2024年上海高一数学试题分类汇编：期中解答压轴题（第6-7章）（解析版）

专题04期中解答压轴题(第6-7章)

题型1：存在性、恒成立问题

1.(22-23高一下•上海闵行•期中)已知函数/1(x)=sin(2x+0)(0<0<7i)

⑴当。=：时，求函数V=/(x)的最大值，并求出取得最大值时所有X的值;

7T7T

⑵若小)为偶函数，设g(x)=/(x)-/a+。，若不等式Ig(x)-机|<2在xe[0,勺上恒成立，求实数

m的取值范围；

2

⑶若/(%)过点H，h(x)=cosx+2d;sinx,若对任意的演£[一、申，x2G[0,^-],都有

〃(再)</(%)+3,求实数〃的取值范围.

【答案】(1)1,%—kuH—,kGZ

8

【分析】(1)由题意可得/(x)=si“2x+；J,由正弦函数的性质求解即可；

(2)由题意可得/(%)=cos2x,g(x)=sin[2x+/],将问题转化为m-2<g(x)min,且g(x)max<2+m

IT

在X£[0q]上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解;

（3）由题意可得将问题转化为〃（再）1mx＜/（%濡+3结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.

【解析】（1）当。=:时，〃x）=sin2x+-,

I4丁

所以当2x+至=2左兀+4,左£Z,即x=kn+—,kZ时，所以/(x)max=l,此时x=kji+—,kGZ；

4288

（2）因为/（x）=sin（2尤+夕）（0＜。＜71）为偶函数，所以0=5,

所以/(x)=cos2x,

所以g(x)=/(x)-/(%+四)=cos2x-cos2x+—71

6I6

6r=Uos2x+直in2x=sin(lx+8,

=cos2x--cos2x-——sin2x

2222I6)

7

71

又因为Ig(x)-M<2在]£[0,-]上恒成立,

即-2＜g（x）-加＜2在工£[0,自上恒成立,

所以加-2＜g（x）＜2+:〃在龙€[0,自上恒成立,

所以»?-2<g(x)min,且g(x)1mx<2+加在xe[0,；]上恒成立,

1,c一；,加+2）1,

因为X€[0,£],所以左+^右邑?],所以g(x)=sin2x+-e-----,1,1TI—2

2666I6J2

3

解得-\<m<—

2

的取值范围为11,j；

所以m

71所以71兀)，

（3）因为因%）过点l=sin[m+910<9<9=2

3

所以/(%)=sinf2x+^L

又因为“电与，所以23+枭邑刍

2ooo

所以/(x)=sin,11

22''

又因为对任意的国x2e[0,^],都有〃（再）＜/（%）+3成立,

所以"(无Jmax</(尤2)疝11+3,"(xJmax<_弓+3=,

〃(％)=cos2x+2asim;-sin2x+2asim:+1=tz2+1-(sinx-a)

因为王所以sinx1G[-l,l],

设t=siwc}ef-1,1],

则有8«)=/+1_。一。)2图像是开口向下，对称轴为公。的抛物线,

当时，g")在上单调递增，所以g(f)M=g(l)=2a,

所以2a解得a＜g

24

所以

4

当QW-1时，g(。在作［-1,1］上单调递减，

所以g⑺max=g(T=—2%

所以一"总解得

所以a＜-\］

当一时，g«)max=g(a)="+"

所以解得-如＜.＜逅所以一1＜。＜1,

222

25_

综上所述：所以实数a的取值范围为

444?4

【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为〃(再)皿＜/(X2)mM+3结合正弦函数的性质及二次函

数性质求解即可.

2.(22-23高一下•上海松江•期中)已知函数/(x)=asinx+6cosx+csinxcosx+l(a,6,ceR).

(1)当。=b=o,c=l时，求函数y=/(x)的单调增区间;

(2)当“=1,c=0时，设g(x)=/(x)T,且函数gS)的图像关于直线x=^7r对称，将函数y=g(x)的

6

7T

图像向右平移/个单位，得到函数y=〃(x),求解不等式〃(X)NI；

6

⑶当〃=3,6=2,。=0时，若实数冽，〃，2使得万(%)+4(x-p)=l对任意实数％恒成立，求

cosp

的值.

2023m+A?

TTjr

【答案】(1)+-,keZ

-21

(2)2kn,—Tt+2hi,keZ

1

⑶—

1012

【分析】(1)根据题意得到〃x)=gsin2x+l,结合正弦型函数的性质，即可求解；

⑵根据题意得到:+曰6=Vi寿，求得6=5得至ljg(x)=2sin[x+"结合图象的变换求

得Mx)=2sin(x+£|,由不等式以x)21,即sin口+即可求解；

(3)化简得到/(x)=VT^sin(x+e)+l,求得/(x-2)=JI5sin(x+e-p)+l,转化为

V13(m+ncosp)sin(x+(p)~y/13nsinpcos(x+^9)+(m+H-1)=0,得到方程组，分类讨论，即可求解.

【解析】(1)解：当=。=1时，可得函数/(x)=sinxcosx+l=；sin2x+l,

jrjrJI7T

令2E——<2x<2kn-\--,keZ,所以单调增区间为kn——，左兀+―,kwZ,・

22L44_

(2)解：当。=1,。=0时，可得g(x)=sinx+bcosx=ar^sin(x+。)，其中tan9=6,

因为g(x)关于直线x=B对称，

6

可得g(x)111ax即:+卓6="77,解得b=

\6/22

所以g(x)=sinx+Gcosx=2sinL+yj,

71

将函数＞=g(x)的图像向右平移9个单位，得到函数秋x)=2sinX+-

6

由h(x)>1,即sin1%+巴］2工，贝！］史+2左兀<%+—<—7t+2H,kGZ

v6)2666

2

解得2左兀<x<y7T+2左兀,keZ,

2

所以不等式的解集为2亿]兀+2E(左wZ)；

(3)解：当。=3,b=2,c=0时，贝ij/(x)=3sinx+2cosx+1,

可得/(x)=y/13sin(x+e)+1,则/(x-p)=V13sin(x+9-p)+1,

jr2

其中0<。<5且tan0=§,于是a(%)+4(x—P)=l,

可化为V13msin(x+9)+y/13nsin(x+0一2)+加+〃=1,

BPy113msin(x+9)+A/13ZZsin(x+cp)cosp-y/13nsinpcos(x+°)+(冽+〃-1)=0,

所以y/13(m+ncosp)sin(x+夕)-V13«sinpcos(x+0)+(冽+〃-1)=0.

m+«cos/7=0---(l)

由已知条件，上式对任意xeR恒成立，故必有sin2=0…(2)

m+n-l=0…⑶

若〃=0,则由(1)知加=0,显然不满足(3)式，故〃。0,

所以由(2)知sin0=0,故p=2E+兀或4=2析,左EZ,

当p=2E时，cos/?=1,贝!J(1)、(3)两式矛盾，

故p=2左力+肛上EZ,cos夕=一1由(1)、(3)知加=〃=工，

题型2：零点问题

3.(2L22高一下•上海闵行•期中)已知函数/(x)=sin(g+9)(0>O,O</<;r)的最小正周期为打，且直

线是其T图T象的一条对称轴.将函数了=/(x)的图象向右平移。TT个单位，再将所得的图象上每一

点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作y=g(x),令函数

F(x)=/(%)+Ag(x).

⑴求函数〉=g(x)的函数解析式；

(2)求函数、=尸(工)的最大值及相对应的x的值；

(3)若函数尸(x)=/(x)+4g(x)在(0,加r)内恰有2021个零点,其中常数XeR,求常数X

与”的值.

【答案】(l)y=g(x)=sinx；

(2)答案见解析；

(3)A=-1,77=1347.

【分析】(1)根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进

行求解即可；

(2)根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；

(3)利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.

【解析】(1)因为函数f(x)=sin(ox+°)(o>0)的最小正周期为万,

27r

所以有乃=——=>G=2,即/(%)=sin(2x+cp),

co

Jr

又因为直线X=-曰是〃无)=sin(2x+0)图象的一条对称轴，

7TIT34

所以有2x(-y)+°=左〃+,(左£Z)n夕=上乃+—(kGZ),

冗7E

因为0<°<»，所以令左=_1,则°=',即/(x)=sin(2x+5)=cos2x,

TT

因为函数>=/(%)的图象向右平移二个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为

4

原来的2倍所得的图象对应函数记作V=g(x),

所以V=g(x)=sinx；

(2)F(x)=/(x)+Ag(x)=cos2x+2sinx=1-2sirix+2sinj

=^>F(x)=-2(sinx-2+F1,

212

当一14:41时，即一4WX44时，F(x)max=—+1,

止匕时sinx=—,即x=2A：7r+arcsin—(A:cZ)或、=2左;r+乃一arcsin一(左GZ)；

444

当W〉1时，即4>4时，=1-2+2=4-1,

止匕时sinx=l,Bpx=Ikn+—(keZ)；

当<—1时，即％<—4时，F(x)=1-2-2=-2-1,

4max

3万

止匕时sinx=-l,即x=2kji+—(kGZ),

120

综上所述：当一44244时，F(x)max=—+1,止匕时x=2br+arcsini(A：£Z)

X

或x=2左九+万一arcsin一(左£Z)；

4

jr

当％>4时，F(x)max=1-2+2=2-1,止匕时x=2左乃+万(左EZ)；

3%

当几<一4时，/(X)max=1—2—4=一4一1,止匕时X=2k7l+—(kGZ);

(3)F(x)=/(x)+2g(x)=cos2x+Asinx=l-2sin5;+Asinx=0,

设sin%=1,1],贝!h—2『+加=0=2/—加―1=0,

该方程的判别式八=万+8>0,

所以该方程有实根，设为(由，柩2=-;<0,显然两根为异号，

若。<，1|<1,0<匐<1时,则方程sinx=%,sinx=f2在(0,〃%)内都有偶数个根，

所以方程1-2siMx+2sinx=0有偶数个根，不符合题意；

若4=1，则，2=—2，此时4=1,

当XE(0,2»)时，sinx=4只有一个根，sinx=，2有两个根，

所以1一2sin2x+4sin%=0有三个根，由于2021=3x673+2,

所以l-2sin2x+4sinx=0在％£(0,1346m内有3x673=2019个根，

由于方程sin%=4在％£(1346肛1347万)内只有一个根，sinx=t2没有实根,

所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在％®(0,1347%)时有2020个实根，不符合题意；

若%=-1,则马=；，此时2=T，

当xe(0,2%)时，sin尤=%只有一个根，sinxf有两个根，

所以1一2sin2x+%sin%=0有三个根，由于2021=3x673+2,

所以l-Zsin?x+4sinx=0在％£(0,1346%)内有3x673=2019个根，

由于方程sinxf在％£(1346匹1347%)内没有实根根，sinAj有两个实根，

所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在(0,1347万)时有2021个实根，符合题意；

若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于L有偶数个根，不符合题意，

综上所述：2=-1,〃=1347.

【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解

题的关键.

4.(19・20高一下•上海徐汇・期中)已知函数/(x)=4sinxcos(x+g)+G,

⑴化简/W至!J歹=4sin(Gx+夕)+5(4>0,6W>0,|^|<y),并求最小正周期；

ITIT

⑵求函数/⑴在区间上的单调减区间；

46

⑶将函数/(X)图像向右移动2TT个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的“(0<“<1)倍得

0

到y=g(x)的图像，若y=g(x)在区间[TH上至少有100个最大值，求。的取值范围.

TT

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+§),最小正周期是万；

(2)[—

120

4

(3)(0,—].

199万

【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得

解.

(2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答.

⑶利用(1)的结论结合给定的变换求出g(x)的解析式，再借助gG)的性质列式计算作答.

【解析】(1)依题意，

/(%)=4sincosx-sinx)+VJ=2sinxcosx+V3(l-2sin2x)=sin2x+百cos2x=2sin(2x+-j),

其中①=2,则T=3="，

CD

rr

所以〃x)=2sin(2x+§),最小正周期是万.

(2)由(1)知，当-工WxvX时，一工V2x+工W主,则由工W2x+工W红得二WxV工，

46633233126

即/(X)在巨白上单调递减，

126

所以函数/⑴在区间勺上的单调减区间是啜,勺.

46126

TTTC

(3)由(1)知，/(x)=2sin(2x+-),将函数/⑴图像向右移动二个单位所得函数为y=2sin2x,

36

2

于是得g(x)=2sin—x,则g(x)的周期为a兀，

a

因V=g(x)在区间［T,1］上至少有100个最大值，则在长为2的区间［-1,1］上至少有99.5个周期，

44

因止匕，a〃x99.5W2,解得----,而于是得-----,

1997r199〃

4

所以。的取值范围

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区

间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.

5.(2223高一下•上海浦东新•期中)已知函数/(无),g(x)是定在R上的函数，且满足关系

g(x)=/(x”(x+£］.

(1)若/(x)=binx|+cosx,若xe0,g,求了=g(x)的值域；

(2)若/(x)=|sinx|+cosx,存在x^eR,对任意xeR,有g(±)Vg(x)Vg(x2)恒成立，求|再-0

的最小值；

⑶若/(x)=cosx+sinx,要使得尸(x)=asinx+g(x)在(0,时eN*)内恰有2022个零点，请求出

所有满足条件的。与〃.

【答案】⑴卜1』

..371

⑵彳

⑶当℃(一1,1)时，〃=1011；当0=±1时，”=1348；当ae(-s,-l)U(l,+s)时，n=2022.

【分析】(1)求出函数V=g(x)的解析式，即可得出在xe0假上的值域；

(2)化简函数＞=g(x),通过对应图像即可得出g(xj4g(x)Wg(X2)恒成立，求|再-引的最小值;

(3)化简函数V=g(x),设"sinx将y=g(x)转化为二次函数，将零点问题转化为图像与x轴的

交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在(0,"冷(〃eN*)内恰有2022个零点，所有满足

条件的。与

【解析】(1)由题意，

在/(x)=binx|+cosx中，+=sin+cos)=|cos彳-sin

在8卜)=/(。/6+5)中，

g(x)=/(x)./[x+曰=Qsin|+cos|-sin)=gincos|-sincos-sins|inX|-FCOS乂osx|

当相呜时，g(x)=|sinxcosx|-sinxcosx-sinx^inx|+cosx|:osx|=cos2x-sin2x=cos2隼£1,1],

，y=g(x)的值域为：[TJ].

(2)由题意及(1)得，xeR

在g(x)-Isinxcosxl-sinxcosx-sin/sin*+cos*cos彳中,

兀

①当2人兀,2kjiT—(keZ)gpsinx>0,cosx>0,

2

g(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,

函数在定义域上单调递减

g3mm=g[M+,=T，g(da、=gQ砌=1,

jr

②当2kTl+—,2k7l+TlREZ)即sinx>0,cos%<0时,

g(x)=-2sinxcosx-cos2x-sin2x=-sin2x-1,

TT37r

函数在2析+5,则+了依eZ)单调递增,

37r

在2包+~^,2配+兀(左£Z)单调递减,

=g(2fer+]

g(x)min=g(2hr+K)=-l,g(x)max=g(2foi+7i)=0,

3兀

③当X€2左兀+兀，2^71+—(keZ)即sinx<0,cosx<0时，g(x)=-cos2x+sin2x=-cos2x,

2

3兀

函数在2hi+7i,2kn+—依eZ)上单调递增,

=g(2far+与

g(x)mn=g(2H+7i)=-l,g(x)max二1,

3兀

④当尤e2祈+昼，2阮+2兀(左EZ)艮flsinx<0,cos%>0时,

g(x)=-2sinxcosx+sin2x+cos2x=-sin2x+1,

37r77r

函数在2hi+—,2A：7i+—REZ)单调递增,

77f

在2阮+~^,2阮+2兀(左eZ)单调递减，

=gf2fer+^=g(2航

g(x)mM

=g(2E+2兀)=1,g(xmax二2,

二函数g(x)是周期为2兀的周期函数，图像如下:

存在AZCR,对任意尤eR,有g(xj4g(x)4g(x2)恒成立,

•••g(x)mm=g(xj，g(x)max=g(x2)

3元

.•.当ki-Xzl最小时，由图像可知，卜-％1mhi=彳，

(3)由题意，x€(0,"7t)(〃eN*),

/［x+'f)=0。，［x+］)+sin［不吟］=-sinx+cos兀

在/(x)=cosx+sinx中,

在8⑺二/卜上/^+曰中，

g(x)=/(x)•/%+—=(cosxsinx)(-sinxccsx)=cos&-sin3;=cos2,

在F(x)=asinx+g(x)中,F(x)=qsinx+cos2x-sin2x=-2sin2%+asin%+1,

*.*T7(x+2兀)=一2sin2(x+2兀)+asin(x+2兀)+1=—2sin2%+asinx+1=f(x),

设sinx=/，=—2/2+at+1,

・••函数是以2兀为周期的周期函数，尸⑺在［0,2可上最多与x轴有1-2个交点,

:在［0,2司周期内,y=sinx与歹=%有r2个交点,

/.F(x)=-2sin2x+asinx+1在［0,2兀］上有1~4个交点，

,若在(0,力劝(〃WN*)内恰有2022个零点，则">1,sinx=才e［-1,1］,

在尸(。=一2户+a?+l,fe［0,2;r］中，

当，=sinx=±l即］=不或％=—,止匕时，=sinx有1个交点，

22

①当函数尸(才)有两个零点;"2时，

若廿2均不为-1和1,此时V=，与歹=sinx有2个交点，则尸(x)在［0,2兀］有4个交点,

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0

解得：-\<a<\,

F(l)=-2xl2+axl+l<0

,当有2022个交点时，"=(2022+4*2兀+兀=1011,ae(-l,l)

若有一个为-1或1,此时歹=，与V=sinx有2个交点，则b(x)在［0,2兀］有3个交点,

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0

解得：a=1,

F(l)=-2xl2+axl+l=0

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1=0

或，，解得:a=—\,

F(l)=-2xl2+axl+l<0

,当有2022个交点时，"=(2022-3)x2兀+兀=1348,a=±l,

②当函数尸(。有一个零点时，此时，=，与>=sinx有1个交点，则尸(x)在［0,2可有2个交点,

F（-l）=-2x（-l）2+tzx（-1）+1<0

,解得:a>\,

F（l）=-2xl2+6zxl+l>0

或r（-l）=-2x（T）2+ax（_l）+l>0

,解得:a<—1y

F（l）=-2xl2+axl+l<0

当有2022个交点时，〃=(2022-2)x27t+7i=2022,ae(-oo,-l)U(1,+＜»),

综上：

当时，〃=1011；

当.=±1时，〃=1348；

当ae(-oo,-l)U(l,+℃)时，n=2022.

【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力,

三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性.

题型3：证明题

6.(2021高一下•上海宝山•期末)若定义域为R的函数了=为(x)满足：对于任意xeR,都有

A(x+2^)=A(x)+/z(2^),则称函数y=右(x)具有性质p.

⑴设函数y=f(x),尸g(x)的表达式分别为/(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判断函数了=/(尤)

与＞=g(x)是否具有性质尸，说明理由;

(2)设函数y=/(x)的表达式为/(x)=sin(0x+0),是否存在0＜。＜1以及一万＜S(万，使得函数

了=玩11(3;+/)具有性质产？若存在，求出0,。的值；若不存在，说明理由；

(3)设函数了=〃尤)具有性质P,且在［。,2兀］上的值域恰为［〃0),/(2%)］；以2%为周期的函数

y=g(x)的表达式为g(x)=sin(/(x)),且在开区间(0,20)上有且仅有一个零点，求证：八2%)=27.

【答案】(1)函数了=/(x)具有性质P,V=g(x)不具有性质P,理由见解析；(2)不具备，理由

见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)根据具有性质P的定义依次讨论即可得答案；

(2)假设函数片〃力具有性质P,则有〃0+2万)=/(0)+〃2万)，即〃0)=0,进而得

〃x)=sin(s),再根据〃2觊)=〃0)+"(2》)="(27)并结合函数的值域为［-1,1］得〃2%)=0,

1Y

故此时f（x）=sin5,在验证y=f（x）不具有性质?，进而得到答案；

（3）结合（2）,并根据题意得〃2］）=左1（keZ）,进而得y=/（x）在［0,2可的值域为

［0,左句（/及左＞0）,当月＞2时，与产g（x）零点唯一性矛盾得左=1或左=2,再讨论当左=1时不

成立得上=2,即f（27r）=27r.

【解析】（I）函数y=/（x）具有性质p,y=g（x）不具有性质尸，说明如下：

/（x+2"）=sin（x+2"）+x+2乃=sinx+x+2"，

/（x）+/（2%）=sinx+x+2i,

对任意xeR,都有/（x+2万）=/（x）+/（2万），

所以＞=/卜）具有性质P,

g（x+2%）=cos2x,/z（x）+/z（27r）=cos2x+l,

所以g（x+2万）W/;（X）+/Z（2I）,

所以V=g（x）不具有性质P；

（2）若函数y=/（x）具有性质尸,

则有/（0+2万）=/（0）+/（2万），即/（0）=0,

于是sin夕=0,结合一乃＜夕＜乃知夕=0,

因此/'（x）=sin（0x）；

若/（2万）/0,不妨设〃2句＞0

由〃x+2万）=〃x）+/（2万）可知：

/（2厄r）=〃0）+弁（2万）=的2万）（记作*）,其中左eZ

只要上充分大时，虹（2%）将大于1

考虑到y=/（x）的值域为为［-1』，等式（*）将无法成立，

综上所述必有/（2万）=0,即sin（2M）=0；

再由0<G<1,0<2a)7r<In,从而2G万=»，而&

1v-x.x

当0=5时，/(x)=sin—,/(尤+2%)=sin+7r=-sm—

~2

而/(x)+/(2%)=sing,显然两者不恒相等(比如x=9时)

2，

综上所述，不存在0<0<1以及一万<夕<万使得y=/(X)具有性质P；

(3)由函数>=/(x)具有性质P以及(2)可知"0)=0,

由函数y=g(x)是以2万为周期的周期函数，有g(2i)=g(0),

即sin(/(2万))=sin(/(0))=0,也即/(2%)=丘(左eZ)

由"0)=0,/(2%)=0及题设可知

y=/(x)在［0,2司的值域为［0,k兀］乒小>0)

当后>2时，当/卜)=乃及/(x)=2万时，均有g(x)=sin(/(x))=0,

这与零点唯一性矛盾，因此左=1或左=2,

当左=1时，/(2万)=万,了=/(x)在［0,2兀］的值域为［0,句

止匕时/(x+27)=

于是了=/(无)在［2匹4句上的值域为忱2句，

由正弦函数的性质，此时sin(/(x))当xe［0,2句时和x«2匹4句的取值范围不同，

因而k=2,即/(2%)=2n.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键

在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.

7.(2022•上海嘉定•一模)已知函数了=/(x)的定义域为区间〃，若对于给定的非零实数相，存在％,

使得/(%)=/(%+皿)，则称函数V=/(尤)在区间。上具有性质尸(%).

⑴判断函数/(x)=x2在区间［-1,1］上是否具有性质吧，并说明理由；

⑵若函数〃x)=sinx在区间(0,〃)(">0)上具有性质求〃的取值范围;

⑶已知函数了=/(无)的图像是连续不断的曲线，且〃0)=/'⑵，求证：函数了=/(x)在区间［0,2］

上具有性质产

【答案】（1）具有性质PI,理由见解析

5乃

(2)——,+oo

8

⑶证明见解析

【分析】（1）由题可得,则毛=-；，结合条件即得;

(2)由sin/=sin[%£,解得/=左乃+红，xo+—=k7l+—G（0,HGN）,可得〃〉旦，即

8488

得;

（3）设g（x）=/（x）-/1x+；j,xe0,1,可得

g（o）+gg|+…+g］F■卜…+g0=/^）-/0>°，当g（o）、g］；］、…、g（Y］、…、gg］

中有一个为0时，可得i"1,2,3,…,6},即证；当g（O）、g］£|、…、

…、g］£|中均不为。时，由于其和为0,则其中必存在正数和负数,不妨设g［一］>0，g［—］<0,

结合条件可知，存在看,g（xo）=/（xo）-/Lo+1j=O,即证.

【解析】（1）函数/'（尤）=X2在［-1,1］上具有性质PI

21

若%；=(%+5|，则/=-“

因为一;«-15,因一;+;=覆一1』,

所以函数/（x）=x2在卜1,1］上具有性质尸（£）.

（2）解法1：由题意，存在x（）e（O,〃），使得sin%=sin1/+?

得/+?=玉）+2左万（舍）或与+?=2左笈+»—％0（左£Z）,

37r

则得%=左左+?.

O

34

因为演）=左=+——>0,所以左EN.

8

34TT5TE

又因为％o=k兀〜-----G（0,〃）且为4——=左"+——G（0,〃）（左eN）,

848

所以〃>三,即所求〃的取值范围是

解法2：当0<〃M.时,函数/(x)=sinx,xe(O,〃)是增函数,

所以不符合题意;

当时，因为直线x=?是函数/(x)=sinx的一条对称轴,

而函数/(x)=sinx在区间(0,〃)(〃>0)上具有性质产71

所以2H一!^兀

解得〃>苧，即所求"的取值范围是(七,+8

81X

（3）设g（x）=/（x）-4x+；1,xe0,|

则有g(o)=〃。)-佃，g乙卜佃-dI)⑴,

8申=/0八2）（丘｛1,2,3,「6｝）.

以上各式相加得g（O）+gQj+…+gJ+…+g^-|j=/（2）-/（0）

即g（0）+g[J+…+gj+…+g=0，

（i）当g（0）、g[[、…、g[9]、…、g]£|中有一个为0时,不妨设g[一]=O,Z6{123,…,6},

iw{1,2,3,…,6},

所以函数了=/(x)在区间［0,2］上具有性质尸「

5

（ii）当g（。）、gI一、g中均不为0时，由于其和为0,

则其中必存在正数和负数，不妨设4亍J>0,

其中z,刁，z•、/e{1,2,3,…,6}.

由于函数y=g(x)的图像是连续不断的曲线，所以当，</时，至少存在一个实数然%当

时，至少存在一个实数/其中八八｛1,2,3,…,6｝,使得g(x°)=0,即

8(/)=/(/)一71/+：］=(),

即存在%,使得/(Xo)=/［xo+g］,

所以函数y=f(x)在区间[o,2]上也具有性质尸KJ.

综上，函数y=在区间[0,2]上具有性质P

题型4：新定义题

8.(2021高一下•上海宝山•期中)已知函数y=/(x),xe。，如果对于定义域。内的任意实数x,对

于给定的非零常数〃?，总存在非零常数八恒有"X+7)=M"X)成立，则称函数〃x)是。上的周

期为7的加级类周期函数.

(1)已知了=/(尤)是[0,+s)上的周期为1的加级类周期函数，且了=/(无)是[0,+⑹上的严格增函数,

当xe[0,l)时，/(x)=2S求实数加的取值范围；

(2)设函数Ax)是我上的周期为1的2级类周期图数，且当xe(0,l]时，/(x)=x(x-l).若对任意

Q

xe(-oo,m],都有求用的取值范围；

(3)是否存在实数左，使函数/(x)=cos"是尺上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实

数上和T的值，若不存在，说明理由.

7

【答案】(1)[2,+8)；(2)m<--(3)答案见解析；

【分析】(1)根据函数定义有/■(x)=z#(x-l),易得xe[”,〃+l)时工(x)=——2E(〃eN*),根据已

知条件有“Z>0且加"•2“">m"'24(片)即可求加的范围；

(2)由函数定义有xe(2,3]时再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求加

的范围；

(3)由题意cos左(x+T)=Teosfoe恒成立，讨论左=0、左/0分别求对应左值.

【解析】(1)由加级类周期函数定义知：f(x+X)=mf(x),即〃x)=〃矿(x-l)

.•.当xe[l,2)时,工(无)=M21,…，当xw[〃,"+l)时，f<x)=m"-2，f(ncN*),

•：y=/(x)是[0,+s)上的严格增函数，且xe[0,1)上/(%)单调递增，

nxn

.•.加>0且m-2->/t-,解得m>2,

me[2,+co).

(2)由题设：/(x)=2/(x-l),而尤e(0,l]时/(x)=x(x-l)e[-5,0],

.•.当xe(1,2],即x-1e(0,1]时/(x)=2(x-l)(x-2)e[-1,0],

当X£(2,3],即X—1E(1,2]时f(x)=4(x-2)(x-3)G[-1,0],

o7g

3x0e(2,3],使4(尤o-2)(Xo-3)=-§,解得/=§或%=§

o7

对任意xe(-oo,〃4都有则机4].

(3)若存在，贝！Jf(x+7)=7f(x),即cos4(x+T)=Teosfar恒成立，

当左=0时，7=1；

当后片0时,cos左(x+T)e[—1,1],则T=±1,

若T=l,cosA-(x+l)=cosfoe,可得左=2〃万(〃eZ,”w0),

若T=-l,cos4(x+1)=-cosfcc,可得上=(2"+l)万(〃eZ),

综上，T=1时左=2〃%(〃eZ)；T=-l时后=(2〃+1)万(〃eZ).

【点睛】关键点点睛：利用加级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调

性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数.

9.(22.23高一下•上海徐汇・期中)对于函数/(X)(xe。)，若存在非零常数T,使得对任意的xe。，

都有/(x+7”/(x)成立，我们称函数〃x)为"7函数"，若对任意的xe。，都有〃x+T)>/(x)成

立，则称函数/(无)为"严格T函数

(1)求证：/(x)=sinx,xeR是"7函数”；

(2)若函数〃同=丘+疝2》是段函数"，求上的取值范围；

⑶对于定义域为R的函数/(x),/(0)=0,函数siW(x)是奇函数，且对任意的正实数7,sinf(x)

均是“严格T函数若〃。)=],=求a+6的值

【答案】(1)证明见解析

2

⑵[―,+00)

兀

⑶。

【分析】(1)取非零常数7=2兀，证明函数满足/(x+T"〃x)即可；

(2)根据函数/(xXAx+sin2%是〃1•函数〃，可推出《(x+1^+sin21x+&2Ax+sin2x恒成立，化

JT

简为,左N-cos2x,结合余弦函数性质可得答案；

(3)由"严格T函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合sii/(x)是奇函数，利用其对称性即

可求得答案.

【解析】(1)证明：取非零常数T=2兀，

则对任意的xeR,都有f(x+27t)=sin(x+27t)=sinx,

因为sinxNsinx,即/'(尤+7)»成立，

故/(x)=sinr,尤eR是"T函数

(2)函数〃x)=b+sin2x是《函数"，D=R,

贝1J+2/(x),即左++sin[x+12立+sin。,

■7T

整理得一左2—cos2x,而cos2xe[—l,l],

2

IT2

故

271

2

即左的取值范围为[—，收)；

兀

(3)因为对于任意尤eR,对任意的xe。，都有/卜+7)>/(x)成立，

则/(x)在R上为单调增函数，

令g(x)=siW(x),xeR,由题意知g(x)=sii/(x)为奇函数，

因为/(“)=]，Z(6)=-p

所以g(a)=sin(/(a))=1,g(b)=sin(/(6))=-1,

所以g(a)+g(6)=0,则a+b=O.

【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是

理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.

题型5：取值范围问题

10.(2223高一下•上海浦东新•期中)定义有序实数对(a,6)的"跟随函数"为

/(x)=asinr+bcosx(xeR).

⑴记有序数对Q—l)的"跟随函数"为/W，若/(无)=0,无e[0,2可，求满足要求的所有x的集合；

⑵记有序数对(0,1)的"跟随函数"为加)，若函数g(x)=/(》)+小sin4xeQ2可与直线>=上有且仅

有四个不同的交点，求实数后的取值范围；

⑶己知a=3,若有序数对(a,b)的"跟随函数"y=/(x)在X=/处取得最大值，当6在区间(0,6]变化

时，求tan2%的取值范围.

【答案】(1){:,苧};

(2)[1,2)；

⑶/4后0)

【分析】(1)写出解析式/⑴,解方程/(Q=0即可;

(2)由题意求得g(x)=cosx+6Mnx|,可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函

数g(x)的图象，结合函数图象可得结论；

(3)写出〃x),利用辅助角公式得出与(sinx°,cosx。的值)，然后利用二倍角的正切公式、商数关

系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围.

【解析】(1)由题意/(x)=sinx—cosx=0,sinx=cosx,tanx=1,

ji

x=kit+—(kGZ),

又xe[0,2;r],所以x=J或手，即所求集合为卢,乎｝;

4444

(2)由题意/(x)=cosx,则g(x)=cosx+6Mnx|,

]百兀

工£[0,兀]时，g(x)=cosx+V3sinx=2(—cosx+sinx)=2sin(x+—),

xG(兀,2兀]时，g(x)=cosx-V3sinx=2(—cosx-sinx)=-2sin(x--)，

226

作出函数y=g(x),尤«0,2可的图象，如图，/(X)在[0,守和小，当上递增，在4,兀)和考,2用上

递减，/(%"=2,/(0)=/(2无)=1,

由图