2024年10月新高考数学模拟大题汇编：三角函数、解三角形（解析版）

2024年A10月三角函数、解三角形大题汇编

知识点一:基本定理公式

⑴正余弦定理:在中，角4B,。所对的边分别是a,b,c,72为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=62+c2-2bccosA；

a=b=c=ZR

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a^+b2-2abcosC.

b2+c2-a2

cosA=~；

(1)Q=2AsinA,b=2AsinB,c=2五sin。；2bc

c2+a2—62

常见变形(2)sinA=检，sinB=条，sinC=/；D

Z/tZrtZrt2ac

「a2+b2-c2

2ab

(2)面积公式：

S^ABC=-^-absinC=《besinA=-^-acsinB

△222

$铸6。=噜=43+匕+°)・『(『是三角形内切圆的半径,并可由此计算凡,.)

4/tZ

知识点二:相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边0a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

a>b=A>BosinA>sinBocosA<cosB

③八分比•a+"c=a+b=b+c=a+c=a=b=c

口•sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

2R

⑵4ABe内角和定理：4+石+。=兀

①sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+5cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)='an'ltan%=tanA+tanB+tanC=tanA•tanB*tanC

1-tanA-tanB

公.(A~\-B\C(A-\-B\.C

⑷—~~)=cos万；cos(---)=sm—

⑤在AABC中，内角。成等差数列=+李.

知识点三:实际应用

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).

视线

铅福角娄

垂

线、迎视角线S

图①

【解题方法总结】

1、方法技巧:解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,6和人时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

ccX

-A

图形

A了…-EA''……-BAB

AB

关系式a=6sinA&sinA<a<6Q〉ba>ba&b

解的个数一解两解一解一解无解

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择

“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式,优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cos①的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时,要用到A+8+。=兀.

3、三角形中的射影定理

在/\ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【题型分类汇编】

L（湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第15题）

记AABC的内角48。的对边分别为a,b,c,已知（血匕—a）sin/=（6+c）（sinB—sinC）.

（1）求角G

（2）若AABC外接圆的半径为2,求面积的最大值.

方法提供与解析：

（1）解析：由已知及正弦定理可得b—a）a=（b+c）（b—c）,整理得d2+b2—c2=V^ab,

cosC=aj~C=CE（0,7r）,/.C=^~.

2ab26

（2）解析:•.•△48。外接圆的半径为2,.・.-=4,得0=2,：.（12+〃=4+四而，又

smC77

a2+b22ab,ab<4（2+V3）,当且仅当a—b—V6+V2时，等号成立，

S^ABC=~~dbs\iiC<x4（2+A/3）x]=2+A/3^5即\ABC面积的最大值为2+.

2.（辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第16题）

已知函数/（力）=2V^cos2（/_20；5兀）+2sinQ—2024兀）cos/—V3.

（1）求曲线g=/（c）的对称轴；

（2）已知25/（m—聿）=14,mE[争，菁），求sin27n的值

方法提供与解析：_______>

解析:(1)/(劣)=2A/^COS、(N-20：5兀)+2sin(力—2024兀)cos6—V3,

=2A/3sin2a?+2sin/cosj;—V3=2sin/cos力—V3(1—2sin2T),

=sin2c—，5cos27=2sin(2x—

由2x—=卷+k兀(kGZ),

o/

得曲线g=/（N）的对称轴为T=EZ）;

⑵由题意可得了他一方人”，即sin（2m一争）=击，

G

又mG［争，警），则2M一等［奢，兀），即cos（2nz一半）V0,

所以cos（2m—=-Jl-sin2（27n—^^）=一瑞，

.2兀

故sin2?7z=sin[(2?n-亨■)=sin(2m一等)cos^+cos(2m-sm—

+警o

>T+--y

3.(福建泉州市2025届高中毕业班模拟检冽(一)解析第15题)

记AAB。的内角人,瓦。的对边分别为Q,b,c.已知acos2m+ccos2j^=-|-6.

(1)证明:sinA+sinC=2sinB;

⑵若b=2,届•丞?=3,求AABC的面积.

方法提供与解析：

小板将同冉2。,2A3,a(l+cosC)+c(l+cosA)3,

(1)解析：因为acos2—-+Ceos--=-0,贝U-----------------------=-6,

乙乙乙乙乙

即a+c+acosC+ccosA=3b,

由正弦定理可得3sinB=sinA+sinC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinA+sinC+sin(A+C)

=sinA+sin。+sin(7r—B)=sinA+sinC+sinB,因止匕sinA+sin(7=2sinB.

(2)解析：因为sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可得Q+c=2b=4,

由平面向量数量积的定义可得AB,AC=cbcosA=3,所以2c•万十：—里=、十°——3,可得。?—Q2=

Zbc2

2,

即(c—Q)(c+Q)=4(C—Q)=2,所以C—Q=2~,则。="|~,。=+，

所以cosA=^-=—=2■,则4为锐角，得sim4=，l—cos2.=Jl—器丫=项,

be2x^3Vv373

因此S、ABC--ybesinA=1=1X2X?X=3/.

4.（长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试解析第16题）

2

在XABC中，角A,B,C的对边分别为abc4ABe的面积为S,挈S=bsin(2A+B)1

O

⑴求角A;

⑵若A4BC的面积为3A③a=m,。为边8C的中点，求AD的长.

方法提供与解析：

sin2AcosB+cos2AsinB..\,

(1)解析：由题意得髭之S=+1b2

O-------->-

_2sin4cosAcosB+2cos2/,sin8.,2_2cos恁①缶+B)2_2cosAsin。,2

sinBsinBsinB'

由正弦定理，得4^^s=2cc：s”,牝即x-^-bcsinA=2bccosA,所以tanA=V3.

又AC(0,兀)，所以A=).

o

(2)解析：因为XABC的面积为3V3,所以Jbcsin卷=3V3,所以be=12.

因为a=6X所以〃+c2—2bccos看=13,即〃+c?—be=13,所以〃+c?=25.

o

因为。是边BC的中点，所以国5=<(也?+毋)，

所以延|2=1(〃+c2+2bccosA)=。(〃+c?+be)=苧所以同I=卷N，所以AD的长为乂。.

5.(山东省日照市2024-2025学年高三上学期开学校际联考解析第16题)

记A4BC的内角ABC的对边分别为a,be已知4=9a=2.

o

⑴若sinB—sin(7=(，求b；

⑵若sinB+sin。=2sinA,求A4BC的面积.

方法提供与解析:

⑴解析:(正余弦定理)

由正弦定理可得=」一=早，

smBsmCsmAsjnA3

贝UsinB=b,sinC=c,由sinB—sinC=可得—=J,即b—c=

由余弦定理可得,Q2=/+。2_2bccosA,

即4=〃+c2—be,即4=(b-cy+bc,解得bc=1~,

o

fec=-Tfb=.

u

联立一"解得3

-2VI

(Cr—3

(2)解析：(正余弦定理)

因为sinB+sinC=2sinA,由正弦定理的边角互化可得,b+c=2a=4,

由余弦定理可得,a*=fe2+c2-2bccosA,即4=力+如一be,

所以4=(b+。户一3&c,解得be=4,则S&ABC=-^-besinA=[*x4x=V3.

6.(黄冈市2024年高三年级9月调研考试解析第16题)

函数/(⑼=sincoa?-cos&xr+COS2&)T,a>>0,函数的最小正周期为K.

(1)求函数/(c)的单调递增区间以及对称中心；

(2)将函数/(⑼的图象先向右平移卷个单位，再向下平移J个单位，得到函数g(c)的图象，在函数

o2

g{x}图象上从左到右依次取点4,4,…，42024,该点列的横坐标依次为如亚，•••，电024,其中g=吗+1

—6n=&(nCN"),求9(电)+g(22)+---+9(^2024)•

O

方法提供与解析：

(1)解析:/(2)=-^-sin2(7)T+1+c；s2“*=^-+^^sin(2℃+£

因为/（力）的最小正周期为兀，故、号=兀，即8=1,所以/（/）=1+sin(2%+£

2a）2

令2/C7T—，42/+~~&2kn+9,keZ,故卜兀—《力&kn+1,kEZ,

242o8

故/（，）的增区间为上元一争,%兀+1],&CZ.

令2,+与=阮％”,则2=萼—1,zez,故/㈤图象的对称中心为（与一[,（）,zez.

42o'232，

^^sin(2c-]=^-sin2rr,则g(力)的周期为

（2）解析:由题设有g（0=y-y+兀,

而6n+3一3=看x3=兀，故g(xn+3)=g(*n),而g(g)=乎

O/

/\/兀兀、孱./兀2兀、V2/x（兀2兀、.（兀上4兀、V2

g3）=9（4+可）=亏sm（1+工厂—丁，9（斓=改彳+丁尸V〒2sm（1+工厂一丁,

故gOi)+g(22)T---卜g(82024)=g(0)+g(*2)+674[g(g)+g(a；2)+g(g)]

与T+674（夺—**=卓

7.（黄冈市2024年高三年级9月调研考试解析第18题）

在A4BC中，角48,。所对的边分别为a,b,c.

/1\、下口目人A1—cosAsinA

⑴证明:tan^=F-=正力

⑵若a,b,c成等比数列.

⑴设々=%求q的取值范围;

a

⑻求tan看targ"的取值范围.

方法提供与解析:

2sin噜

（1）解析:上岸洛

tan万,

smA2sin等cos等2sin等cos等

sinA2sinycosy2sinycosy/1—cosAsinA

--------=-----------=-=tan—,故tan—=-------=--------—

1+cosA1+(2COS24-1)-----2cos2等---------22sim4-----1+cosA

(2)解析:(i)由题意设b=aq,c=ag2,

q>Q

ayq；aq2,解之得

由三角形三边关系知＜(+]\

a+aqz>aqv22)

aq+a/>a

1a2+b2-c2

（u）由⑴的结论可知:tangtan亨二sinA1—cosC__sinA1—cosC__a2ab

1+cosAsinCsin。1+cosAC1|b2+c2-g2

十2bc

a+c—6a+aq2—aql+q?—q(l+,+q)—2q2q2「「13~V5\

a+c+ba+aq2+aql+q2+q1+Q2+Q1+Q2+Qq+：lL3，2)

故tan告tan亨的取值范围为优).

_______________5'

&(福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质■:检测解析第15题)

在^ABC中,4BC的对边分别为a,b,c,且满足.

请在①(a—b)sin(A+C)=(a—c)(sin?l+sin。);②sin(1—C^cos(C+等)=生，这两个中任选一个

作为条件,补充在横线上,并解答问题.

⑴求。；

⑵若的面积为5代,。为AC的中点，求BD的最小值.

方法提供与解析：

(1)解析:选择条件①,(Q—b)sin(A+。)=(a—c)(sinA+sinC),则(a—b)sinB=(a—c)(sin.4+sinC),

由正弦定理可得(a—b)b=(a—c)(a+c),即a2+b2—c2=ab,所以cos。="甘—―=!，由。£(0,兀)，所

2ab2

以C=看.

o

选择条件②,sin信一。卜(圮(0+,)=；,即sin[y-[y+c)]cos(c+y)=^-,

所以cos2(C+g)=?，

由ce(o,兀)，看<。+看<萼,则cos(c+看)=-所以。+卷=等,则。

OOOJZOOO

(2)解析：由S=}absinC=X—5A/3,解得ab=20.

大玩)=配+出所以42=函+闻丫=二+2配•团+赤

=a'+2ax~bX(—)+(~x~b\=a'+士---->ab—x~o,b—&ab=10,

2'2'\2/4222

所以\BD\>V10,当且仅当a==时等式成立，所以的最小值是，

9.(唐山市2024-2025学年度高三年级摸底考试解析第15题)

已知AABC的内角AB,。的对边分别为a,b,c,V3sm2A+cos2A=2,b=V2a.

⑴求B;

(2)若B为锐角,AC边上的高为2+n，求A4BC的周长.

方法提供与解析：

(1)解析：易知，jisin2>l+cos2A=2sin(2A+£)=2=>sin(2A+D=1,

\o''o'

所以2A+]==■+2%兀=/.=£+/OT(keZ),因为AABC中AB,CC(0㈤，所以人=?，

6266

而b=V2a0sinB=V2sinyl=^~、则B=与或B=.

244

⑵解析:由上可知4=5,8=:，则。=兀一占一:二要，如图80,47,

646412

则石。=6+弧"8=相,/(78。=若，

所以sinA=nAB—2^/2+2V6,cosZCBD=cos(-y—?)=xx-^-==

AB146/22224

需,则石。=4,40=42，

JDC

所以ZL4BC的周长为C^c^AB+BC+AC^272+276+4+472=6-72+2A/6+4.

10.(山东百师联盟2025届高三开学摸底联考解析第15题)_______>

已知AABC的内角的对边分别为Q,b,c,C==ab+6ccosA.

o

⑴求6的值；

(2)若。=，肾,求比4口。的面积.

方法提供与解析：

(1)解析：因为6b=ab+6ccosA,

由正弦定理得6sinB=fesinA+6sinCcosA,即6sin(A+C)=fesinA+6sinCcosA,

可得6sinAcosC+6cos力sin。=bsinA+6sinCcosA,

整理得6sinAcosC=fesinA,因为人G(O,7u),可得sinA#0,所以b=6cosC,又因为C=号,所以b=3.

o

⑵解析：由余弦定理，可得c?=〃+Q?—2abeos看,

O

因为b=3,c=V19,代入得Q2—3Q-10=0,解得Q=5或Q=—2(舍)，

所以bABC的面积S=-^-absinC=4X3X5xsing=工'^^.

2234

11.(2024年9月嘉兴市高三基础测试解析第15题)

已知AABC的内角_4,旦。的对边分别为a,b,c,已知(b+c—a)(b+c+a)=be.

⑴求4

⑵若。为8。边上一点,/BAD=3ACAD,AC4,AD=通，求sinB.

方法提供与解析：

(1)解析:(b+c—Q)(b+c+Q)=(b+c)2—稼=匕2+2bc+c2—a2=be,则b2+c2—a2=—bc,

所以cos4=合+*2—稼=_q,因为0<4<兀，所以A=娶.

2bc23

⑵解析:：由⑴得,A=娶，因为ABAD=3ZCAD,所以ACAD=?,

在^ACD中,由余弦定理CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosADAC^3+16—2代x4x卓=7,

即CD=J7,在A4CD中由正弦定理.欢=2^,即所以或门^二耳，

smZZMCsmCsmC2v7

2

因为故cos。=—sin2。=—4^,在A4BC中

32V7

sinB=sin(A+C)=sinAcos。+cosAsinC=­x―[x.

22v722v77

12.(江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考解析第15题)

已知A48。中，内角人,8,。所对的边分别为a,b,c,且a(l—3cosC)=3ccosA.

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大时^ABC的面积.

方法提供与解析：

⑴解析：因为a(l—3cosC)=3ccosA,由正弦定理得sinA(l—3cosC)=3sinCcosA,

得sinA=3sinAcosC+3cosAsinC=3sin(A+C)=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以々=《.

a3

2

⑵解析：由余弦定理得cosB=稼+二――=9。胃*=学+=>2,夺得=乎，当且仅当孕=

2ac12b33oV33D33

1

而'K1

即b=^-时取等号，当cosB取最小值时,8最大，此时a=3b=+弋,c=2,sin_B=Jl-cos28=；,

△ABC的面积为JacsinB=9x与2x2*=泽.

z乙乙o乙

13.(河北省邯郸市2024-2025学年高三第一次调研解析第15题)

设N4BC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

(b+a)(sinZABC-sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),BC、AC边上的两条中线AD,跳;相交于点P.

(1)求ABAC\

⑵若AD=BE=2,cosNDPE=耳，求A4BC的面积.

方法提供与解析：

解析:⑴因为(6+Q)(sinZABC—sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),所以由正弦定理得〃+。2—Q2=儿，

由余弦定理得cos/A4C='+：?一斡=^_,又ov/BA。〈加，

2bc2

所以乙氏4C=专.

O

(2)因为P是BC,AC边上的两条中线AD,BE的交点，所以点P是A4B。的重心.

又AD=/,BE=2ZAPB=ADPE,

所以在^ABP中，由余弦定理c2=AB2=B42+PB2-2PA-PBcosAAPB

=(*+(扑2><x4/4,

所以c=2,又BE=2,/历1。=卷，所以AE=BE=2,所以b=24B=4,

O

所以AABC的面积为x4x2xsin^-=2V3.

乙0

14.(湘豫名校联考2024-2025学年新高考适应性调研考试解析第15S)

在AABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,已知c=2,6^+c?—〃=■一2cosA)bc.

⑴求b的值;

(2)设/A4c的平分线交于点。，若A4BC的面积为3，^,求线段的长.

方法提供与解析:

⑴解析:在AABC中，由余弦定理得2bccosA=b2+c2—a2,

代入已知条件,得a2+c2-b2=^-bc—(b2+c2—a2).整理，得2c2=-|-bc,所以b=3c=6.

oo

⑵解析：由于S^ABC--^-bcsinZBAC.所以sinZBAC=;ABC_.

2be2

又/历ICG(O,7r),所以/A4C=5或等.所以sinJ/A4C=J或今，

oo1乙乙

由点。在ABAC的平分线上，知点D到边AB和边AC的距离相等.设这个距离为d,则=y(fo+c)d,

所以d=至丝型=224⑤=业③，所以AD=d

b+c2+64sinyABAC

15.(山东省2024年9月高三七校联考解析第15题)

已知锐角A4BC中，角AB,C的对边分别为Q,b,c,若a—c=2ccosB.

⑴证明:8=2C;

(2)若a=2,求与咨+工的取值范围.

0C

方法提供与解析：

(1)解析：因为a—c=2ccos_B,由正弦定理得sinA—sinC=2sinCcos_B,

所以sinBcosC+sinCcosB—sinC=2sinCcosB,

所以sinBcosC—sinCcosB=sin。Qsin(B—C)=sinC,

而OVBV兀,0<。<兀，则右一。二。或6一C+C=7L,即6=2。或6=兀(舍去)，故B=2C

0<C<f

⑵解析：因为NABC是锐角三角形，所以,0<2C<f，解得

/64

0〈兀一3。<彳-

所以cosC的取值范围是<cosC<,

由正弦定理可得=词呼，则b=包己・c=*咋・c=2cosC-c

csmCsmCsmC

所以c°sC=/所以胃+：3

bc2^

因为a—c=2ccosB,所以2—c=2ccos2C,所以2—c=2ccos2C,所以c=-.....--—―