2024-2025学年上海市虹口区高二年级上册期中数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市虹口区高二上学期期中数学质量检测试卷

一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.

2.半径为2的球的表面积为.

3,已知长方体4s4B1G3的棱=AB=2,则异面直线8。与8c所成

角的余弦值为.

4.在四面体P-/8C中，若底面N8C的一个法向量为且00=（22一1）,则

顶点P到底面ABC的距离为.

5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.

6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形旦。皿®C,

OA'=2B'C=4,A'B'=2,则该平面图形的面积为.

7.三棱锥尸—N8C中，三条侧棱上4=PB=PC,则顶点尸在平面N8C内的射影。是

V48c的.（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

8.在空间四边形4BCD中，E,F,G,X分别是边/瓦BC,CD,£%的中点，若四边形对

71

角线4C=BD=2,对角线/C与3。所成的角为则尸8=_________.

9.如图，在圆柱。1。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱。1。2

的体积为Vi，球。的体积为V1,则修

的值是

10.已知二面角戊一4s一6为30。，P是半平面a内一点，点尸到平面厅的距离是1,则点尸

在平面口内的投影到AB的距离是.

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，

当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为

12.如图，正方体”88一4与G3的棱长为4,点P在正方形/BCD的边界及其内部运动.

平面区域少由所有满足4引40区26■的点尸组成，则四面体0-48c的体积的取值范围

二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.已知直线/和平面则“/垂直于。内的两条直线”是“/'a”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非

必要条件

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆锥母线在圆台

中的部分）长为12,则原圆锥的母线长为（）

A.16B.18C.20D.22

15.m、〃为空间中两条直线，a、夕为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）

①二面角的范围是[0,可；

②经过3个点有且只有一个平面；

③若加、〃为两条异面直线，mua,nu甲，贝

④若加、〃为两条异面直线，且加//a,〃//a,加//，,〃//£,则a///.

A.0B.1C.2D.3

16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形,

一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如

图，在堑堵4BC—451G中，ACLBC,且44]=48=2.下列说法簿送的是（）

A.四棱锥8—N/CG为“阳马”

B.四面体4cle5为“鳖席”

2

c.四棱锥8-z/CG体积的最大值为一

3

D.过/点作AE±A.B于点£,过£点作EF±A.B于点F,则AXB±面AEF

三、解答题（本题满分78分，共5小题）

17.如图，棱长为2的正方体4BCD—481G，中，M、N、P分别是C】，、CCP24的

中点.

DyMG

（1）证明：〃N//平面aas/].

（2）求异面直线尸已与w所成角的大小.（结果用反三角表示）

18.如图，已知E4=/C=PC=48=a,PA1AB,ZC_L48,M为/C的中点.

（1）求证：PM,平面/2C；

（2）求直线必与平面NBC所成角的大小.

19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥尸-下部

的形状是正四棱柱4BCD-4与。]。1（如图所示），并要求正四棱柱的高。1。是正四棱锥的高

POX的4倍.

（1）若48=6m,POl=2m,则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当尸。।为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积

是多少？

20.如图，45是圆柱的底面直径，4B=2,P4是圆柱的母线且尸2=2,点。是圆柱底面

圆周上的点.

(1)求圆柱的表面积；

(2)证明：平面尸平面P/C；

(3)若ZC=1,。是尸5的中点，点E在线段尸“上，求CE+ED的最小值.

21.已知点尸是边长为2的菱形48CD所在平面外一点，且点P在底面45c。上的射影是

ZC与的交点。，已知/氏4。=60°,△尸。3是等边三角形.

(1)求证：AC1PD；

(2)求点。到平面P5c的距离；

(3)若点E是线段4D上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面尸所成的角最大？

求出最大角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.

2024-2025学年上海市虹口区高二上学期期中数学质量检测试卷

一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.

【正确答案】平行或异面

【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.

【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.

故平行或异面

2.半径为2的球的表面积为.

【正确答案】16万

【分析】代入球的表面积公式：S表=4不及2即可求得.

【详解】•.•R=2,

...由球的表面积S表=4加非公式可得，

S球表=4X〃X22=16〃，

故答案为：16%

本题考查球的表面积公式;属于基础题.

3.己知长方体N8CD—48013的棱2。=24=1,4B=2,则异面直线与4G所成

角的余弦值为.

【正确答案】^##-75

55

【分析】由定义说明ND8C是异面直线3。与4G所成角或其补角，然后计算.

【详解】因为用G//8C,所以/D8C是异面直线8。与4G所成角或其补角,

在直角ABDC中，BD=y/CD2+CB2=V5-cosNCBD=叁=：=g,

故亘

5

4.在四面体尸—48C中，若底面48C的一个法向量为万=(1,1,0),且丽=(2,2,—1),则

顶点P到底面ABC的距离为.

【正确答案】2亚

【分析】根据点面距公式代入计算即可得.

\n-CP\|2+2|4l

【详解】由点面距公式得:十自..=。=2亚.

|利7F7FV2

故答案为.2亚

5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.

【正确答案】2〃

【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.

【详解】设圆锥底面圆半径为心则该圆锥底面圆周长为2乃「，

因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2〃，

依题意，2n丫=2兀，解得r=l,

显然圆锥的母线长/=2,则圆锥侧面积5="〃=2"，

所以圆锥的侧面积为2〃.

故2〃

6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O/2'C',豆OA//B'C',

OA'=2B'C=4,A'B'=2,则该平面图形的面积为

【正确答案】1272

【分析】首先求出。C',再画出平面图形，从而求出其面积.

【详解】因为。4=25'。'=4,A'B'=2,所以0C'=J（4—21+22=2&，

由直观图可得如下平面图形，则。4=2BC=4,0C=20C=472-

\

\

『―V

所以S/Bc=gx（2+4）x4］！=12JI.

故12后

7.三棱锥尸-N8C中，三条侧棱R4=P5=PC,则顶点尸在平面Z8C内的射影。是

V/8C的.（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【正确答案】外心

【分析】由已知可得顶点尸在底面4BC上的射影。到底面三角形三个顶点的距离相等，即。

为VABC的外心.

【详解】如图，设顶点P在底面48C内的射影为。，则平面4BC,

连接。4,OB,0C,

OA,OB,OC在平面ABC内，

•­•POVOA,POVOB,POLOC,

.­.APOA,NPOB,△POC都是直角三角形，

•••PA=PB=PC,

•­.APOA,VPOB和△POC三个三角形全等，

从而有。4=08=。。，

所以。为VZ5C的外心.

故外心.

8.在空间四边形N3CD中，E,F,G,，分别是边/瓦BC,CD,£%的中点，若四边形对

TT

角线/C=HD=2,对角线/C与3。所成的角为则FH=.

【正确答案】1或百

【分析】由题意可知四边形EEG/f为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为二,0,再由所给

33

边长即可求得的长.

【详解】如图,

由E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，得EFIIACIIHG,EF=HG=-AC=1,

2

EH//BD//FG,EH=FG=-BD=1,则四边形EEG8为菱形，又/C与8。所成的角

2

于是直线EE与£夕所成角为£，即菱形EEG//的边长为1，相邻两个内角分别为色,空,

333

TT2.7171

即NFEH=—或NFEH=—,当NFEH=—时,FH=EF=1,

333

27r

当ZFEH=§时，FH=2Msin60°=也，

所以FH=T或FH=6

故1或行

9.如图，在圆柱。1。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱。1。2

的体积为K1，球。的体积为歹2,则的值是

【详解】设球半径为厂，则卷=等=*故答案为|.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求

解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能

直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

10.已知二面角戊-48-6为30。，尸是半平面a内一点，点尸到平面厅的距离是1,则点尸

在平面0内的投影到AB的距离是.

【正确答案】百

【分析】设点P在平面厅内的投影为点。，作尸0,48于点。，连接。。，证明/尸。。即

为二面角a—48一万的平面角，再解Rt△尸即可.

【详解】如图，设点尸在平面厅内的投影为点。，则尸。，£,尸0=1,

作尸0,28于点0,连接。。，

因为尸0Q,ABu。,所以「。LAB,00,00,

又尸0_148,00门尸。=尸,尸。,尸0<=平面P0。，

所以48,平面产。。，

又OQu平面尸0。，所以48，。。，

所以APOQ即为二面角a-AB-p的平面角，

所以NPOQ=30。，

在Rt2\POQ中，ZP0Q=3Q°,PQ=\,

所以0Q=V3，

即点P在平面0内的投影到AB的距离是G.

故答案为.出

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,

当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为

【正确答案】12

【分析】设圆锥的母线长为/,求出以S为圆心，SN为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根

据题意，列出方程即可求得答案.

【详解】设圆锥的母线长为/，则以S为圆心，为半径的圆的面积为成2,

又圆锥的侧面积为兀x3x/=3Td,

因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，

所以兀尸=4*3兀/，解得/=12,

故12

12.如图，正方体28co的棱长为4,点尸在正方形Z8CD的边界及其内部运动.

平面区域W由所有满足4<\AXP\<275的点P组成，则四面体P-A{BC的体积的取值范围

【分析】连接/P,由线面垂直的性质得到再由勾股定理求出094P区2,即

可得到P以A为圆心2为半径的;圆面上，再根据腺-a©。=〃“BC=；卜4卜5陛°，得到当

尸在边4D上时四面体的体积最大，当尸在边48的中点时四面体的体积最小，再根据面体

的体积公式计算可得取值范围.

【详解】连接/尸，如图所示，

Q

A

因为2/_L平面4SCD,4Pu平面4SCZ）,所以

•.•以/|=4,由444P区2JL|40|=卜2口2+卜4|2,则ogzP区2；

所以P在以A为圆心2为半径的!圆面上，由题意可知，VPABC=VAPBC=-\AAXS^BC,

A1—/liDV,zli-1Dl_-ry|1|AlDU

1132

所以当尸在边4。上时，四面体尸一4§。的体积的最大值是］Xex4x4x4=々-.

所以当尸在边48的中点时，邑必。的面积取得最小值，此时Sa%c=；x4x2=4,

所以四面体尸—48C的体积的最小值是:x4x4=g,所以乙-凤€y,y,

1,5、、r「1632

故答案为.—5—

思路点睛：

求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式「=」S/z,

3

通常会有以下两种：

①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；

②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.

二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.己知直线/和平面则“/垂直于a内的两条直线”是”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非

必要条件

【正确答案】B

【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.

【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：

如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.

而“/垂直于a内的两条直线“，没有满足相交，

所以不一定能推出直线与平面垂直，

但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，

即可得：“/垂直于a内的两条直线”是a”的必要不充分条件.

故选：B.

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆锥母线在圆台

中的部分）长为12,则原圆锥的母线长为（）

A.16B.18C.20D.22

【正确答案】A

【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.

【详解】由题意可得，几何体如下图所示：

CD1

取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为——=—,且CD//AB,BD=12,

AB4

T71J~X11。1

设圆锥的母线长为/，根据相似比可得一=—=^—=-,解得/=16,

ABEBI4

即原圆锥的母线长为16.

故选：A.

15.m、,为空间中两条直线，a、夕为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）

①二面角的范围是［0,兀）；

②经过3个点有且只有一个平面；

③若加、〃为两条异面直线，mua,nuf3,ml邛,则〃//a.

④若加、〃为两条异面直线，且加//a,〃//a,加//£,〃///,则a///?.

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】B

【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方

法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④

【详解】对于①，二面角的范围是［0,可，①错；

对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错

对于③，若加、〃为两条异面直线，mua,〃uB，mlI/3,则i与a可能平行也可能相交，

故③错误；

对于④，因为加//%加//p，过直线7〃作平面7,使得/Pla=a,

由线面平行的性质定理可得mlla,ml1b,则a/",

因为a<Za,bua,则a//a,

因为〃//%〃//，，过直线〃作平面。，使得°na=d，An0=c,

由线面平行的性质定理可得〃//c,〃//d,则c//d,

因为c<za,dua,贝!|c//a,

若a//c,则M〃“，这与加、〃为两条异面直线矛盾，故c相交，

又因为a,c<z/?,所以&//尸，故④对，

故选：B

16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形,

一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如

图，在堑堵48C—451G中，AC1BC,且44]=48=2.下列说法第送的是（

A.四棱锥8—//cq为“阳马”

B.四面体4GC5为“鳖席”

2

c.四棱锥8-z/cq体积的最大值为一

3

D.过/点作AE±AXB于点E,过E点作EF±&B于点F,则AXB±面AEF

【正确答案】C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A,B的正误；当且仅当ZC=5C时，四棱锥

B-AXACCX体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证4B1平面AEF,进而判

断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

在堑堵48。一4四。1中，ZCL8C,侧棱幺4,平面43C,

A选项，3C，又AC：LBC,且24nze=Z,则平面Z/CG，

四棱锥8—Z/CG为“阳马”，故A正确；

B选项，由zc，8C,即4G，BC,又4G，GC且3Cccc=c，

4G1平面BBGC,：.4G±BCi，则v48G为直角三角形，

又由平面44CC，得A48C为直角三角形，由“堑堵”的定义可得A4GC为直角三角

形，ACGB为直角三角形，四面体4GCB为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有4=/。2+8。222ZC-8C，即ZO5CV2,当且仅当=5C=J5

时取等号，

11244

V=-S^BC=-AAxACxBC=-ACxBC<-,最大值为一，故C错误；

DB-ZAlA]CUCz]3AACC31x333

D选项，因为ZE，48,EF±AXB,AEcEF=E,所以4台，平面ZER,故D正确;

故选：C

三、解答题（本题满分78分，共5小题）

17.如图，棱长为2的正方体4BCD—4用。0|中，M、N、P分别是GA、力4的

中点.

（1）证明："N//平面48与4.

（2）求异面直线尸R与〃乂所成角的大小.（结果用反三角表示）

【正确答案】（1）证明见解析

⑵…亚

10

【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.

（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小问1详解】

如图：连接2逐，D。

DiMG

因为/BCD—为正方体，所以48//C〃.

又，M、N分别是GA、CG的中点，所以MN//CD\,

所以儿W//45,N/u平面W平面N344,所以“N//平面

【小问2详解】

如图：连接PC、PD}

因为MN//CD「所以即为异面直线儿W与尸口所成的角，设为0.

在VPCD]中，PD}=^PA^+A^=Vl+4=V5-CD,=272,

PC=^P^+AB'+BC2=71+4+4=3.

2尸+。。2一P。25+8—9Vw

所以cose=-..........!-------------=—产—/==—.

2xD[PD[C2x6x2夜10

所以异面直线PDX与MN所成的角为.arccos巫

10

18.如图，已知E4=NC=PC=A3=a,PA1AB,ZC_L48,M为/C的中点.

p

（1）求证：PM，平面/8C;

（2）求直线尸2与平面A8C所成角的大小.

【正确答案】（1）见解析（2）arcsin---

4

【分析】（1）推导出PMJ_/C，PMVAB,由此能证明PMJ_平面48C;

（2）连结则NPBAf是直线尸8和平面/8C所成的角，由此能求出直线尸3和平面48c

所成的角.

【小问1详解】

证明：因为AP/C为等边三角形，且M为ZC的中点，

所以PM_L/C.

又PALAB,AC1AB,且尸2n2。=2,

所以氏4,平面P/C.

又PM在平面上4c内，所以氏4,PM.

因为A8c/C=Z,且8/，尸河，PM1AC,

所以平面48c.

【小问2详解】

解：连结由（1）知尸河，平面48C,

所以NPBM是直线PB和平面ABC所成的角.

p

B

因为AP/C为等边三角形，所以尸M=

2

7T

又△尸45为等腰直角三角形，且=—

2

所以PB=ma-

因为所以sin/P8M=£44=逅

PB4

则/PBM=arcsin

4

所以直线PB和平面ABC所成的角的大小等于arcsin".

4

19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P下部

的形状是正四棱柱ABCD-4用弓。1（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高

尸。।的4倍.

（1）若Z8=6m,POl=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,当尸。।为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积

是多少？

【正确答案】⑴312m3

(2)30，288V2m2

【分析】(1)明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；

(2)先根据面积关系建立函数解析式，S(x)=16(36—,然后利用二次函数性

质求其最值.

【小问1详解】

由尸。1=2知OO]=4尸。]=8.

因为44=4B-6,

所以正四棱锥尸—N4GA的体积曝=；.442.0a=；x62X2=24(m3);

正四棱柱ABCD-481G2的体积曝=AB-=6?x8=288(m3).

所以仓库的容积展曝+%=24+288=312加).

【小问2详解】

设尸&=xm,下部分的侧面积为S(x),

则。0]=4xm,4Q=V36-X2,4用=V2-,36—-,

S(x)=44耳.00]=16缶736-Y=1672-旧(36-》2),(0<x<6),

^/(X)=X2(36-X2)=-X4+36X2=-(X2-18)2+324,

当-=18,即x=3也时，/(x)max=324，S(x)max=288V2.

即当尸Q为3五时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是288cm2.

20.如图，45是圆柱的底面直径，4B=2,P4是圆柱的母线且尸2=2,点。是圆柱底面

圆周上的点.

（1）求圆柱的表面积；

（2）证明：平面P8C_L平面P/C；

（3）若ZC=1,。是尸3的中点，点E在线段正幺上，求CE+E。的最小值.

【正确答案】（1）6兀

（2）证明见解析（3）V5

【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.

（2）先证5C_L平面上4C,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

（3）先分析得将AP/C绕着尸/旋转到尸0,，使其与尸48共面，且C'在48的反向延长线

上，当Q,E,C'三点共线时，CE+ED的最小值为CZ）,通过解三角形求CZ＞即可.

【小问1详解】

根据题意，圆柱的底面半径厂=——=1,圆柱的高/z=R4=2,

2

圆柱的上下底面积和为2S底=2加,=2兀，圆柱的侧面积为S侧=2兀＞力=4兀，

所以圆柱的表面积为S=2s底+5恻=6兀

【小问2详解】

由题意可知，尸/上底面45C,BCu底面48C,则上4L5C,

由直径所对的圆周角为直角，可得8C±AC,

又尸2n2。=2,E4u平面P/C，ZCu平面R4C,

所以3C_L平面P/C,又因为3Cu平面尸6C,

所以平面平面上4C

【小问3详解】

将APAC绕着PA旋转到pc'，使其与PAB共面，

且C'在45的反向延长线上，当。，E,C'三点共线时，

CE+即的最小值为CZ>,

因为尸2=2，AB=2,PA1AB,PB=Jp/+AB?=2&，

DA2771r-

tanZPBA=——=—=1,所以NPBA=—,BD=—BP=6,BC'=BA+AC=2+1=3,

AB242

所以在三角形中，

由余弦定理可得CD=J32+(-2x3x夜义丰=6，

所以CE+的最小值为V5.

21.已知点尸是边长为2的菱形/BCD所在平面外一点，且点尸在底面N8CD上的射影是

ZC与的交点。，已知/切。=60°,△尸是等边三角形.

(2)求点。到平面尸8C的距离;

(3)若点£是线段40上的动点，问：点£在何处时，直线PE与平面P8C所成的角最大？

求出最大角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)巫

5

14

(3)