2024-2025学年宜昌市高二数学上学期期中考试卷（附答案解析）

2024-2025学年宜昌市高二数学上学期期中考试卷

一、单选题(本大题共8小题)

1.直线，：x-2y+3=0和直线冽：2x+y-3=0的位置关系为

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

2.已知向量万=(2%,1,1),b=(1,—4,2),且万_/./?，则X=(

A.-3B.-1C.1D.0

3.已知直线/的一个方向向量为(1,6),则直线/的倾斜角为()

4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球

或白球的概率为0.56,摸出的球是红球或黑球的概率为0.68,则摸出的球是白球或黑球的概率

为()

A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82

5.如图，已知4丛C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点尸为平面N8C外一点,

且〈善，方〉=〈N,就〉=120。，|衣|=3,^AO=AB+AC>贝打丽|=()

A.2MB.屈C.6D.V35

6.已知向量&=(2,-3,0),5=(0,3,4),则向量2在向量3上的投影向量的坐标为()

(1827八<1827八

A.--,—,0B.―,---,0

V1313)(1313)

，八2736)(2736)

C.0,—D.0,-——

(2525；(2525)

x+(a-l)y+2=0与/2：ax+2y+1=0间的距离为手，贝1］实数。=(

7.若平面内两条平行线4：

A.-1B.2C.-1或2D.-2或1

8.在正三棱锥尸-48C中，AB=41PA=V2，且该三棱锥的各个顶点均在以。为球心的球面上,

设点。到平面口2的距离为m,到平面/2C的距离为"，则'=()

n

A.—B.V3C.垣D.3

33

二、多选题(本大题共3小题)

9.已知直线，：2x-3y+l=0,贝I]()

A./不过原点B./在x轴上的截距为1

2

21

C./的斜率为:D./与坐标轴围成的三角形的面积为之

10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3

的三个号签；乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签,

从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件从从甲袋中抽取号签1；事件8：从乙袋中抽取

号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确

的是()

A.P(A)=2P(B)B.P(C)=-

6

C.事件C与。互斥D.事件/与事件。相互独立

11.如图，在棱长为2的正方体48co-48CR中，E,F,G,H分别是。，，&纥,CD,BC

的中点，则下列说法正确的有()

4Z),

A.E,F,G,"四点共面

7T

B.AD与斯所成角的大小为一

3

C.在线段8。上存在点使得平面所G

D.在线段上任取一点N,三棱锥N-EFG的体积为定值

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知直线/的方程为：-巳=1,则坐标原点到直线/的距离为.

13.在长方体中，若AB=AA\=2BC=2,则直线3D与之间的距离

为.

14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格

如图所示，小明需要在9个小格子中填上1〜9中不重复的整数，小明通过推理己经得到了4个

2

小格子中的准确数字，a,6,c,d,e这5个数字未知，且b,d为偶数，则c+d>8的概率为.

9a7

bcd

4e6

四、解答题(本大题共5小题)

15.在平面直角坐标系xOy中，VABC的顶点/(3,3),5(2,1),B,C关于原点。对称.

(1)求2C边上的高所在直线的一般式方程；

(2)已知过点B的直线I平分4ABC的面积，求直线/的方程.

16.如图，在三棱柱NBC-48G中，AB=a，AC^b<而=)，点。满足场=2元.

B

(1)用a,3,c表示BQ；

(2)若三棱锥4-的所有棱长均为2,求|丽|及布•昭.

7T

17.在菱形48co中，ABAD=-,AB=2,将菱形48co沿着8。翻折，得到三棱锥/-BCD如

图所小，此时=

(1)求证：平面/AD_L平面8。；

(2)若点E是。的中点，求直线BE与平面48c所成角的正弦值.

18.为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了

数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛,

21

甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是；和一.假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响;

32

每次回答是否正确，也没有影响.

3

⑴若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；

(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概

率；

(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率.

19.在空间直角坐标系。合中，定义：过点/宙,比,4),且方向向量为应=(a,6,c)(abcw0)的直

线的点方向式方程为王玉二一^二1；过点/伉,比/0),且法向量为

abc

222

m=(a,b,c)^a+b+cw0)的平面的点法向式方程为fl(x-x0)+Z>(^-j0)+c(z-z0)=0,将其整理为

一般式方程为G+制+C2-d=0,其中］=啄+6%+cz0.

⑴求经过/(T2,4),3(2,0,1)的直线的点方向式方程；

(2)已知平面%：2%一3^+2-1=0,平面，i：x+y—2z+4=0,平面

yx:(m+l)x-(2m+3)j；+(m+2)z-5=0,若药口才=/,/O%,证明：/〃力；

⑶已知斜三棱柱ABC-AAQ中，侧面N844所在平面。2经过三点^(-4,0,0),

Q(-3,-l,l),H(l,-5,-2),侧面8CG瓦所在平面夕2的一般式方程为y+z+4=。侧面4CQ4所在平

面片的一般式方程为2x-叼+(2〃?+l)z+l=0,求平面44与平面NCG4的夹角大小.

4

参考答案

1.【答案】A

【详解】直线/：X一2>+3=0和直线，"：2x+y-3=0的斜率分另IJ为工，_2,

2

因为;x(-2)=-l,所以/_Lm.

故选：A

2.【答案】C

【详解】因为713，故洒5=2x-4+2=0,即尤=1.

故选：C

3.【答案】D

【详解】因为直线/的一个方向向量为(1,6),所以/的斜率后=6，

又左=tan。，所以tand=石，因为。e[0㈤，所以夕=1.

故选：D.

4.【答案】C

【详解】设摸出红球的概率为尸(4),摸出白球的概率为尸(8),摸出黑球的概率为尸(C),

所以尸(4)+尸(5)=0.56,尸(/)+尸(C)=0.68,且尸(Z)+尸(5)+尸(C)=l,

所以尸(C)=1-尸(/)-尸(8)=0.44,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.32,

所以尸(B)+P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.

故选C.

5.【答案】B

【详解】因为芯=篇+衣，所以/=厉+万=-方-芯+方,

则I而「=(-益-%+Q)2="+瑟,+刀2+2万.祝-2商.万-2万.旅

=22+32+32+0-2X2X3X^-1^-2X3X3X^-^=37,所以|丽卜历.

故选：B.

6.【答案】D

【分析】根据投影向量的定义求解即可.

【详解】因为a=(2,-3,0),5=(0,3,4),

所以Z%=2x0—3x3+0x4=-9，忖=J0+9+16=5,

5

a-bb-9b9…八2736、

则向量&在向量B上的投影向量为：和,=丁彳=一天(034)=[0,一石,一天人

故选D.

7.【答案】A

【详解】①当。=1时，可得4：x+2=O,Z2:x+2y+l=0,由;/。，则此时不符合题意;

②当时，可得直线4的斜率左=1，直线4的斜率鼠=-£，

1-a2

由占=一(整理可得〃一"2=0,贝Ma—2)(。+1)=0,解得°=2或-1,

当a=2时，可得4：x+y+2=O,/2:2x+2y+1=0,整理4的方程可得尤+了+]=0，

2--厂厂

由两平行直线之间的距离2_3收一36,所以此时不符合题意；

当Q=—1时，可得4:x—2〉+2=0,12:—X+2y+1=0,整理右的方程可得％—2歹一1=0,

由两平行直线之间的距离述,

所以此时符合题意.

J1+45

综上可得。=-1.

故选：A.

8.【答案】B

【详解】在正三棱锥P-/8C中，PA=PB=PC,又尸/=1,AB=6，

所以尸/+PB?=/笈，所以p4j_PB,

同理可得上4,尸C,PC1PB,即尸4尸民PC两两垂直，

把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球,

正方体的体对角线就是外接球的直径，易得根=；,

如图，建立空间直角坐标系，贝熊(1,。,0),5(0,1,0),c(o,o,i),

所以羽=(-M,o),Ic=(-i,o,i),

设平面48c的法向量为8=(x,y,z),

s-AB=-x+y=0

则—■,令x=l,则kZ=l,所以8=1,1,1,

s-AC=-x+z=0

则点。到平面NBC的距离"=/半=g,所以生=百，

151On

6

故选B.

9.【答案】ACD

【详解】因为2x0-3xO+lwO,所以/不过原点，所以A正确;

令尸0,得x=-“所以/在x轴上的截距为-5,所以B错误；

把2x-3y+l=0化为y=2+?1所以/的斜率为2:，所以C正确;

才巴2x—3y+]=0化为J_'E十=]1

~23

所以直线1与坐标轴围成的三角形的面积为:x-；x|=',所以D正确.

故选：ACD.

10.【答案】ABD

【详解】对于A,样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18种可能的结果，

则/尸(3)=U，A正确;

loJloO

31

对于B,事件C包含的样本点有(1,3),(3,1),(2,2),共3种可能的结果，则P(C)=忑=",故B

loO

正确；

对于C,事件。包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),共15种可能的结果，故事件。与。不互斥，C错误：

对于D,P(D)=1|=|,由P⑷)=M=U=/V)P(。),得4。相互独立,D正确.

loolo3o

故选：ABD.

11.【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹

角可直接判断B选项，假设在线段5。上存在点设两=2而，0WXW1,利用坐标法验证

线面垂直，可判断C选项；分别证明AE/G与4台上的所有点到平面或3*7G*lo的距离为定值，即可判

断D选项.

7

【详解】以4为原点，以NB,AD,应4］所在直线分别为无轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,男（2,0,2）,〃（0,2,2）,£（0,2,1）,尸（1,0,2）,“（2,1,0）,

6(1,2,0),

^AH=xAE+yAF+zAG,

则(2,l,O)=x(O,2,l)+y(l,O,2)±z(l,2,O),

X=-1

y+z=2

1

所以2x+2z=l,解得<y=—

2

x+2y=0

3

z=—

2

故x+y+z=l,即月，F,G,H四点共面，故A正确;

LlUUl______1t

因为=(-2,2,0),£F=(1,-2,1),

।/---\BD-EF\66

所以cos（BD,EF）\==一，

1'71阿川团V8xV62

所以3D与斯所成角的大小为女，故B错误;

6

假设在线段5。上存在点M,符合题意，

设的=2而（0W4W1）,则祐=西一就=苑一九前=（2尢2—2尢2）,

若Mq_L平面EFG,贝I]宙•丽=0,MC[-EG^Q,

因为而=(1,-2,1),£G=(l,0,-l),

「22-4+42+2=0

所以》.八，此方程组无解,

2/1—2=U

所以在线段AD上不存在点使得平面环G,故C错误;

8

因为&B=(2,0,-2)=2EG,所以&BHEG,

又43a平面所G,£6匚平面£7守，所以48〃平面MG,

故4台上的所有点到平面EFG的距离即为3到平面EFG的距离，是定值，

又AEVG的面积是定值，

所以在线段48上任取一点N,三棱锥N-斯G的体积为定值，故D正确;

故选ABD.

12.【答案】y/2.4

【详解】将直线：-巳=1化为一般方程可得3x-4y-12=0,

12

由点到直线距离公式可得坐标原点(0,0)到直线/的距离为d=

12

故答案为：y

13.【答案】正

5

【详解】以为x轴，为N轴，44］为z轴建立空间直线坐标系/平,

则西=(-2,1,2),CD=(-2,0,0),SC=(0,1,0),

设与BDX,CD都垂直的一个向量九二(x,/z),

BD.-n=—2x+y+2z=0

贝I,取z=1贝>Jx=0,歹=一2,

CDn=-2x=0

所以与BD,都垂直的一个向量3=(0,-2,1),

所以直线町与。之间的距离为卓=£子.

9

275

故答案为:

丁

14.【答案】1/0.5

【详解】这个试验的等可能结果用下表表示:

a113355113355

b222222888888

c355113355113

d888888222222

e531531531531

共有12种等可能的结果，其中c+d>8的结果有6种,

所以c+d>8的概率为尸=二=!，

122

故答案为：—.

2

15.【答案】⑴2x+y-9=0

⑵尸1

【详解】(1)因为瓦。关于原点。对称，所以C(-2,-l),kBC=-^-=~,

所以BC边上高所在直线的斜率为-2,

因为/(3,3),所以8C边上高所在直线的方程为>-3=-2。-3),

所以5c边上高所在直线的一般式方程为2x+y-9=0.

(2)因为过点B的直线/平分V/8C的面积，

所以直线/经过边/c的中点G，I),

又8(2,1),所以直线I的方程>=1

10

⑵理T

-----►----►___►2__►

【详解】（1）因为所以QD=§GC,

所以丽=4。]+*=50+§“=-AB+AC--AAl=-a+b--c.

（2）因为三棱锥4-/3C的所有棱长均为2,

所以同=|同=同=2,所以3]=不,己=或3=1,

所以〃Z=b-c=a-c=2x2x—=2,

所以+=yJa2+b2+^c2-2a-b-jb-c+ja-c=^4+4+y-4-|+|=,

所以羽•丽=,_1）•1_/+B_gl]=庐+^^_那彼=4+|-2-y+2=y.

17.【答案】（1）证明见解析

⑵£

【分析】（1）取8。的中点O,由已知得到。4和0C的长，由勾股定理的逆定理得到3，"，

再结合证明。4_1_平面BCD,由此证明平面/8O_L平面BCD；

（2）以。为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线BE的方向向量和平面Z8C的法向量，利

用空间坐标求出角的正弦值.

7T

证明：因为四边形ZBCD是菱形，ZBAD=~,

所以ABAD与△BCD均为正三角形，

取5。的中点O,连结CM,OC,则。4LAD,OCLBD

因为48=2,所以。4=0C=e,

因为。/2+。。2=6=/。2,所以Q4_LOC,

又BDcOC=O,巳0,。6^平面88,所以O4_L平面BC。,

11

因为。Nu平面所以平面平面3c。；

（2）由（1）可知，0A,OB,0C两两垂直，

以O为坐标原点，OB,OC,CM所在直线分别为无轴，了轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

贝5（1,0,0）,C（0,G,0）,£＞（-1,0,0）,

因为£是CD的中点，所以《［，孝,。］,

所以加=卜1,0,百），SC=（-l,A0）,BE=-|，5,0，

\7

设施=（x,y,z）为平面45。的一个法向量，

BA-m=—x+A/3Z=0,

则

~BC-m=—x+6y=0,

令>=1，得x=6Z=l,所以沅=(后1,1),

设直线BE与平面NBC所成角为。,

3>/36

所以sin0=|cosBE,m|

|s^|-|m|V3-V55

所以直线班与平面N3C所成角的正弦值为。.

18.【答案】⑴1

16

1

(3)—

,7243

【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件M,

1-115

所以P（M）=1-P（而）=1一1X1-1X1-1X

I16

即乙至少有1个回答正确的概率是登.

16

（2）记“甲答对z•个问题”为事件4（，=123）,“乙答对z•个问题”为事件耳«=1,2,3）,则甲回答正

确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件

AlA2A3BiB2B3+A1A2A3B1B2B3+AiA2A3BiB2B3+A1A2A3BlB2B3+AxA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3

12

所以

P^AlA2A3BiB2B3+A'A2A3B1B2B3+AXA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3+AlA2A3BiB2B3^

2

L1

x

22

_j_

=—,

6

即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是J.

6

（3）记“甲答对第，个问题”为事件G«=1,2,3,4,5）,则甲恰好回答5次被退出比赛为事件

C]C2C3C4C5+C1C2C3C4C5+Gc2c3c4c5

所以

16

243

即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是2

19..【答案.】（1）二X+1=y—'2=z—14

J-Z—J

（2）证明见解析

【详解】（1）由义-1,2,4）,巩2,0,1）得，直线N8的方向向量为行=在=（3,-2,-3）,

故直线43的点方向式方程为学=一=三4

3—2—3