2025中考数学二轮专题复习-一线三等角-专项训练【含答案】

2025中考数学二轮专题复习-一线三等角-专项训练一．选择题（共7小题）1．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）A．4 B．5 C．9 D．2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，这样AD：CD＝1：3，则的值为（）A． B． C． D．3．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A． B． C． D．

4．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD＝1，BD＝2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF＝1.25，则AE＝（）A． B． C． D．5．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12 B．10 C．8 D．8+46．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（）A．5 B． C． D．37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在∠C内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE＝60°．若BC＝5，BE＝3，则△ABD的面积为（）A． B． C． D．二．填空题（共4小题）8．如图，已知在四边形ABED中，点C是线段AB的中点，且∠A＝∠B＝∠DCE，BE＝2，AD＝8，那么AC＝．9．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为．10．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝．11．如图，点M、N是边长为6的正△ABC的边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN折叠，恰好使A点落在BC边上的D点处．若BD：CD＝2：3，则AM：AN的值为．

三．解答题（共8小题）12．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．13．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，CE垂直y轴于点E．（1）求证：△CDE∽△DAO；（2）直接写出点B和点C的坐标．

14．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为．15．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：①△ABP∽△PCD；②AP2＝AD•AC；（2）若PC＝2，求CD和AP的长．

16．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ．17．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FC和FG的长．

18．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为．

19．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B，D两点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝4x+4，它交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【模型拓展】（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AC上，点E在BC上，CD＝2，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，请直接写出CE的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED＝∠DFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°．∴∠ADE+∠CDF＝90°．又∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF＝DE＝1．∵DF＝2，∴CD2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故选：B．2．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵直线l1∥l2∥l3，AD：CD＝1：3，∴AG：EG＝1：3，设AG＝1，EG＝3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF，CF＝AE，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7∴AB＝＝5，∵l2∥l3，∴＝∴DG＝CE＝，∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，∴＝．故选：A．3．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（ASA）∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝＝＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴＝，＝，解得CD＝，在Rt△BCD中，∵CD＝，BC＝5，∴BD＝＝＝．故选：A．4．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°．由翻折的性质可知：∠EDF＝60°．∴∠FDB+∠EDA＝120°．∵∠EDA+∠AED＝120°，∴∠AED＝∠FDB．∴△AED∽△BDF．∴，即＝，解得：AE＝．故选：C．5．【解答】解：∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故选：C．6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝4﹣x，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，CF最大＝1，此时DF最小＝DC﹣CF＝3，在Rt△ADF中，AF＝＝，∴当DF最小＝3时，AF取最小值，∴AF最小＝＝5，∴AF的最小值是5，故选：A．7．【解答】解：如图，在BC的延长线上取点F，使∠AFD＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，又∠CBE＝60°，∴∠AFD＝∠DBE＝60°，∴△AFD≌△DBE（AAS），∴FD＝BE＝3，AF＝BD，设CF＝x，则CD＝3﹣x，BD＝5﹣（3﹣x）＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x+2，∴x＝2，∴CF＝2，∴AC＝2，AF＝BD＝4∴S＝4，故选：C．二．填空题（共4小题）8．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠DCE，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD，∠BCE＝180°﹣∠DCE﹣∠ACD，∴∠ADC＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∴AC2＝AD•BE＝16，∴AC＝4，故答案为：4．9．【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案为：2.5．10．【解答】解：如图，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于点H，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∵BH⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠BCH＝90°，∴∠HBC＝∠ACE，在△BHC与△CEA中，，∴△BHC≌△CEA（AAS），∴BH＝CE＝2，．故答案为：2．11．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，由翻折可知：∠MDN＝∠A＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝120°，在△BDM中，∠MDB+∠BMD＝120°，∴∠BMD＝∠NDC，∴△BDM∽△CND，∵△ABC是边长为6的等边三角形，BD：CD＝2：3，∴BD＝2.4，CD＝3.6，∵△BDM∽△CND，∴BM：CD＝BD：CN＝DM：DN，∵AM＝MD，AN＝ND，BM＝6﹣AM，CN＝6﹣AN，∴（6﹣AM）：3.6＝2.4：（6﹣AN）＝AM：AN，∴3.6AM＝6AN﹣AN•AM①，2.4AN＝6AM﹣AM•AN②，①﹣②得，3.6AM﹣2.4AN＝6AN﹣6AM，即9.6AM＝8.4AN，∴AM：AN＝（8.4）：（9.6）＝7：8．故答案为：．三．解答题（共8小题）12．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADO，∴△CDE∽△ADO．（2）解：∵△CDE∽△DAO，∴＝＝，∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，∴OA＝3，CD：AD＝，∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，∴OE＝7，∴C（2，7），利用平移的性质可得B（5，1）．14．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，∴，∴，∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6；（2）如图，设点E到x轴的距离为h，∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S△ACE＝AC•h＝×11h＝11，∴h＝2，即点E的纵坐标为2，记直线l与y轴的交点为D，∵BC⊥l，∴∠BCD＝90°＝∠BOC，∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，∴∠OBC＝∠OCD，∵∠BOC＝∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2，∴，∴OD＝，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y＝x﹣，当y＝2时，x﹣＝2，∴x＝8，∴E（8，2）；（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，连接BE，∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°∴△ABO∽△EBC，∴，∵∠BCE＝90°＝∠BOC，∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF，∴∠CBO＝∠ECF，∵∠BOC＝∠EFC＝90°，∴△BOC∽△CFE，∴，∴，∴CF＝9，EF＝3，∴OF＝11，∴E（11，3）．故答案为（11，3）．15．【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；②∵∠PAC＝∠DAP，∠C＝∠APD＝60°，∴△ADP∽△APC，∴，∴AP2＝AD•AC；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴，∴CD＝＝，∴AD＝3﹣＝，∵等边三角形△ACB的边长为3，PC＝2，AP2＝AD•AC，∴AB＝3，BP＝1，∴AP＝，∴CD＝．16．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC．∵AP＝AQ，∴BP＝CQ．∵E是BC的中点，∴BE＝CE．在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）∵∠BEF＝∠C+∠CQE，∠BEF＝∠BEP+∠DEF，且∠C＝∠DEF＝45°，∴∠CQE＝∠BEP，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ，17．【解答】解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D又∠B＝∠A＝∠DME＝α∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM，（2）连接FG，由（1）知，△AMF∽△BGM，∴，∵M是线段AB中点，∴AB＝4，AM＝BM＝2，∵BG＝，∠α＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝4，CF＝AC﹣AF＝1，∴CG＝4﹣，∴由勾股定理得FG＝．18．【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD．探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD，拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，∴，∵点P是边BC的中点，∴BP＝CP＝3，∵BD＝4，∴，∴CE＝，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥AB且AC＝AB＝6，∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝＝．故答案为：．19．【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E，∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），∴OC＝2，OA＝4，∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACO＝∠CBE，在△CEB和△AOC中，，∴△CEB≌△AOC（AAS），∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，∴B（﹣2，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（4，0），B（﹣2，2），∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵AB与y轴交点D，∴D（0，）；（2）存在符合条件的点B．理由如下：①点B在x轴负半轴上，如图2，过点C作CD⊥AC，交AB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，∵∠BAC＝45°，∠ACD＝90°，∴CA＝CD，∵∠DEC＝∠ACD＝∠ACO＝90°，∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∴∠ACO＝∠CDE，∴△CED≌△AOC（AAS），∴DE＝OC＝1，C