2024年北京某中学高二（上）期中数学试题及答案

北京市第一^L一中学2024—2025学年度第一学期

高二年级数学期中调研试题

(时长：120分钟总分值：150分)

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项.

1.直线X+y-V3=0的倾斜角为()

A.45°B.60°C.120°0.135°

2.已知圆C的方程为炉+产―2%—4=0,则该圆的圆心坐标及半径分别是()

A.(1,0)与5B.(1,0)与百C.(-1,0)与5D.(-1,0)与斯

3.圆弓：f+丁=2与圆Cz：(x—2)2+(y—2『=2的位置关系是()

A.相交B.相离C.外切D.内切

4.圆f+(y+2)2=4与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线

的方程是()

A.4%—3丁一6=0B,3x+4y+8=0

C.4x+3y+6=0D.4x—3y+6=0

5.(ia=-l"是"直线4:ax+4y—3=0与直线A：x+(a—3)y+2=0平行的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得

分分别为10,8,a,8,7,9,6,8,如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的

第75百分位数为()

A.8B.9C.8.5D.9.5

22

7.已知尸为椭圆C：j+与=l（a〉心＞0）上的点，点尸到椭圆焦点的距离的最小值为2，

ab

最大值为18,则椭圆的离心率为()

3455

A.-B.-C.-D.-

5543

8.如图，在平行六面体ABCD—44G2中，A&=AD=AB=2,

冗71

ZBAD=~,ZBAA.=ZAiAD=-,则A4人2=()

A.12B.8C.6D.4

9.设直线/与圆（x+l）2+y2=5交于43两点.若弦长既存在最大值又存在最小值,

则在下列所给的方程中，直线/的方程可以是（）

A.x+ay-aB.ax+y-2a

Cax+y=2D.x+2y=a

10曲线C：_?+y3=l.给出下列结论：

①曲线。关于原点对称；②曲线。上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.其中正确结论的序号是（）

A.②B.③C.①②D.②③

二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.

11.直线4：2%-丁+1=0与直线/2：2%-丁一1=0之间的距离为.

12.已知空间a=（2,3,1）,6=（-4,2,尤），若213,则忖=-

13.在正方体A3C。—A'3'CD'中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的

余弦值为.

14.由直线y=x+l上的一点向圆（%—3）2+_/=1引切线，则切线长的最小值为.

15.如图，正方体ABC。-A4G2的棱长为2,点。为底面ABCD的中心，点尸在侧面

BBgC的边界及其内部运动.若A。，。尸，则△AGP面积的

最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证

明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.

16.某市统计局就某地居民的月收入调查了1000。人，他们的月收入均在

［1000.4000）内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.（每个分

组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在“000,1500）内）

（1）求某居民月收入在［3000,4000）内的频率；

（2）根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；

（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这10000人中利

用分层抽样的方法抽取10。人作进一步分析，则应从月收入在［3000,3500）

内的居民中抽取多少人？

17.如图，在边长为2的正方体ABCD—A4CR中，E为线段84的中点.

(1)求证：Bq〃平面AER；

(2)求点A到平面AED］的距离；

(3)直线与平面AER所成角的正弦值.

18.已知圆C的圆心在直线2x—y=0上，且与x轴相切于点(1,0).

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线/：x—y+m=0交于A,B两点，,求根的值.

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：圆C被直线/分成两段圆弧，其弧长比为2:1；

条件②：|4因=2夜；

条件③：ZACB=90°.

22

19.已知耳,工分别是椭圆C：「+上=1(。>人〉0)的的左、右焦点，£(2,0),点p在

ab

椭圆C上且满足IPFl\+\PF2\=2>j6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆右焦点尸2的直线/与椭圆C相交于A3两点，若三角形AOB的面积为6,

求直线/的方程.

D

20.如图，四棱锥P—ABC。中，AD，平面A3P，

BC〃AD,ZPAB=pPA=AB=2,AD=3,BC=m

E是P8的中点.

(1)证明：AEL平面PBC；

(2)若二面角C-AE-。的余弦值是立，求〃?的值;

3

(3)若m=2,在线段4D上是否存在一点尸，使得PFLCE.若存在，确定厂点的位

置；若不存在，说明理由.

21.在平面直角坐标系中，。为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义||OP||=]x|+|y|.任取

点A5,%),5(%,%)，记40,%)，8'(尤2，%)，若此时II(M||2+1|OB||2>||CM'||2+||OB'||2

成立，则称点A,B相关.

(1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①A(-2,1),8(3,2)；②C(4,-3),D(2,4).

(2)给定〃eN*,n>3,点集O“={(x,y)|-〃VywZ}.

①求集合Q"中与点41,1)相关的点的个数；

②若S[O“，且对于任意的A,8eS,点AB相关，求S中元素个数的最大值.

北京市第一^t一中学2024—2025学年度第一学期

高二年级数学期中调研试题答案

一选择题

1-5DBCAA6-10CBBAD

二填空题

11.—12.2V613.—14.V715.V5

510

三.解答题

16.1)由频率分布直方图可知，居民月收入在［3000,4000)内的频率为

(0.0002+0.0003)x500=0.25

(2)由频率分布直方图可知，0.0001x500=0.05,0.0004x500=0.20,

0.0005x500=0.25,

从而有0.00。1x500+0.0004x500+0.0005x500=0.5,

所以可以估计居民的月收入的中位数为2500元.

(3)由频率分布直方图可知，居民月收入在［3000,3500)内的频率为

0.0003x500=0.15,

所以这10000人月收入在［3000,3500)内的人数为0.15x10000=1500，再从这

10000人中利用分层抽样的方法抽取100人，

1500

则应从月收入在［3000,3500)内居民中抽取l0°x同面=15人

17.证明：在正方体ABCD-4用。12中，AB//CR且AB=GR,

故四边形ABQD,为平行四边形，则BCJ!AD\,

因为平面AER,ARu平面AER,因此，〃平面AER.

【小问2详解】

解：以点A为坐标原点，AD>AB、所在直线分别为X、V、z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系,

则A（0,0,0）、4（。，。，2）、£（0,2,1）,0（2,0,2）,

所以，M=（0,0,2）,AR=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

/、n-AD.=2x+2z=0

设平面人£。1的法向量为〃=（匹％2）,贝叫

[〃・AE=2y+z=0

取z=—2,可得〃=（2,1,—2）,

|相.44

所以，点4到平面AED]的距离为d=—i-n—=—.

H3

【小问3详解】

-J-J—AA.•n42

解：因为cos<AA“w>=||=亍/=可,

AA[•川2x35

2

因此，直线AA与平面AED1所成角的正弦值为

18设圆心坐标为C（a,b）,半径为r.

由圆C的圆心在直线2x-y=0上，知：2a=b.

又二圆C与x轴相切于点（1,0）,

:.a=l,b=2,则r=忸-0|=2.

...圆C圆心坐标为(1,2),则圆c的方程为(X-1)2+(>-2)2=4

【小问2详解】

如果选择条件口：ZACB=120°,ffo|CA|=|CB|=2,

...圆心C到直线/的距离"=|C4|xcos60=1,

11-2+ml

则d=—=1,

V/i+i

解得m=V2+1或-亚+1-

如果选择条件」和□：|AB|=20,W|G4|=|CB|=2,

...圆心C到直线/的距离"==0，

11—2+ml/—

则d=—[-----=A/2,

V1+1

解得加二一1或3.

如果选择条件□:ZAC6=90°,W|CA|=|CB|=2,

圆心。到直线/的距离d=|G4|xcos45=V2,

1-2+m

则d=LI=V2,

Vl+1

解得机=一1或3.

19(1)由题意，c=2,2a=2y[6a=y/6,所以b=J/c2=J5,所以椭圆c的方

r2y2

程为---1---=1.

62

(2)

若直线斜率不存在，易得不合题意设直线/的方程为y=k(x2),4(%,%),3(%2，%)，由

'近4■”=1

6T2-,得：(1+3k2)/一12k2X+12k2-6=0,

y=k(x-2)

12fc212fc2-6

%+工2=尚,对"2=1+3/c2

144H_/112k2—6

则二

|AB|WTF(l+3fc2)2l+3fc2

。到直线/的距离为d=^j

Vl+fcz

所以4AOB的面积为工vrm迎殍器=vs

2l+3fc2Vl+fc2

解得省-21+1=0得片±1

所以直线/的方程x+y-2=0或％-'-2=0.

20.【小问1详解】

证明：因为AQ_L平面PAB，BC//AD,

所以平面243,

又因为AEu平面PAB,所以AE_L8c.

在APAB中，PA=AB,E是PB的中点，

所以AE1PB.

又因为BCPB=B,BC,PBu平面PBC,

所以AE_L平面尸8C.

【小问2详解】

因为AD_L平面FAB,AB,PAu平面pas,

所以AD_LA2,A£）_LPA,

又因为PALAB,

所以如图建立空间直角坐标系A-孙z.

则A（0,0,0）,8（0,2,0）,C（0,2,m）,E（1,1,0）,尸（2,0,0）,。（0,0,3）,

则AC=（0,2,m），A£=（1,1,0）,

设平面AEC的法向量为元=（x,y,z）.

ACn=0[2y+mz=Q

则_即C，

AE-n=0〔x+y二°

2

令1=1,贝=z=一,

m

故〃.

因为ADJ_平面尸AB,PBu平面尸AB，

所以AD_LPB,

又AEJ_P8,AOcAE=A,A£>,AEu平面AEE),

所以PB_L平面AED.

又因为尸2=(-2,2,0),

所以取平面A£D的法向量为尸2=(-2,2,0)

,।\n-PB\73

所以|cos",PB\=L-_=—,

11\n\\PB\3

|-2-2|_V3

则"3'解得"=1.

Vm2

又因为机＞0,所以m=1；

【小问3详解】

结论：不存在.理由如下：

证明：设P(0,0j)(0W3).

当机=2时，C(0,0,2),PF=(-2,0,t),CE=(1,-1,-2),

由"_LCE知尸户.C宜=0,-2-2/=0,/=-1,这与0W/W3矛盾,

所以在线段AD上不存在点尸，使得PFLCE.

21.解：(I)①由题知A'(-2⑵,B'(3,l),进而有

||OA||2+1|OB『=(2+1)2+(3+2)2=34,

||04『+||08'『=(2+2>+(3+lf=32,

所以||OA『+||。8『却OA'『

所以A,8两点相关；

②由题知。(4,4),。(2,-3),进而有

||OC\\2+1|OD||2=(4+3)2+(2+4>=85,

IIOC'll2+||OD'||2=(4+4)2+(2+3)2=89,

所以||OC『+1|00||2<||0C||2+||OD'||2,

所以C,£＞两点不相关.

(II)

(i)设A(l,l)的相关点为B(x,y),x,jeZ,-n<x<n,-n<y<n,

由题意，A'(l,y),

因为点A,B相关，则4+x?++21x||y1+J+21y|+1+尤~+21x].

所以|My|-|x|_|y|+120.

所以(|x|-1)(3-1)20.

当x=0时，Iy|e{0,1},则A(l,l)相关点的个数共3个；

当Ix|=1时，则A(l,1)相关点的个数共4〃+2个；

当|x|22时，|y|Nl,则A(l,l)相关点的个数共4〃(〃一1)个.

所以满足条件点B共有4〃(〃一1)+4〃+2+3=4/+5(个).

(ii)集