵向场法求解。此时β2=k2，而 ，于是由式（8-15）可知，TEM导波场满足二维拉普拉斯方程，即（8-29）

同理有

（8-30）式（8-29）和式（8-30）为矢量方程，不易求解。但是，注意此时式（8-12a）变为▽T×ET≡0，因此ET(u,v)可以看做二维静电场问题的解，且可用二维静电位函数的梯度表示为（8-31）再由式（8-4），可得

（8-32）根据以上分析，TEM导波场的一般求解方法如下：第一步：结合边界条件求解方程（8-32），确定Φ(u,v)。第二步：由式（8-31）求出ET(u,v,z,t)，即

（8-33）

第三步：根据TEM波的性质，求出HT(u,v,z,t)（8-34）

另外，有下列关系式:（8-35）

8.3导行波的一般传输特性

8.3.1传播常数、截止波长和传输条件导行系统中某导模无衰减时所能传播的最大波长为该导模的截止波长（cut－offwavelength），用λc表示。导行系统中某导模无衰减时所能传播的最低频率为该导模的截止频率（cut－offfreqency），用fc表示。也就是说，在截止波长以下，导行系统可以传播某种导模而无衰减，在截止波长以上传播就有衰减。通过对衰减机理的分析，可以求得相应导行系统中导模的截止条件和截止波长。由前面的讨论知道导波系统中的场随z按e-jβz变化，其中相位常数

（8-36）

已经确定，TEM波的kc=0；并且可以证明，TE、TM波的kc为实数(详见第9章)。那么由式(8-36)可知，对一定的kc和με，在不同的频率（或波长）范围内，β可能是实数，也可能是虚数，对特定的频率（或波长），β可以等于零。频率很低时，β为虚数(即传播常数γ为实数)，则相应的导模不能传播；当频率很高时，β为实数(即传播常数γ为虚数)，则相应的导模可以传播；当频率等于某一特定频率时，β等于零(即传播常数γ等于零)，此时相应的导模处于可以传播和不能传播的临界状态，故把传播常数β等于零时的频率称为临界频率或截止频率fc，即（8-37）对应的临界波长或截止波长λc为

（8-38）

其中kc称为截止波数，即

（8-39）

显然，对于传输TEM波的导波系统，fc=0，λc=∞。而对于传输TE波和TM波的导波系统，当f>fc（λ<λc）时，传播因子e-γz=e-jβz，表示场的振幅不随z而变，只是相位随z的增加连续滞后，说明其为沿着z轴传播的行波。因而导模无衰减传输的条件是其截止波长大于电磁波的工作波长（λc>λ），或其截止频率小于电磁波的工作频率（fc<f）。故这类导波系统具有高通滤波器的特点。当f<fc（λ>λc）时，传播因子e-γz=e-αz，表示场的振幅随z按指数率衰减，但相位不变，说明不能沿z轴传播，这种情况称为截止。处于截止状态的电磁波称为消失波或凋落波，这种消失波的衰减并不伴随电磁能量的耗散，是所谓电抗性衰减。因此，工作在截止状态的导波系统虽然不能用来传输电磁波能量，但可以用来构成某些特殊性能的微波元件，如截止衰减器等。8.3.2相速度和群速度导行波的相速度是指某导模等相位面移动的速度，记为vp。令ωt-βz=常数，对时间t求导，得vp的定义式为（8-40）

式中，

，c和λ0分别为自由空间的光速和波长；称为波型因子。

传输TE波和TM波时，G<1，这时vp>v，表面看来似乎违背了相对论原理，因为任何能量的传播速度都不可能超过光速。事实上，相速度并不代表电磁波能量的传播速度，相速度只是描述了导波系统中某种波型的场分布随时间沿纵轴的移动速度。真正代表电磁波能量传播速度的是群速度。从物理概念上讲并不难理解，因为电磁波传输信号时必须对波进行调制。所以，信号传输的速度应该是波的包络传输的速度。已调波含有多种频率成分，由此构成一个波群。波群共同移动的速度，可以认为是波的包络移动的速度。群速度是指波的等相位面移动的速度，记为vg。其定义式为

（8-41）

由式（8-40）和（8-41）可见，导模的传播速度随频率变化。导模的相速度、群速度及平面波速度三者之间的关系式为

（8-42）

特别地，对于传输TEM波的导波系统，TEM波的G≈1，因此其相速度、群速度及平面波速度三者相等，即

（8-43）

TE波和TM波的相速度和群速度均是频率的函数，波速随频率而变化的现象称为波的色散，波型因子G也称做色散因子。如前所述，TE波和TM波为色散波，TEM波的vp和vg与频率无关，为非色散波。故传输TE波和TM波的导波系统也称为色散波传输线，传输TEM波的导波系统也称为非色散波传输线。由于波的色散效应，波群的形状在传输过程中将发生畸变，频带愈宽，畸变愈显著。当传输窄脉冲波时，由于脉冲的频谱很宽，就应采取减小色散影响的措施，例如选用弱色散的微波传输线等。相速度、群速度和真空中的光速之比与频率比(f/fc)的关系如图8-3所示。当频率无限增加时，相速度和群速度都接近于光速。当频率趋近于截止频率时，波趋于截止状态，相速度趋近于无穷大，而群速度则趋近于零。

图8-3

vp/c、vg/c与f/fc的关系曲线

8.3.3波导波长导行系统中导模相邻等相位面之间的距离，或相位差为2π的相位面之间的距离称为该导模的波导波长（waveguidewavelength）或相波长，记为λg或λp。（8-44）

对于TEM波，有

（8-45）（8-46）

8.3.4波阻抗导行系统中导模的横向电场与横向磁场之比称为该导模的波阻抗（wave

impedance），即

（8-47a）

由式（8-24a）可得TE波和TM波的波阻抗为

（8-47b）

（8-47c）

式中，为介质的固有阻抗，对于空气，有

当λ>λc时，β=-jα，消失波的波阻抗为虚数，即（8-48）

式中

8.3.5传输功率、损耗与衰减传输波（非消失波）的传输功率、损耗与衰减可用坡印廷定理进行分析。由坡印廷定理可知导行系统传输功率仅取决于横向场强。有耗导行系统的传播常数为复数γ=α+jβ，因而沿正z方向传输的行波横向场分量为以上说明，行波（ETe-jβz）与（HTe-jβz）是按指数e-αz

规律衰减的。经过单位距离，场强幅度衰减到原值的1/eα。功率与场强呈平方关