2024年北京某中学高一（上）期中数学试题及答案

2024北京景山学校高一(上)期中

数学

2024年10月

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合4={%|0<%<16},B={x\x>2},则/门8=()

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|2<x<16}D.{x\2<x<16}

2.若实数访b满足则下列不等式成立的是()

A.同〉|臼B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac2>bc2

3.已知命题p：Vx>0,x+^>2,则为()

11

A.Vx>0,xH—42B.Vx<0,%+-<2

XX

11

C.x4—42D.三%>0,x4—42

XX

4.已知偶函数/(x)在区间(-oo,-1］上单调递减，则下列关系式中成立的是()

A-/(—$</(—3)</(2)B./(-3)</(-1)</(2)

C./(2)</(-3)<^-1)D.7(2)</(-|)</(-3)

5.已知集合A={%,1),集合3={尤2,x+y,0},若N=8,则%2023+丁2024=()

A.-1B.0C.1D.2

6.已知函数f0)=Hu次0若八a)+/(V2)=0,则实数a=()

A.-1B.-3C.1D.3

7.若a>0,b>0,则“a+Z£4”是“说4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知定义在(0,1)上的函数/(x)=卜”是有理数与⑺’正是互质的正整数)，则下列结论正确的是

%是无理数

()

A./(%)的图象关于％=±对称B./(X)的图象关于》对称

C./(%)在(0,1)单调递增D./(%)有最小值

1q

9.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(久一2)="久)，且当xd(0,2］时，/(%)=x(2-x).若/(t)2芋

则/的最大值是()

141311Q

A.B.一彳C.-彳D.-4

%2+4%+3/x<0/1

10.已知/(%)=2若XlVx2〈X3(X4,且f(XI)=f(X2)=f(X3)=f(X4),则一+

必

U|3--X|1,%>0,

111,

—+—+一的取值范围是()

x

X2%34

A.(-8,竽)B.(-oo,2)C.(—00/各D.埠，竽)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/(%)=7Tzi的定义域是.

12.已知集合4={x[(a-1)/一21+1=0}有且仅有2个子集，则实数Q的值为.

11

13.已知仍>0,且〃+46=1,则一+一的最小值为

ab

14.已知奇函数危淀义域为R,当这0时，加)=/+2%,则火-4)=；

若44)次1-则实数m的取值范围是.

15.已知函数/(%)=\~aX+3'"给出下列四个结论：

1(久一2)2,x<a.

①当a=0时，/(/(-1))=3；

②若/(x)存在最小值，则。的取值范围为(-00,0]；

③若/G)存在零点，则a的取值范围为(—8,-V3]U(0,+oo)；

④若/(x)是减函数，则a的取值范围为(0,1—孝]U[l+¥，2].

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.已知集合/={x|-l<xV2},B={x\\x-2\>2)-

(I)求4U5,AHQRB；

(II)记关于％的不等式f-(2冽+4)x+加之+4加go的解集为若MUCRA,求实数加的取值范围.

17.已知函数/(x)=ax2-2ax-3.

(I)若。=1,求不等式/G)K)的解集；

(II)已知a>0,且/(x)K)在[3,+oo)上恒成立，求〃的取值范围.

4

18.已知函数/■(>)=无一彳

(I)判断/G)在区间(0,+oo)上的单调性，并用定义进行证明；

(II)设g(x)=a-3x,若也1引1,4],3x2e[l,4],使得/(xi)=g(x2),求实数a的取值范围.

19.已知定义在R上的函数/(x)满足：对任意实数x,y,都有/(x+y)+f-y)=2f(x)/(y)；且当

x£［0,1)时，有/(X)>0.

(I)求/(0)；

(ID判断并证明函数/(x)的奇偶性；

(III)若/(I)=0,直接写出/(x)的所有零点(不需要证明).

20.已知关于x的函数/(x)=x1-2ax+2.

1

(I)当心2时,求/(x)在弓,3］上的最小值g(a)；

(2)如果函数F(x)同时满足：

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间。，勿，使得函数在区间［p,q］上的值域为［/A

则我们称函数F(%)是该定义域上的“闭函数”.

⑺若关于x的函数>=五二二I+f(x>l)是“闭函数”，求实数f的取值范围；

(«)判断(1)中g(a)是否为“闭函数”？若是，求出pq的值或关系式；若不是，请说明理由.

21.设〃为不小于3的正整数，集合6={(xi,x2,...X")忻e{0,1},i—1,2,n},对于集合Q”

中的任意元素a=(xi,X2,X"),p=(yi,yi,功)

记a*P=(xi+yi-xiyi)+(x2+y2-X2y2)+...+(xn+yn-x»yn)

(I)当〃=3时，若a=(1,1,0),请写出满足a*p=3的所有元素花

(II)设a,peQ„5.a*a+p*p=«,求a*|3的最大值和最小值；

(III)设S是孰的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素a,p,有a*归成立，求集合S中

元素个数的最大值.

参考答案

一.选择题(共10小题)

1.【点评】本题主要考查补集、交集的运算法则，属于基础题.

2.【分析】根据条件分别取。=1,b=-1可排除aC,取c=0可知。错误，由不等式的性质可知2正

确.

【解答】解：由取a=l,b=-I,则可排除/,C,

当c=0时，ac2=bc2,故。错误，

由a>6,可得a+c>6+c,故3正确.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

3.【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可.

【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，

11

命题p：Vx>0,x+2>2,则、为：3x>0,x+-<2.

故选：D.

【点评】本题考查了全称量词命题的否定应用问题，是基础题.

4.【分析】由函数的性质，结合函数单调性的应用求解即可.

【解答】解：因为一3<—#一2,

又函数/G)在区间(-8,-1］上单调递减，

W(-3)>/(-|)>/(H2))

又于3为偶函数，

则/(2)=/(-2),

则/⑵</(—当</(—3)，

故选：D.

【点评】本题考查了函数的性质，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.

5.【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.

【解答】解：因为/=8,且集合/中xWO,

所以集合/中的元素丫=0,

X

解得歹=0,

又因为1E4,所以1EB,

所以工2=1或％=1,

若%2=1,

解得X=1或％=-1,

经检验，％=1时，与集合中元素的互异性矛盾，、=-1时，满足题意，

若X=l,由上述过程可知，不满足题意；

综上X=-1,

所以f023+y2024=_1+0=_1,

故选：A.

【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.

6.【答案】故选:B.

7.【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：Va>0,6>0,：.4^a+b^24ab,

2>y[ab,.,.°6W4,即a+6W4今。6W4,

1

右a=4,b=彳，则ab=lW4,

1

但。+6=4+彳>4,

q

即abW4推不出Q+6W4,

.•・Q+6W4是ab〈A的充分不必要条件

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力.

8.【分析】由所给函数的解析式结合定义域即可一一判断.

【解答】解：对于Z项，当x是有理数时，设x=与(m<n),则/(%)=，，1一%=彳"，由于〃-冽和

n互质，

所以“1—久)=，故/正确；

对于2项，/(I—字)=1,f•=1，故8错误;

对于C项，f(1)=温)]故C错误；

1

对于。项，设/(%)有最小值一，pEZ,

取〃备)即可，其中4使得是质数，

此时/(急1)=急11与1一是最小值矛盾，故。错误•

p十qp十qpp

故选：A.

【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题.

9.【分析】由/(x-2)=2f3可知，自变量每减小2个单位，函数变为原来的二倍，可先求出/(x)在

1c

(0,2)上的最大值，然后当自变量减少4个单位时，首次出现/(x)2芋，先求出沅(0,2]时，/(x)

=x(2-x)=翌时的x的值，然后取较大的x,然后减去4即为所求.

【解答】解：由已知得：自变量每减小2个单位，函数变为原来的2倍，

当比(0,2]时，/(x)=x(2-x)G[0,1],则在此基础上，/(x-4)G[0,4],

11qo5511

令》(2—久)=五x才，解得x=%或：，故t的最大值为:-4=

，q44,444

故选：c.

【点评】本题考查抽象函数的性质，类比周期函数的性质解决本题是解题的关键，属于中档题.

10.【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到X1+X2=-4,Xie(-4,-3),X26(-1,0),

4

t>,1148

求出—+-=7---~—(-3-

%1%2(汽2+2)2-4

令X2+4X+3=3,解得x=-4或0,

因为y=x2+4x+3的对称轴为x=-2,由对称性可得xi+x2=-4,

且xie(-4,-3),X2&(-1,0),

-44

,11%i+x2-4

其中一+—A/*=—~A/*-=——AX'

%]X?X/2(-4-X2)X2(久2+2)2-4’

因为X2C(-1,0),所以(X2+2)2-4G(-3,0),

114

\

-+---7

右

肛3

22-11

又一一3=3一丁，故一+—=3,

工3工4%3久4

―11115

所以一+—+—+—£(-8,-).

%2x3x43

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质、对数函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题.

二.填空题(共4小题)

11.【答案】(—8,3].

12.【答案】1或2.

【分析】由题意可知，方程(a-1)x2-2x+l=0只有一个根，分a-1=0和a-1W0两种情况讨论,

即可求出实数。的值.

【解答】解：由题意可知，方程(a-1)--2x+l=0只有一个根，

①当a-1=0时，a—1,

此时方程化为-2x+l=0,

解得x=最符合题意，

②当a-l=0,即aWl时，

A=4-4(a-1)=0,

解得a=2,

综上所述，实数。的值为1或2.

故答案为：1或2.

【点评】本题主要考查了集合的子集个数，考查了分类讨论的数学思想，是基础题.

13.【答案】9.

【分析】把“1”换成4a+6,整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值

【解答］解：\'ab>0,且a+46=l,

.,.一+-=(一+-)(a+4b)=1+4+—+^>5+2I—■=9,当且仅当6='时取等号，

ababab\ab36

11

+工的最小值为9,

ab

故答案为：9.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换.

14.【答案】必____；

1

(-°0,—U(0,+0°).

15•【答案】①②④.

【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数

的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.

3%>0

'一,，，/(f(—D)=H(—1-2)2]=f(9)=3，故①正

{(无_27，x<0

确；

②当a22时，/G)=(x-2)2,x<a有最小值0,此时/(x)=-ax+3,x'a为减函数，且/(x)

一=r=,,(—ax+3/x>a_^„,=

-—8,无取小值，故/(%)=|无取小值，

1(%—2)2,x<a

当0Va<2时，f(x)=(x-2)2,无最小值，f(x)=-ax+3,无最小值,

—ax+3,x>a

故f(%)=无最小值,

(%—2产，x<a

2

当时，f(x)=-ax+3,x^a为增函数，最小值为-/+3,f(%)=(x-2),x<a单调递减，

所以只需满足-d+3W(〃-2)2,解得a41—孝或aN1+¥，所以故②正确；

3

③令/(无)=(x-2)2=0,x<a若有解，则a>2,令/(x)=-ax+3=0,尤若有解，则一2a,

a

解得aW-百或0VaW百，综上若/(x)存在零点，则a的取值范围为(一8,-V3]U(0,V3]U(2,

+oo),故③错误；

④若/G)是减函数，则需满足-a<0且aW2且(。-2)2》-屋+3,解得。W1-苧或1+孝W

a<2,故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题.

三.解答题(共6小题)

16.【分析】(I)先求解出一元二次不等式，绝对值不等式的解集为集合HB,然后根据并集概念求解出

AUB,再根据交集和补集概念求解出NCCRB;

(II)根据不等式先求解出M,然后根据列出关于加的不等式组，由此能求出实数加的取

值范围.

【解答】解：(I)VX2-X-2<0,解得

：.A^{x\-l<x<2},

V|x-||>|,解得G4或xWl,・・.8={x|xWl或x24},

・・・4U5={x|xV2或x24},

，：CRB={X\1<X<4},

：.AnQRB={x\l<x<2}.

(II)*.*关于x的不等式x2-(2冽+4)x+m2+4m^0的解集为M,

由-(2冽+4)%+加？+4加W0,得机WxW加+4,

•*.M={x|加WxW加+4},

•.,MUCRA,；WT,解得力W—5或m22,

实数m的取值范围是{刑加W-5或爪N2}.

【点评】本题考查一元二次不等式，绝对值不等式的解法、集合的运算等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

17•【分析】(I)运用二次不等式的解法可得所求解集；

(II)考虑二次函数的图象和对称轴，以及单调性，只要/(3)20,可得所求范围；

【解答】解：(I)当。=1时，由/(x)=f-2x-320解得{邓:23或xW-1}；

(II)当a>0时，二次函数/(x)=°/-2如-3开口向上，对称轴为x=l,

所以/(x)在[3,+8)上单调递增，

要使/'(x)》0在[3,+8)上恒成立，只需/(3)=9a-6a-3N0,

所以a的取值范围是。》1；

【点评】本题考查二次函数和二次不等式、二次方程的关系，考查不等式的解法和函数方程思想，以及

恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题.

18.【分析】(1)/(%)在区间(0,+8)上的单调递增.分析如下：Vxi,X2C(0,+co),且xi<x2,只

要证明f(XI)-f(X2)<0即可.

(II)VxG[l,4],由⑺可得/(x)在区间[1,4]上单调递增，可得f(x)£[/,(1),/(4)].xG[l,

4],则函数g(x)=。-3x在此区间上单调递减，可得g(无)G[g(4),g(1)].若Vxi€[l,4],3X2G[1,

4],使得/(xi)=g(X2),可得/(I),/(4)]c[g(4),g(1)].进而得出实数。的取值范围.

【解答】解:(I)/(x)在区间(0,+8)上的单调递增.

证明如下：Vxi,X2G(0,+8),且X1<X2,

A.A.A.

贝(1/(XI)~f(X2)—XI-----(X2-----)—(XI~X2)(Id-----)<0,

X1x2xlx2

.'.f(XI)<f(X2),

：.f(X)在区间(0,+8)上单调递增.

(II)VxG[l,4],由(/)可得/(x)在区间[1,4]上单调递增，

/(I)=-3,/(4)=3,

可得/(x)£[-3,3].

x£[l,4],则函数g(x)=a-3x在此区间上单调递减，；.g(x)E[a-12,a-3].

若Vxie[l,4],3x2e[l,4],使得/(xi)=g(x2),

则[-3,3]c[fl-12,a-3],

.(u-12<-3

"13<a-3'

解得6WaW9,

实数。的取值范围是[6,9].

【点评】本题考查了函数的单调性定义及其应用、恒成立与存在性问题的转化、不等式的解法，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

19.【分析】(I)令x=0,y=0,即可求解了(0)；

(II)/(x)是偶函数，令x=0,y为任意实数，可得/(-y)=/3),即可得证；

(III)若/(I)=0,根据已知条件可得/(x)是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得了(-1)

=0,从而可得/(x)的所有零点.

【解答】解：(I)令x=0,y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)/(0),

可得/(O)[f(0)-l]=0,因为对任意xe[O,1),f(x)>0,

所以/(O)=1.

(II)/(x)是偶函数，证明如下：

令x=0,y为任意实数，则/⑶)=2<(0)/(y)=/(y),

即/(-y)=f(y)，所以y(x)是偶函数・

(III)若/(I)=0,令7=0,则/(x+1)+f(x-1)(x)/(1)=0,

即/(尤+1)=-/(X-1),

则/(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

又/(-1)=/⑴=0，

所以/(x)的所有零点为2〃+1,〃ez.

【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查奇偶性与周期性的判断，考查赋值法的应用，属于中档题.

20.【分析】(1)对于函数/(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,根据对称轴，分类讨论即可，

(2)(i)据闭函数的定义，列出方程组，可得/,/为方程序HT+/=x的二实根，再由二次方程实

根的分布，即可得到所求/的范围

(万)由新定义，假设g(a)为“闭函数”，讨论Dq的范围，通过方程的解即可判断

【解答】解：(1)函数/'(x)=x2-2ax+2=(x-a)~+2-a2)其对称轴方程为x=a,

当a共时，/(%)在6,3］上单调递增，其最小值为g(a)=//=笄—竽；

11

当孑WaW2时，/(x)在［，3］上的最小值为g(Q)=/(〃)=2-a2；

fl92a,1

函数/(x)=--2"+2在［-，3］上的最小值g(a)=〈933

32—小，—VQ<2

VD

(2)(z)•・•片，％2-1+/在［1,+8)递增,

由闭函数的定义知，该函数在定义域［1,+8)内,

+t=p2

存在区间g，q\(p<q),使得该函数在区间。，句上的值域为。2,/］,所以p》l,

+t=q?

2

・•・/,q为方程—1+t=x的二实根,

即方程f-(2/+1)X+金+1=0在［1,+°°)上存在两个不等的实根且方恒成立,

令〃(x)—J?-(2什1)x+F+1,

/r3

>t>-

f/21>104

计1

1

>4t>-

22

〃)

a->or"2>O

<1k--

vtI<111)

一

3

解得:

4

3

・•・实数/的取值范围(I，1］.

(商)对于(1),易知g(a)在(-8,2］上为减函数,

①若p<qjg(a)递减，若g(a)为“闭函数”，

2

19-2P3-q

则

2

19-223-p

21

两式相减得p+q=可这与p<q<可矛盾.

②"<产2时，若g(a)为“闭函数”,则仁；；二。

此时/+才=2满足条件的p,q存在，

1

A-<p<q^2^f使得g(a)为“闭函数”?，乡存在，

乙"-n2

③VqW2时,若g(a)为“闭函数”，则q_3_q,

2—<72=n2

消去9得知2-62+1=0,即(3〃-1)2=0

解得夕=&此时，q=^^~<1,且/+12=2

.•.0=}VqW2时，使得g(a)为“闭函数”p,q存在，

1

综上所述，当P，4满足W2时，g(°)为“闭函数，，

*2+Q2=2

【点评】本题考查新定义题，关键是理解题中的新定义，此题型是近几年高考常考题型.求分段函数的

函数值关键是判断出自变量所属的范围.

21•【分析】(1)由a*0=(Xl-^1-Xiyi)+(X2+y2-X2y2)H---F(Xn+yn-Xnyn)中〃=3,a=(1,1,0),

求得p满足的元素

(2)因为a*a+0*0=〃，所以XI+%2H---^-Xn+yi+y2-^---^-yn=n,所以xi,xi,…，yi,yi,…，处中有

n个量的值为1,n个量的值为0.

再由不等式OWa*0=(xi-Fji-xiyi)+{xi+yi-X2y2)+,••+(xn+yn-xnyn)^x\+y\+x2+y2+***+xn+yn=n,

对几分类讨论可得其最值；

(3)设集合S是满足条件的集合中元素个数最多的一个.S=S1US2,51052=0.集合Si中元素个数不

超过〃+1个，集合S2中元素个数不超过鬣个.

集合S中的元素个数为至多为九+1+以=层+九+1.再根据已知〃-1成立，确定其最大值.

【解答】解：(I)a=(1,1,0),且a*0=(xi+yi-x\yi)+(%2+y2-X2y2)H---F(xn+yn-

Xnyn\

，a*B=3的0元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).

(II)1己a=(XI,XI,…，Xu),B=(>1,>2,…，yn\

注意到xiC{0,1},所以羽(加-1)=0,

所以a*a=(xi+xi-XlJ^l)+(X2+X2-X2X2)H---F{Xn+xn-XnXn)=X1+X2+…+x〃，0*0="+>2+…也〃

因为a*a+B*0=〃，所以xi+x2+,,,+xn+yi+y2~^--^yn—n,

所以XI,X2,…，Xn>Vb>2,…，歹〃中有几个量的值为1,〃个量的值为0.

显然OWa*0=(xi-Hvi-x\y\)+(x2+y2-X2y2)+…+(