数学常考压轴题华师版九年级专题07解直角三角形的应用仰俯角的四种考法含答案及解析

专题07解直角三角形应用仰俯角的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 2类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 4类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 7类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 12压轴能力测评（12题） 16解题知识必备1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．2.仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．3.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．4.方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．压轴题型讲练类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】【变式训练1】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，）【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离CD等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度（取，结果精确到1米）．【变式训练1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】【变式训练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数）【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．(1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？(2)求建筑物的高度为多少米？(3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为．(1)______度；(2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：）【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）．【变式训练2】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）(1)求的度数；(2)①求的长；②求的长．压轴能力测评（12题）一、单选题1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为60°．若斜面坡度为，则斜坡的长是（

）米A． B． C． D．3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（

）（结果精确到．参考数据：）A． B． C． D．二、填空题4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为米．5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么．6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为米．三、解答题7．（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里．(1)求出A与C距离（结果保留根号）．(2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，．8．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．(1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离．(2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号）9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离．10．（2024·贵州黔东南·二模）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为．(1)求无人机的高度；（结果保留根号）(2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，）11．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）．(1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）；(2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：）12．（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，．(1)求图中的高度是多少？（结果保留整数）(2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数）（参考数据：，，，，，，，，）

专题07解直角三角形应用仰俯角的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 2类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 4类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 7类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 12压轴能力测评（12题） 16解题知识必备1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．2.仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．3.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．4.方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．压轴题型讲练类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】【答案】旗杆的高约为米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据于E，利用正切的概念求出的长，结合图形计算即可．【详解】解：由题意得，于E，米，，在中，（米），（米），答：旗杆的高约为米．【变式训练1】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，）【答案】建筑物的高度约为米．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，，则，，，由勾股定理，得，解得，∴，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴建筑物的高度约为米．【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）【答案】乙建筑物的高为【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，解题的关键是掌握以上知识点．根据四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案．【详解】解：过点A作，由题意得：四边形是矩形，，，在中，，，答：乙建筑物的高为．类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离CD等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度（取，结果精确到1米）．【答案】约为71米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），．∵,∴为等腰直角三角形．∴（米）．在中，，得（米）∴（米）．

答：乙楼的高度约为71米．【变式训练1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

【答案】米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．【详解】解：根据题意可得：，，∴四边形和四边形为矩形，∴米，米，，，∴（米），设，则米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】【答案】米【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形．【详解】解：如图，过点作于点，连接、，∴，由题意知：，，，，，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，在中，，∴，∴（米）．答：亚帆灯塔的高的值为米．类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】【答案】【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题主要查了解直角三角形．延长交于点F，根据题意得：，，，在中，可设，则，然后在中，解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图，延长交于点F，根据题意得：，，，在中，，∴可设，则，在中，，∴，解得：，∴．即黄龙塔的高度为．【变式训练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数）【答案】(1)的长为(2)塔的高度约为【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，（1）根据含角的直角三角形的性质即可求解；（2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解．【详解】（1）解：由题意得，在中，，，∴,∴DE的长为．（2）解：由题意得，在中，，，∴，在中，设，∵，∴，∴，如图，过点作．垂足为，由题意得，，∵，∴，在中，，∴，∴，解得，∴，答：塔的高度约为．【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．(1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？(2)求建筑物的高度为多少米？(3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米(2)米(3)小明上坡时的车速为【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．（1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可；（2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可；（3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可．【详解】（1）解：，，，米，∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米．（2）解：由题意知：，在中，，，，设米，在中，，，，解得：，米，答：建筑物的高度为米；（3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，由题意得，，解得，经检验，是方程的解，且符合题意，∴小明上坡时的车速为．类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为．(1)______度；(2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：）【答案】(1)(2)杨树的高度为米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）根据坡度得出，即可求解；（2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解．【详解】（1）解：斜坡的坡度为，，，故答案为：；（2）解：过点作的垂线，交于点，如下图：，即，解得：，，即，解得：，在中，，即，，解得：（米），答：杨树的高度为米．【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）．【答案】灯柱的高度约为【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G，由题意，得，，∵，∴．在中，，∴．设，∵，∴．在中，，∴．在中，，∴，∴，，∴，∴，∴灯柱的高度约为．【变式训练2】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）(1)求的度数；(2)①求的长；②求的长．【答案】(1)(2)①的长约为米；②的长约为米．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．（1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解；（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解；②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，过点作，由题意可知，，，，，，，，，；（2）解：①由题意可知，，，，，米，是等腰直角三角形，，令米，则米，在中，，，，即的长约为米；②由①可知，米，在中，，米，米，即的长约为米．压轴能力测评（12题）一、单选题1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解．【详解】解：在中，∵，∴米，故选：D．2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为60°．若斜面坡度为，则斜坡的长是（

）米A． B． C． D．【答案】C【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，过作于，过点作于点，斜面坡度为，，，在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，，，，是等腰直角三角形，，，，，解得：故选：C．3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（

）（结果精确到．参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】如图，延长交于点C．由题意得．在中，，，．在中，，，．故选B．二、填空题4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为米．【答案】/【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．过点作于点，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可．【详解】解：过点作于点，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，米，，（米），旗杆的高度（米），故答案为：．5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么．【答案】/【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及勾股定理，根据题意可得，解直角三角形求出，进而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解．【详解】解：根据题意可得，在中，，，，在中，，则，，．故答案为：．6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为米．【答案】【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点作于点，结合勾股定理和锐角三角函数即可求解；【详解】解：过点作于点，则，，，，∴，，，，，解得：，故答案为：．三、解答题7．（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里．(1)求出A与C距离（结果保留根号）．(2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，．【答案】(1)与的距离为海里(2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．（1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度；（2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，可得，，设，在中，，在中，，海里，，解得：，则，答：与的距离为海里；（2）解：如图所示，过点作于点，在中，，，，故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险．8．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．(1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离．(2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号）【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里(2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．（1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可；（2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可．【详解】（1）解：过作于，则，由题意可知，则，在中，∵，，∴．答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里．（2）解：∵，，∴，∴，∴，在中，∵，，∴．故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里．9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离．【答案】(1)、两地的距离约为339.4米(2)米【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解；（2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解．【详解】（1）解：过点作于点，由题意知，，，，，，在中，米，（米），（米）．答：、两地的距离约为339.4米；（2）解：过点作于点，由（1）得（米），，，，，，在中，，，（米），在中，，（米），（米）．10．（2024·贵州黔东南·二模）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为．(1)求无人机的高度；（结果保留根号）(2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(