2024-2025学年浙江省联盟高三（上）月考数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年浙江省名校联盟高三（上）月考数学试卷（三）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M=｛（x,y）|y=1-1｝,N=｛（x,y）弓+y2=1｝,则MnN的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.无数

2.已知z为复数，则,2|=1是⑶2=1的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

3.函数/（x）=sin?久一2cos2%的最小正周期为（）

7137r

A-IB.7TC.—D.27r

4.若P(4)=1芯P(2|1B)=芯2P(B\A)=会则P(4+8)=()

A-tB七C噌D.|

—>_—i2),,—

5.已知向量a,b辆足a-b=b,\a-b\=\b\,则a与b的夹角为()

71B.?C.?D.空

A.4oo3

6.数歹U®｝满足an+2=24+1+3M，则下列可，a2的值能使数列为周期数列的是（）

A.a】=0,。2=1B.a1——19。2=1

C.。1=0,敢=2D.a1=—2,做=0

7.将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（）

A°BQD-^―

10—11Joo-110

1011

8.设a=111217=i2io\b=1112",c=12,贝1］（）

A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于函数f（X）=a%3+6/+©久+d（aH0）,下列说法正确的有（）

A.函数/（比）可能没有零点B.函数人比）可能有一个零点

C.函数"久）一定是中心对称图形D.函数八久）可能是轴对称图形

10.已知点M是抛物线C：必=8%与圆E：（万一2）2+y2=>0）的交点，点尸为抛物线。的焦点，则下列

结论正确的有（）

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A.|MF|的最小值为2

B.圆E与抛物线C至少有两条公切线

C.若圆E与抛物线C的准线相切，则MF1x轴

D.若圆E与抛物线C的准线交于P,Q两点，且MP1PQ,贝什=8

11.设点P为正方体4BCD-4再修1。1的上底面4道停1。1上一点，下列说法正确的有（）

TT

A.存在点P,使得4Ci与平面PBD所成角为2

B.存在点P,使得点4的分别到平面PBD的距离之和等于4Q

C.存在点P,使得点4的分别到平面PBD的距离之和等于14cl

D.存在点P,使得与平面PBD所成角为养

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/（%）=s讥%-3cos%在X=%o处取得最大值，则加几%0=.

13.已知：当几无穷大时，（l+3n的值为e,记为lim（l+》n=e.运用上述结论，可得xM叽士也

（%>0）=.

14.㈤表示不超过X的最大整数，设M=（1一避）15,N=（1+避）15,N=（1+73）15,贝”（1一避）15]=

；[（1+避）15]=（用M,N表示）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94,标准差都为12,

并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.

（1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小4考分为68

分，求他被抽到的概率大约为多少；

（2）根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的

特点；

参考数据：若X〜囚（出。2）,则P（〃一。<X<fl+。）«0.68,P（ji-2。<X<fi+2a）«0.95,

尸（〃一3。<X<[i+3d）«0.99,,尸（〃一3。<X<+3cr）«0.99.

16.（本小题15分）

设%,尸2分别为双曲线:4=l（a〉0力>0）的左、右焦点，过&的直线交双曲线于4B两点,且丽；

二3取.

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(1)求A&的长(用a，b表示)；

TT

(2)若双曲线的离心率e>2,求证：NF遇&<不.

17.(本小题15分)

设函数/(久)=ln(x+m)—mx.

(1)求函数f(x)在(1-机)(1一机))处的切线方程；

(2)若/(x)<0恒成立，求证：小的最大值与最小值之差大于今

18.(本小题17分)

在四棱锥P—4BCD中，AB1BC,AD1CD,P01底面力BCD,点。在AC上，且PB=PC.

(2)若NC。。=*,AB=BC,点E在PB上，PD//平面EOC,求器的值；

⑶若P。=48=BC=1,二面角P—2D—B的正切值为2",求二面角D—AP—B的余弦值.

19.(本小题17分)

在数列｛斯｝中，a】=a,a2=b,对满足m+n=p+q的任意正整数m,n,p,q,都有口„1%1++an

—ClpO.q+CLp+Clq成H.

(1)若数列｛册｝是等比数列，求a,。满足的条件；

(2)若a=l,6=3'设"=倒：2,念孔.

①求数列｛④J的通项公式；

②求证：xr=4<|.

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参考答案

l.c

2.C

3.5

4.D

5.4

6.B

7.B

8.D

9.SC

IQ.ACD

11.ABC

12-i

,3

13.2

14.-1M+N

15.解：(1)根据题意可得校学生数学得分X〜N(94,122),

又PQi—2o<X<ii+2cr)《0.95,PQi—3o<X<[i+3。)«0.99,

可得P(70<X<118)~0.95,则P(X<70)~--°95=0.025,

所以分数在70分及以下的学生有1000x0.025=25人，

所以所求概率为P=||=0.4:

(2)根据题干所给的参考数据可得P(〃-3cr<X<H+3cr)=0.99,

又〃=94,(T=12

所以尸(58<X<130)«0.99,

所以甲校不低于130分的概率为上磬=0.005,

得分不高于58分的概率为上等=0.005,

所以甲校分不低于130分与不高于58分都有1000x0.005=5人

故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.

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16.解：(1)因为旃=3取，

所以4B两点均在双曲线右支上，

设田尸2|=3

此时|4尸2|=33

易矢口|力尸1|—3t+2a,|BFjJ=t+2a,

因为乙4尸2尸1+/-BF2FI=7T,

所以COS/LAFZFI+COSZ.BF2FI=0,

由余弦定理得4c2+2a)2+4c2+；29；2a)2=0,

所以|ZF2l=3t=詈;

(2)证明：在△4%F2中，由正弦定理得量为=忐嬴

所以sin/FMF2=隔sin/Z&FiW第=

由(1)知t=等，

2cacetc1

所以sinzFi”2<1

a

因为e>2,

所以sin/F遇尸2<1，

\AF\2b2〃一M

因为2

瓦西一玄ac

又e=*

所以隅=eT>l,

所以任1&|<|4尸2|，

则NFMF2为锐角.

7T

故4尸1所2<6'

17.解：(1).••函数/(%)=ln(x+m)-mx,

•,1八x)

・•・切线斜率/c=f(l-m)=l-m,

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又/"(l-zn)=—m(l—m),

:.函数/(%)在处的切线方程为y+m(l-m)=(l-m)(x-l+m),

・••y=(1—m)x—(1—m)；

(2)证明：令X+m=t>0,则％=t-m,

•••/(%)<0恒成立等价于/(%)=g(t)=Int-mt+m2<0恒成立，

g'(t)=-m>

当m<0,则g'(t)>0,g(t)在(0,+8)上单调递增，而g(2)=ln2-2m+m2>0,不符合题意.

当m>0,由g'(t)=0得1=、

当0<t<、时，g'(t)>0,g(t)在((J,》上单调递增，

当t时，g'(t)<0,g(t)在(、,+8)上单调递减，

=5(-)=In--1+m2=m2-lnm-l<0,

令h(m)=则九(1)=0,

又vhrCm)=2m——=、僮一=0,

即27n2—1=o,

即租2•«-m>0,

解得m=#,

若九'(m)<0,贝！jO(字，h(zn)在(0,\)上单调递减，

若〃(zn)>0,则zn〉冬八(小)在(孝,+8)上单调递增，

而九弓)=[-吟一1<0,*)=1+1>0,：.mmax=l,rnminE

根的最大值与最小值之差大于看

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所以P。1OB,PO1OC,即NPOB=NPOC=p

又PB=PC,PO=PO,所以aPOB三APOC,

所以。B=OC,故NOBC=NOCB,

又AB1BC,

所以NOAB/.OBA,OA=OB=OC,

又4。1CD,所以04=OD,

因为P。1底面ABC。，OA,ODu平面4BCD,

所以「。1OA,PO1OD,

又PO=PO,

所以PA=PD；

(2)连接8。交AC于点巴连EF,

因PD〃平面EOC,平面PB。n平面E。。=ED,PDu平面PBO,

所以PD//EF,故需=器，

因为281BC,AD1CD,

所以乙4BC+N4DC=TT,故四边形力BCD是圆内接四边形，

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又(COD=%所以乙。8。=£，

oiz

因ZB=BC,AB18C,点。为AC的中点，

所以z_80CZ.CBO=彳，

Z4

故NOBD=莹,设。B=OD=避,

则。尸=1,BF=2,

在△BOD中，乙BOD=g+?=冬，

Zt)3

由余弦定理可得8。=JOB2+OD2-2OB.ODcos^-=3,

所以“=L于是将=黑号；

(3)以点。为原点，BA,~BC,方为久，y,z轴正方向建立如图所示的坐标系,

则8(一右一加,谒,一加,C(一3,0),P(0,0,l),

所以B力=(1,0,O'),PA=

设再=(Xi,%/。为平面PAB的法向量，

所以再=(0,2,—1)为平面PA8的一个法向量，

过点。作。M1AD于M,

因为P。1.底面4BCD,ADu平面ABCD,

所以P。1AD,OMCiP。=0,OM,POu平面PM。,

所以4。J.平面PM。，PMu平面PM。，

所以PM1AD,

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故二面角P-4D-B的平面角为NPMO,

由已知tan/PM。=焉=2",

所以。M=胆,于是CD=史，AD=范，

422

又“。1CD,所以乙CAD=£又4B4C=9,

64

所以ZJ1。％=74,1Z故Z_M。％=77,

所以点M的横坐标为序cosg纵坐标为*sinG

4iz4u

所以点M的坐标为（小。，

88

所以D心一呼+1,0）,丽=心_中+1,-1）,

4444

设放=（汽2〃2/2）平面尸4。的法向量，

<1：^所以聿;2-,2.。，

两式相减得(^/5-1)%2=(V^+1)、2,

令%2=避+1，则丫2=1/2=1，

所以布=（避+1,4一1,1）为平面PAO的一个法向量,

2J15-3-\/5

所以cos<■何>=+i

15，

观察可得二面角0-4尸-8的平面角为锐角，

所以二面角D—4P—8的余弦值为2"3汽

19.解：⑴在数列｛册｝中，fli=a,a2=b,对满足m+九=p+q的任意正整数m,n,p,q,

都有Gm册+am+an=apaq+即+%成立，又数列｛&J是等比数列，

设其公比为3由等比数列的性质可得。小品=apaq,即有。租+册=Qp+%,

可令zn=1,p=2,q=71—1,则a1+=做+31-1，。一人=tn-2（a—6）,

故a=b,t=1,即a,b满足的条件为a=b。0；

（2）①由。仅册+Qm+a九=OpOq+Qp+Qq,可令7H=1,p=2,q=H—1,

得@1。九++CLn=。2。九一1+。2+。九一