2024年高考数学最后冲刺训练《新高考新题型一》含答案解析

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填

空题）+5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、

数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如

本卷第19题。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的。

I.已知样本数据再,X2,…,再00的平均数和标准差均为4,则数据FT-无2T，…,FooT

的平均数与方差分别为（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

2.已知向量@=（1,2）,村=3,卜-2闸=&7,则向量汗在向量B上的投影向量的模长

为（）

A.6B.3C.2D.—

5

3.已知在等比数列｛%｝中，2a2+%=15,出生%=729,贝！|5“一。”=（）

A.2X3"T-2B.C.2x3"-wD.5x3"-3

4.已知三棱锥/-BCD中，AB=6,AC=3,BC=3也,三棱锥/-BCD的体积为

辿,其外接球的体积为空兀，则线段CD长度的最大值为（）

23

A.7B.8C.772D.10

5.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝

色光、绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能

同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示

不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）

A.60种B.68种C.82种D.108种

6.己知°=25，^=logjpc=log23,则（）

43

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规

各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当

今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年

Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间f和放电电流/之间关系的经验公式：

C3,其中几为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的

条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,

则该蓄电池的Peukert常数4约为（参考数据：值2。0.301,修3处0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

8.己知双曲线G：=-4=lm>0,6>0）与抛物线C2：y2=2px5>0）,抛物线C2的准

ab

线过双曲线q的焦点尸，过点尸作双曲线。的一条渐近线的垂线，垂足为点加，延长

尸〃■与抛物线相交于点N,若凉+3历;=4而，则双曲线G的离心率等于（）

A.V3+1B.^±1C.V2D.V2+1

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，下列说法正确的是（）

1-i

A.若复数Z=丁一（i为虚数单位），则z74=-1

B,若复数z满足z=』，贝UzeR

C.右Z]Z2=0,贝Uzi=0或Z2=0

D.若复数z满足匕-1|+匕+1|=2,则复数z对应点的集合是以坐标原点。为中心，

焦点在x轴上的椭圆

10.设直线系Af:xcos”e+ysin*=l（其中0,m,"均为参数，

机,"€{1,2}）,则下列命题中是真命题的是（）

A.当他=1,〃=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在a,n,使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

C.当〃?="时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为正

2

D.当机=2,〃=1时，若存在一点/（a,0）,使其到直线系M中所有直线的距离不

小于1,贝!JaWO

11.如图所示，一个圆锥S。的底面是一个半径为3的圆，/C为直径，且

N/SC=120。，点3为圆。上一动点（异于A,C两点），则下列结论正确的是（）

71兀

A.ZSAB的取值范围是

o2_

B.二面角S-8C-/的平面角的取值范围是修鼻

C.点A到平面SBC的距离最大值为3

D.点M为线段S3上的一动点，当时，AM+MC>6

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合N={X|X2-X-6<。},B={x\-a<x<a],若A=B,则实数。的取值范围

.

13.己知三棱柱NBC-4耳G中，“BC是边长为2的等边三角形，四边形工844为菱

形，/4/3=60。，平面N244,平面NBC,M为N8的中点，N为2片的中点，则三

棱锥Q-A.MN的外接球的表面积为.

/、a（\wc.-lux.）1

14.已知对任意网62e（0,+oo）,且当王<羽时，都有：——=---<1+----,贝！的

x2-项XxX2

取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）在A48c中，内角/,B,C所对的边分别a,b,c,其中

a=b+2,c=41b,且sin/=^2sinC-

⑴求c的值；

⑵求tan/的值；

⑶求COS0/+?）的值.

16.(15分)如图，在三棱锥尸-N8C中，M为/C边上的一点,

⑴证明：/CJ■平面P2A/；

(2)设点。为边PB的中点，试判断三棱锥尸-NC。的体积是否有最大值？如果有，请求

出最大值；如果没有，请说明理由.

17.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开

放了48两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的

体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从48两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、

112

乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为于§,§,求这三人中这一周恰好有一人选

择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身

中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为，若丁周六选择A健身中心，则

周日仍选择A健身中心的概率为[；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的

4

概率为|.求丁周日选择3健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数上(左«0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定

上值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人,

其左值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健

身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但

抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求〃的最大值.

参考数据：0.9829x0.557,0.9830»0.545,0.9831»0.535.

22

18.（17分）已知椭圆。：3+4=1（。>6>0）的上下顶点分别为片,鸟，左右顶点分别

ab

为4,4,四边形&8/2鸟的面积为6不，若椭圆c上的点到右焦点距离的最大值和最

小值之和为6.

（1）求椭圆C的方程；

⑵过点（-1,0）且斜率不为o的直线/与c交于p,。（异于4,4）两点，设直线4尸与

直线4。交于点”，证明：点M在定直线上.

19.（17分）给定整数〃23,由"元实数集合户定义其随影数集

。={,-川尸,X3>}.若min（Q）=l,则称集合尸为一个〃元理想数集，并定义户的

理数f为其中所有元素的绝对值之和.

⑴分别判断集合$={-2,-1,2,3）,7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；（结论不要求

说明理由）

（2）任取一个5元理想数集P,求证：|min（尸）|+|max（尸）上4；

⑶当尸={再/2,…应叱}取遍所有2024元理想数集时，求理数1的最小值.

注：由〃个实数组成的集合叫做〃元实数集合，11^«（尸）,111亩（尸）分别表示数集尸中的最

大数与最小数.

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填

空题）+5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、

数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如

本卷第19题。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的。

I.已知样本数据再,X2,…,再00的平均数和标准差均为4,则数据FT-无2T，…,FooT

的平均数与方差分别为（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

【答案】B

【详解】由题意知样本数据再,马，…，毛（）0的平均数和标准差均为4,贝!!西,马,…，西。。的方

差为16,

贝卜士,-尤2,…,-占00的平均数为-4,方差为（-1）2xl6=16,

®-1,~x2-1,•••,-x100-1的平均数为-4-1=-5,方差16,

故选：B

2.已知向量1=（1,2）,忖=3,归-24=如，则向量3在向量加上的投影向量的模长

为（）

A.6B.3C.2D.—

5

【答案】C

【详解】因为之=（1,2）,所以同=逐，

因为5-2可=如，所以卜-2可=17,

所以Q・Q-4Q.B+4B.B=17，又忸卜3,

a-b6

所以a%=6,所以向量1在向量B上的投影向量的模的值为2

w3

故选：c.

3.己知在等比数列｛%｝中，2a2+(z3=15,a2a3a4=729,则()

A.2X3"T-2B.g(3"T-1)C.2x3"-«D.5x3"-3

【答案】B

【详解】因为在等比数列｛4｝中，出%%=729,所以城=729,解得%=9,

又2%+%=”，解得。2=3,

设等比数列｛%｝的公比为9,则4=：="|=3，

所以q=1,所以S“-"=g-3"T=；（3"T一1）.

故选：B.

4.已知三棱锥/-BCD中，AB=6,AC=3,BC=36三棱锥4-8。的体积为

处8,其外接球的体积为空兀，则线段C。长度的最大值为（）

23

A.7B.8C.75/2D.10

【答案】C

【详解】因为球的体积为言兀，所以球的半径五满足一兀=g兀叱，可得火=5；

又/5=6,/C=3,BC=3VL因此/"=/。2+3（72,即乙。8=90°,此时

S"c=；X3X36=¥^;

设点。到平面/BC的距离为3贝己力x%8=2,可得〃=7,

322

因为。在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为当々与平面/8C平行时，DC有

最大值；

设球心到平面/8C的距离为d,而08C的外心即为的中点，外接圆的半径为

-AB=3,

2

则d=A/52-32=4，故球心到平面a的距离为7-4=3,

可知截面圆半径为152-32=4；

设C在平面a上的射影为E,则E的轨迹为圆，如下图所示:

设该圆圆心为O,则当。,O,E三点共线时且点。在中间时，OE最长，

此时。£=3+4=7,故线段CD长度的最大值为7VL

故选：C

5.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝

色光、绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能

同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示

不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）

A.60种B.68种C.82种D.108种

【答案】D

【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，

所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有C；=4种方法，

且不同颜色数有3x3x3=27种，

所以这排电子元件能表示的信息种数共有4x27=108种.

故选：D

6.己知.=2一"，6=logi]c=log23,则（）

43

A.a<b<cB.c〈b<aC.b〈a〈cD.

【答案】A

【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，a=2-L1<2-1=p

1.17।1t11

-=!ogi-<^=log1-<log,-=1,c=log23>log,2=1,

2a24W4

所以a<b<c,

故选：A.

7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规

各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当

今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年

Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间f和放电电流/之间关系的经验公式：

C=IAt,其中2为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的

条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,

则该蓄电池的Peukert常数2约为(参考数据：怆2Q0.301,lg3^0.477)()

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【详解】由题意知C=7.5'x60=25'xl5,

所以=F£|=^=4,两边取以10为底的对数，得21gm=21g2,

21g22x0.301

所以文=-1.15,

l-lg31-0.477

故选：D.

22

8.已知双曲线G：\-4=l(a>0/>0)与抛物线C2：/=2px(P>0),抛物线C?的准

ab

线过双曲线G的焦点/，过点歹作双曲线G的一条渐近线的垂线，垂足为点“，延长

尸〃•与抛物线C?相交于点N,若而+3赤=4两，则双曲线G的离心率等于()

A.V3+1B.*上C.V2D.V2+1

2

【答案】C

【详解】设双曲线的焦距为2c,

•••抛物线Q的准线过双曲线G的焦点产，

：——=c,

22

hbe

又；万(-C,0)到y=：无的距离d7=+夕=b,即|MF1=6,

•­•ON+3OF=4dM^>ON-OM=3dM-3OF,MN=3FM,

:.\NM\=3b,贝[]|FV]=4b,

■-\OF\=c,得|OA/|=y/FO2-FM2=a,

过N作NP_Lx轴，则AFOM*NP,

故相=■=耨=京=而=3=加刊=等'产尸上.

4.6、

由于尸c,---在--抛物线C2：/=2px(p>0)上,所以即

,cc)

4a2b2=(4/-c2)c2=>c4=4b2(c2-a2)=4Z>4=>c2=2b2,故c?=2/，

故6=也.故选：C.

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，下列说法正确的是()

1-i

A.若复数2=7—(i为虚数单位)，则z74=-l

1+1

B.若复数z满足z=[,则zeR

C.右Z[Z2=0，则zi=0或Z2=0

D.若复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是以坐标原点。为中心，

焦点在x轴上的椭圆

【答案】ABC

1-i(1-i)22i

【详解】解：复数z=^~~7=71―可―^=-T=-i,

因为r=1，所以274=,r1=_1,故选项A正确;

设2=a+bi(a,b£R),若复数z满足z=』

贝！Ja+bi=a—6i,即6=0,所以2ER,故选项B正确;

设Z]=机+疝(机,〃£R),?2=c+"i(c，d仁R)，

贝U2任2=(加+疝)(c+di)=mc-nd+(md+i.

因为2/2=me-nd—(md+几c)i,且21Z2=me—nd-(md+i,

所以2必2=Z1Z2.

若2必2=0,则Z1Z2=O，所以Z1=O或Z2=0，故选项C正确；

由复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是一条线段，故选项D错误.

故选：ABC

10.设直线系":xcos”e+ysin"P=l（其中0,加，〃均为参数，0V0W2兀，

加,{1,2}）,则下列命题中是真命题的是（）

A.当加=1,”=1时，存在一个圆与直线系〃中所有直线都相切

B.存在加，"，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限

C.当机=”时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为正

2

D.当加=2,〃=1时，若存在一点工（。，0）,使其到直线系〃•中所有直线的距离不

小于1,则aMO

【答案】ABD

【详解】A选项，当加=1,〃=1时，/：xcos9+ysin<9=l,

设圆为尤2+/=1,则圆心（o,0）到直线,：XCOS。+ysin夕=1的距离d=",=1,

Vcos<9+sin6

故”:xcose+〉sin8=l与—=1总相切，A正确；

B选项，当加=〃=2时，M:xcos20+j^sin23=\,

由于cos2e+sin2e=l,故直线Af:xcos2e+ysin2e=l恒过（1,1）,

若sin9=0时，直线为=

若sinS/O时，直线/:》烟2。+可112=1的斜率为-^^m0,

故直线M:xcos20+ysit?0=1不过第三象限，

所以存在加，n,使直线系"中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B正确；

C选项，当加=〃二1时，M:xcos3+ysin0=1,

111

坐标原点到直线系M的距离为4=/J,=1,

Vcos26>+sin26>

当当加=〃=2时，Af:xcos2^+^sin2^=1,

111

坐标原点到直线系M的距离为d2=-/J4

Vcos8+sin0

其中cos40+sin40=cos20cos26,+sin2^sin20<cos26+sin26=1,

|1|

故出=>1,C错误.

Vcos40+sin40

D选项，当机=2,〃=1时，M:xcos2e+ysin8=1,

acos261-l

点/（a,0）到直线系M中所有直线的距离4=/J=>1,

Vcos4^H-sin20

化简得（〃—1）cos2。22a—1恒成立,

由于cos29£[0,l],

若/_1=0,解得a=±l,

当a=l时，0>1,不合要求，舍去，

当。=-1时，02-1,满足要求，

若即。>1或。<一1,此时一Dcos?6的最小值为0,

则022a-l,解得故此时

若即一此时（"-Deos?。的最小值为。2一1,

贝!JQ2一122。一1,解得或aVO,故此时一

综上，a<0,D正确.

故选：ABD

11.如图所示，一个圆锥SO的底面是一个半径为3的圆，4c为直径，且

乙4SC=120。，点5为圆。上一动点（异于A,。两点），则下列结论正确的是（）

S

B

71兀

A.的取值范围是

02_

B.二面角S-8C-/的平面角的取值范围是

C.点A到平面SBC的距离最大值为3

D.点M为线段S3上的一动点，当时，AM+MC>6

【答案】BD

【详解】由已知/c=6,ZASC=U0°,且山=SC=S8,

在A/SC中，由余弦定理可知，cosN/SC=S"+SC_/C,

2SA-SC

即」=胃/’解得小SC3=2G则SO3

A选项：点3为圆。上一动点（异于A,。两点）,

则45£（0,6）,

…，…工产AB2AB

4gB-473'

所以cos/SAB’21

所以/"BE，A选项错误;

S

C

BD

B选项：取3。中点。，连接SZ）,0D,则SDL2C,0D1BC,且ODUAB,

OD=^ABG（0,3）,

则二面角S-8C-/的平面角为/S。。,

所以tan/SDO=*布」也

—，+°°>

37

7171

所以NSAOe，B选项正确;

6'2

C选项：由已知邑SBC=；8C-S。，

又S,=-ABBC=ODBC,

/、AABLr2

1同

则三棱锥S-ABC的体积VS_ABC=-S^ABCSO=^ODBC,

设点点A到平面SBC的距离为d,

则%=-S^-d=-BC-SD-d=-OD-BC,

SBC3ASBC63

贝I]d=型=2gcosZSDOe（0,3）,C选项错误;

SD

D选项：当&4_LS8时，AB=42SA=246,BC=2拒,

则为等腰直角三角形，△SBC为等边三角形,

将平面SBC绕SB至SBC,使C'与SAB共面，

如图所示，

贝！JAM+MC=AM+MC>AC,

5兀

在4c中，Z-ASC=—,

6

由余弦定理可知AC'2=SA2+SC'2-2SA-SC'-cos-SC'=12+12+126=24+12百>36,

所以+D选项正确；

故选：BD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合/={x，-x-6<0},B={x\-a<x<a］,若NgB,则实数。的取值范围

.

【答案】［3,+⑹

［详解］集合/=|x2-x-6<o}=|x|(x-3)(x+2)<01={%|-2<x<3},

yiB={x\-a<x<a},且4=5,

f—aK-21a22「、

故可得，即、,，解得ae3,+m.

［a>3［a23

故答案为：［3,+s).

13.已知三棱柱NBC-44G中，是边长为2的等边三角形，四边形耳4为菱

形，乙4/8=60。，平面平面/3C,M为的中点，N为的中点，则三

棱锥G-4〃N的外接球的表面积为.

【答案】7兀

【详解】解法一连接鸡,AtB,记AABX=&,则0,4=1.

连接Oi〃，OXN,则qM=QN=；43=l,故Q为△4九W外接圆的圆心.

取4巴的中点。，连接。。，则。=所以点。在A4W的外接圆上.

连接CQ,因为△44G为等边三角形，所以C\D=e.

由平面ABBiAi±平面ABC,知平面ABB1AX±平面44cl,

又平面ABB{A}n平面44G=44，CQu平面44G,所以G。，平面ABBA

//—\2

设三棱锥G-4跖v的外接球半径为&,贝UA2=F+Y3=1,

I\274

故三棱锥G-A.MN的外接球的表面积为4成2=7兀.

解法二连接45,CM,则△4/8为正三角形，CM1AB,故

因为平面4BB/11平面ABC,平面ABBXAXA平面ABC=AB,AXMu平面ABBXAX,

所以AXM1平面ABC,

以狼为x轴，为歹轴，朋4为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

得M（0,0,0）,5（1,0,0）,4（0,0,百）,N,C（0,百,0）,G（1,73,73）,

<1

由为等边三角形，则九w的外接圆圆心为P|

设三棱锥C「4〃N的外接球的球心为。，连接O尸，OM,OQ,

则。尸，平面4ACV,又CM,平面4ACV,所以。尸〃CM.

<1

设,由。G=OM,可得

&T+（*&『+],一行]=[1）+/+，

解得〃7=巫，因此球心故外接球半径R=OM=YZ,

9\2227?4

（行丫

故三棱锥G-4九W的外接球的表面积S=4TTXU=7兀.

I2>

故答案为：7K

/、a（lnx-lux.）1

14.已知对任意网62e（0,+oo）,且当王<马时，都有：-9-----<1+----，贝!]。的

x2-芯XxX2

取值范围是.

【答案】（-叫2]

,一/、a（h\x,-lux,）1

【详解】因为对任忌西,％2£（0,+8）,且当王<%2时-----------<I-1-----怛成立，

x2-再x1x2

,,与一跖，一、

所以QIILT?_QlnX]<x2-x1+----^恒成立，

x{x2一

I111一

所以a\wc2—alnX]<x2-xi-\-------ti.成立，

项x2

I11一^

所以a\wc2-x2+--<alnXy-xx+—恒成立①,

令/（x）-ci\wc-x+—,xG（0,+a）,

由①式可得"马）</（再），所以〃x）在（0,+8）上单调递减，

所以《（X）=-+1W0在（o,+8）上恒成立,

所以/-ax+lNO在（0,+功上恒成立，

所以aVx+工在（0,+/）上恒成立，Xx+1>2Ax--=2,当且仅当工=工，即x=l时取

XX\XX

等号，

.,.aV2.故答案为：（-叫2]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）在AA8C中，内角/,B,C所对的边分别a,b,c,其中

a=b+2,c=y/ib，且sin/=&sinC.

⑴求c的值；

⑵求tan/的值；

（3）求cos[2/+7〕的值.

【答案】(1)2夜⑵-不⑶加一3二

8

【详解】(1)sinA=V2sinC,

/.a=V2c，

a=b+2fa=4

.,-<c=5b,解得b=2,

a=V2cc=2\/2

c=2>/2.

(2)由余弦定理可得cos4=一+一-'二—变,又0</〈兀，

2bc4

/.sinA=Vl-cos2A=，tan力=‘融/=-V7.

4cosA

(3)因为cos2A=2cos2A-l=——,sin2^4=2sinAcosA=------，

44

IJT\TTTTV14-3V2

所以cos2A+—=cos2^4cos----sin2Asin—=

I4J448

16.(15分)如图，在三棱锥尸-/3。中，”为/C边上的一点，

回

ZAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=—,AB=2PC=76,PA=6

3

(1)证明：/C_L平面P2M；

(2)设点。为边依的中点，试判断三棱锥尸-NC0的体积是否有最大值？如果有，请求

出最大值；如果没有，请说明理由.

【答案】(1)详见解析⑵YZ

4

【详解】(1)解：因为乙4尸。=/尸取4=90。，AB=2PC=RPA=5

所以=,4尸2+/。2=迪,由射影定理得/产=41f.

2

AC1—

所以=由余弦定理得瓦I/?=/〃2+452-2/〃./8<05/。12=4,

^\^BM2+AM2=AB2,则4Affi=90°,即

又因为/C_LPM,BMcPM=M,

所以/C_L平面尸MS:

(2)因为点。为边尸"的中点,

所以%-PAC=J/—PAC，又%—PAC=%—ACQ，%—PAC=%—ABC，

所以修一力怎=；/一ABC,

因为/Cu平面48C,所以平面48C/平面尸,

所以点尸到平面/3C的距离，即为点尸到8河的距离，设为人

因为S=_1/8/(7与11/。8=工n・拽・逅=迪为定值，

"c22232

当〃最大时，所以三棱锥尸-/C。的体积最大，

PA

而尸加■=—：—=1,贝

AC

当〃=1时，(VPACO)=-(VPABC)=-xlx^lxl=^l.

VP-AC^/max2\P~ABC7max2324

17.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开

放了48两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的

体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从48两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、

112

乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为于§,§,求这三人中这一周恰好有一人选

择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身

中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为，若丁周六选择A健身中心，则

周日仍选择A健身中心的概率为[；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的

4

概率为|.求丁周日选择3健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数上(左«0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定

上值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人,

其左值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健

身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但

抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求〃的最大值.

参考数据：0.9829»0.557,0.9830»0.545,0.9831。0.535.

713

【答案】(1)而；(2)—；(3)30.

【详解】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率

127

p=1xi-|+■*+xi-1

r3ri18

(2)记事件C：丁周六选择A健身中心，事件。：丁周日选择B健身中心,

则尸（C）=P©=；,尸（回。）=1一；］,尸（0。）=1彳=；,

由全概率公式得尸⑷=P（C）P（0c）+P©P（Z>|c）=|x|+|x|=l|

13

故丁周日选择8健身中心健身的概率为—.

24

（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为人

则0=0.12,

设抽取次数为X,则X的分布列为

X123Ln-1n

PP(1-0。(y-p?pL(1-4>(i-^r

故E(X)=p+(l_p)px2+(l_p)2px3-\---1-(1-p)n~22x(〃一l)+(l—p)"Txn,

又

(1一))E(X)=(1—2))+(1—p)2px2+(l—7)3/?x3+•••+(1—夕)〃T夕x(〃一1)+(1—7)"xn,

两式相减得pE(X)=2+(1—夕)夕+(1—夕丫夕+...+(1—2)〃一22+(]一夕)〃-1p,

所以E(X)=]+(1_夕)+0_2)2+...+(]_2)〃-2+(]_2)〃T

_1一(1一2)"_1一(1一+_l-0.98n

pp0.02

1—0.98"

而£（X）二在〃eN*时单调递增,

0.02

可知当T9时，、⑻二二浮胃”5；

1—0.98〃1-0.545…u

当〃=30时，E（X）=-------X--------=22.75；

0.020.02

1—0.98〃1-0.535.…

当〃=31时，E（X）=-------x--------=23.25.

0.020.12

若抽取次数的期望值不超过23,贝!J〃的最大值为30.

22

18.（17分）已知椭圆C:二+5=1（。>6>0）的上下顶点分别为4,鸟，左右顶点分别

ab

为4,4,四边形444与的面积为6不，若椭圆c上的点到右焦点距离的最大值和最

小值之和为6.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点（T,o）且斜率不为o的直线/与c交于P,。（异于4,4）两点，设直线4尸与

直线4。交于点可，证明：点M在定直线上.

22

【答案】(1)/+[=1(2)证明见解析

【详解】⑴设右焦点坐标为右(c,0),椭圆C上的一点？(“〃),则-a<m<a,

22l

mn172b2m

故=+-7=1，^Hnn2=b2——

a2b2a2

则T(m,zz)到右焦点的距离d=yl(m-c)2+n2=Jm2-2cm+c2+b2-b2m2

cm

-Icm+a1----a，

a

crn

因为加Wc,所以一——<C-c-a<--a<c-a,

aa

,.cm

a—cG----QWa+c,

a

即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,

故a+c+Q-c=2a=6,解得a=3,

又四边形444与的面积为:|441•忸肉=；x2a♦2b=2a6=6囱,

故ab=3旧,所以6=后,

22

椭圆方程为土+二=1;

95

(2)当过点(-1,0)且斜率不存在时，直线/方程为x+l=O,

：口中,令Z得，…噌'

不妨设尸-1,

2回

(x-3)'即4「了=一乎(x-3),

直线4p丁

A)P:y=---

v/-1-3

同理可得4Q:y=-

联立4尸,4。得，%=-9,故点M在直线x=-9上,

当过点(T,0)的直线斜率存在且不为0时，设直线I方程设为x=-l+my,

22

联立/+勺=1得(5〃/+9)/-10叼-40=0,

设尸(国,必),。仁/2)，则%+%=<1?”：，/力=<一?0°，

5m+95m+9

两式相除得畋以=-4%-4%,

直线4