2024-2025学年苏科版数学九年级上册期中复习试题【含答案】

初三数学期中复习试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.3+X=2B.2x+6=7

x

C.x2+y2=5D.3/-5x+2=0

2.已知3a=26（砧/0）,下列变形错误的是（）

a2「b3-ab

A.­=-B.—=-C.———D.———

b3a3a223

3.若一元二次方程％?一4x+3=0的两个根是占、x2,则玉・％2的值是（）

A.3B.—3C.-4D.4

4.如图，DE//BC,若4。：DB=2:3,则。氏BC=）

C.1:3D.2:5

5.若关于x的方程%—加=。没有实数根，则加的值可以为（）.

1

A.-1B.一—C.0D.1

4

6.如图，△/BC内接于OO,ZC=45°,AB=2,则OO的半径为（）

A.1B.272C.2D.72

7.某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平

均增长率为x,根据题意列出的方程是（）

A.100（1+无了=280B.100（l+x）+100（l+x）2-280

试卷第1页，共6页

C.lOO(l-x)2=280D.100+100(1+x)+100(1+x)2=280

8.如图，在。。中，48为直径，点C为圆上一点，将劣弧/C沿弦/C翻折交4B于点。

（不与。重合），连接CD.若44=22。，则//C。的度数为（)

B.44°C.48°D.68°

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0）直线y=kx-3k+4与

OO交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）

24C.10V5D.1273

10.如图，把某矩形纸片沿斯，G8折叠（点E、H在4D边上，点F,G在边

上），使点B和点C落在/。边上同一点P处，A点的对称点为H、D点的对称点为。，若

ZFPG=90°,的面积为8,的面积为2,则矩形48c。的长为（）

A.675+10B.诉+如C.3V5+10D.诉+班

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.一元二次方程X?-x=0的解是.

12.一元二次方程2f+4》-1=0的两根为占、%,则%+尤2的值是.

13.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字掷小正方体后,

朝上的一面数字为2的概率是.

试卷第2页，共6页

14.一组数据5、8、6、7、4的方差为.

15.已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积为cm2

16.在半径为3的。。中，弦的长是3石，则弦N8所对的圆周角的度数是.

17.图所示，一个半径为1的圆过一个半径为0的圆的圆心，则图中阴影部分的面积

18.如图，△NBC是边长为5的等边三角形，△OCE是边长为3的等边三角形，直线8。与

直线/£交于点?将△DCE绕点。旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最大值

是.

三、解答题(本大题共10小题，共96分.)

19.选择合适的方法解方程：

(l)x2-5x+4=0;

(2)(X+1)2-4=0.

20.根据要求的方法解方程：

(l)2x?-3无+1=0(公式法)；

(2)炉+4X-1=0(配方法)

21.如图，在E48CD中，点E在8c上，4CDE=U)AE.

试卷第3页，共6页

(1)求证：△ADEMDEC；

(2)若/。=6,DE=4,求3E的长.

22.如图，己知2MBe是锐角三角形(/C<48).

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线/,使/上的各点到8、C两点的距离

相等；设直线/与NB、2c分别交于点M、N,作一个圆，使得圆心。在线段上，且

与边AB、8c相切；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若=BC=2,则。。的半径为.

23.如图，在△4BC中，已知/48C=90。，在A8上取一点E,以5E为直径的。。恰与/C

相切于点。，若/E=4cm,44=30。.

(1)求。。的半径；

(2)求出由线段CD、C3与劣弧围成的图形面积.

24.在沙台。中，NACB=9Q°,点、E、尸分别是边/8、8C上的两个点，点B关于直线昉

的对称点尸恰好落在边AC上且满足EP1力C.

试卷第4页，共6页

B

(1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴即；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若5c=3,AC=4,则线段EP=.

25.某水果批发商销售阳山水蜜桃，每箱成本是50元，经过调查发现：销售单价是60元时,

平均每天的销量是80箱，当销售单价每提高5元，平均每天就少售出10箱，但销售单价不

得超过90元.

(1)若销售单价为65元，求每天的销售利润；

(2)要使每天销售阳山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃属于易坏食品，批发商想要尽快销售水蜜

桃，那么每箱水蜜桃的售价应为多少元？

26.如图，平行四边形中，AB1AC,AB=6,3C=10,点P在对角线NC上运动

(点P不与点/重合)，以尸为圆心，PN为半径作。尸.

⑴当。尸与边。相切时，AP=.

⑵当。尸与边2C相切时，求4P的值.

⑶随着/P的变化，。尸与平行四边形的边的公共点的个数也在变化.请根据4尸的取

值范围探索。尸与平行四边形488四边的公共点的个数.

27.把两个直角三角形纸片△0/8和A。。放在平面直角坐标系中，已知点4-36,0),

2(0,3),0c=2右，OD=2,/COD=90。，将AOCD绕点。顺时针旋转.

试卷第5页，共6页

⑵当AOCD旋转至反C、。三点在一条直线上时，求NC的长;

(3)当AOCD旋转至NO8。的度数最大时，则AO4c的面积为

28.如图，已知GW与坐标轴分别交于/(3,0),5(-5,0),C(0,-3),D,经过点/的直线

/与歹轴交于点尸(0,加).

(1)①tan/ADC=_；②点M的坐标为」

(2)当直线/与。M相切时，求〃?的值；

⑶当加=-5时，点0为直线/(除点/外)上的动点，且/5。。=45。，请直接写出满足条

件的Q点的横坐标.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数

的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四

个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】解：A.不是整式方程，故错误.

B.是一元一次方程，故错误；

C.方程含有两个未知数，故错误；

D.符合一元二次方程的定义，正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键.

2.B

【分析】比例的性质，a:b=c:d,则ad=6c,由此性质对比例式变形即可.

【详解】解：A、由：=可得%=26(9W0),故本选项正确，不符合题意；

b3

B、-=|,可得2a=36伍620),故本选项错误，符合题意；

a3

C、由2=：,可得3a=2”仍wo),故本选项正确，不符合题意；

a2

D、由■!=!，可得3。=26伍6/0),故本选项正确，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质:内项积等于外项积，利用性质对比例

式进行变形是解题的关键.

3.A

【分析】根据根与系数的关系直接可得答案.

【详解】解：,•・网，/是一元二次方程炉-4x+3=0的两个根，

西•工2=3,

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数

的关系.一元二次方程*2+乐+。=0中(〃w0,a,b,c皆为常数)中，两根多，超与系

bc

数的关系为网+工2=——,X/X2=--.前提条件是判别式A=62-4acN0.

aa

答案第1页，共26页

4.D

【分析】根据。石〃5C,得出A4DESA4BC,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：・・,40：DB=2・3,

AD_2

=一，

AB5

■：DE//BC,

.-./\ADE^/\ABC,

；.DE:BC=AD:AB=2:5,

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

5.A

【分析】根据关于x的方程*-》-加=0没有实数根，判断出△<(),求出m的取值范围，

再找出符合条件的m的值.

【详解】解：••・关于x的方程V-x-〃7=0没有实数根，

解得：m<-y,

4

故选项中只有A选项满足，

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判

别式小于零.

6.D

【分析】本题主要考查圆周角定理和勾股定理.连接/。，并延长交。。于点。，由同弧所

对的圆周周角相等可得/。=/。=45。，再由直径所对的圆周角等于90。，可得

ZABD=90°,进而可得/D/8=/D=45。，AB=BD=2,利用勾股定理求出直径4D,进

一步即可求出半径.

【详解】解：连接/。，并延长交。。于点D,

答案第2页，共26页

・•./D=45°,

•・•4D为OO的直径，

・・・ZABD=90°,

ZDAB=ZD=45°,

•・•AB=2,

BD=2,

•••AD=y/AB2+BD2=A/22+22=272，

•••。。的半径NO=—=V2.

2

故选：D.

7.B

【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量x(l+增长率)"，如果设二、

三月份每月的平均增长率为x,根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程.

【详解】设二、三月份每月的平均增长率为X,

则二月份生产机器为：100(1+x),

三月份生产机器为：100(1+x)2；

又知二、三月份共生产280台；

所以，可列方程：100(1+x)+100(1+x)2=280.

故选B.

【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般

形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.

8.A

【分析】连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出乙4C8,根据直角三角形两锐角互余

求出N2,再根据翻折的性质得到就所对的圆周角为ZB,就1所对的圆周角为乙4OC,

NB=ZCDB=68°,最后由三角形外角的性质即可得出结论.

答案第3页，共26页

【详解】解：如图，连接3C,

・•・4B是直径,

.•.//C8=90。，

ABAC=22°,

Z5=90°-ABAC=90°-22°=68°.

根据翻折的性质，就所对的圆周角为N8,就■所对的圆周角为乙4OC,

ZADC+ZB=1^0°,

■■■ZADC+ZBDC=i?,0o,

：.AB=ZCDB=68°,

ZACD=ZCDB-ZCAD=68°-22°=46°

故选：A.

【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角和翻折变换等知识，掌握相关定理是解答此

题的关键.

9.B

【详解】解：对于直线＞=丘一3左+4=左自一3)+4,无论左为何值时，恒经过点(3,4),记为

点。，

过点。作D"_L尤于点H，则有OH=3,DH=4,OD=^OH2+DH2=5,

•.•点”(13,0),;.CM=13,;.08=04=13,

由于过圆内定点。的所有弦中，与。。垂直的弦最短，如图所示

根据垂径定理及勾股定理可得，

BC的最小值为2BD=2^OB2-OD2=2X^132-52=24

故选：B

答案第4页，共26页

10.D

【分析】设AB=CD=x,由翻折可知：PAf=AB=x,PD,=CD=x,因为aAEP的面积为4,ADYH

的面积为1,推出DH=；x,由SAD，PH=；DPDH=；APDH,可解得*=2/，分别求出

PE和PH,从而得出AD的长.

【详解】解：•••四边形ABC是矩形，

•••AB=CD,AD=BC,

设AB=CD=x,

由翻折可知：PA,=AB=x,PD,=CD=x,

•■•AATP的面积为8,ADTH的面积为2,

又•:/FPG=9Q°,zATF=zDTG=90o,

•••ZATD=90。，则NATE+NDPH=90。，

•••NAPE=NDHP,

.­•AATP-ADTH,

•••AT2：D，H2=8：2,

•••AT：DH=2：1,

vAT=x,

.*.DrH=-x,

2

rr

SADPH=-DT-DH=-AP-DH,即Lx,x=2,

2222

.•・x=20（负根舍弃），

,,,,,

；.AB=CD=2Q,DH=DH=V2-DP=AP=CD=2V2，AE=2DP=4A/2.

,（4可+（2@2=2V10,PH=12也j+（用=V10,

.-.PE=

答案第5页，共26页

AD=4亚+2而+VHJ+应=5拒+3加，

故选D.

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

11.X1=0,%=1

【分析】本题考查了利用因式分解的方法求解一元二次方程，利用两数相乘积为0,两因式

中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解.

【详解】解：x2-x=0,

x(x-l)=0,

>•%=0,A,2—1,

故答案为：莅=0,无2=1.

12.-2

【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.

【详解】解：,•・X1、工2是一元二次方程2?+4》-1=0的两根，

4°

•••^+^=--=-2

故答案为：-2

【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，虫，肛是一元

bc

二次方程办2+bx+c=0(存0)的两根时，X1+X2=—,X1X2=—.

aa

13.-

3

【分析】由一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【详解】：一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，.•.掷小正

21

方体后，朝上的一面数字为2的概率是：-=

63

故答案为g.

【点睛】本题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

答案第6页，共26页

14.2

【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可.

【详解】解：这组数据的平均数为4+5+,+8=6,

这组数据的方差为|x[(4-6)2+(5-6>+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)[=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式.

15.15万

【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积=底面周长*母线长+2,把相应数值代

入即可求解.

【详解】解：圆锥的侧面积=2万x3x5+2=15万(cm)

故答案为：157.

16.60°或120°

【分析】先根据题意画出图形，连接OB,过。作。尸1/3,由垂径可求出/尸的长，

根据特殊角的三角函数值可求出乙4。斤的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求

出答案.

【详解】解：如图所示，

连接CM、OB,过。作。尸1/5,贝1」/尸=工/5,^AOF=-AAOB,

22

■.■OA=3,AB=3百，

■.AF=—AB="I下）,

22

3IT

^sm^AOF=AF=尸，=",

~AO~3--

山=60。，

.'.^AOB=2^AOF=nO°f

答案第7页，共26页

11

.••乙4。2=—乙4。2=—xl20°=60°,

22

“£8=180°-60°=120°.

故答案为：60。或120°.

【点睛】本题考查了圆周角定理及垂径定理,解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个,

这两个角互为补角.

17.1

【分析】如图，连。OB,OC,48由CA=CB=\,则有(0)2=『+F,得到

△OC4为直角三角形，则乙4OC=45。，同理可得N2OC=45。，得到48为OC的直径.所以

S阴影部分=$半娥AB-S瓢AB=S.AB-(S^OAB-SAOAB),然后根据圆、扇形和三角形的

面积公式进行计算即可得到阴影部分的面积.

【详解工OO的半径为逝，OC的半径为1,点。在OC上，连。/,OB,OC,AB,如

图：

由。/=也，CA=CB=1,则有(a)2=『+12,

.-.OA2^CA2+CB2,

・•・△OCA为直角三角形,

“。。=45°,

同理可得乙BOC=45。，

408=90°,

.S3为OC的直径.

,',S阴影部分=S半匐AB-S弓彩AB=S半1gAB-(S扇彩OAB-S^OAB)

标F-90蓝产+；X@/=L

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直径所对的圆心角是直角，扇形面积公式，解

答案第8页，共26页

题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

1073

1o.----------

3

【分析】由“S4S”可证三△4(五,可得NDBC=NE4C,可证点A,点B,点C,点

尸四点共圆，由等边三角形的性质可求04的长，由点尸在。。上运动，则N尸是直径时最

大，即可求解.

【详解】解：“48c和△〃可是等边三角形，

BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

NBCD=NACE,

在△BCD和中，

BC=AC

</BCD=ZACE,

CD=CE

.•△BCDmxACE(SAS),

ZDBC=NEAC,

又•：NBGC=NAGF,

/BCG=ZF=60°,

，点A,点3,点C,点尸四点共圆，

如图，过点A,点B,点C,点尸四点圆为。。，连接。4,OF,OC,过点。作

于H,

•.•△48C是等边三角形，OH1.AB,

.,.点。是△/BC的内心，也是△ABC的外心,

ZOAB=30°,AH^BH=~,

2

答案第9页，共26页

:.AHfOH,AO=2OH,

・・•点尸在。。上运动，

尸的最大值为迪，

3

故答案为：竺好.

3

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的

性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

19.(1)占=1,x2—4

(2)X]=1,x2——3

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用直接开平方法求解可得.

【详解】(1)X2-5X+4=0,

(x-l)(x-4)=0,

二.工-1=0或x-4=0,

解得：玉=1,%=4；

(2)(尤+以―4=0,

*+1)2=4,

x+l=2或x+l=-2,

解得：玉T,x2=-3.

20.(1)再=1,x2=1

(2)&=-2+s/5,x2=-2-

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

答案第10页，共26页

题的关键.

(1)求出〃一4碇的值，再代入公式求出即可.

(2)移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】(1)2X2-3X+1=0,

***(2—2jb——3,c=1,

.\b2-4ac=(—3)2-4x2xl=l>0,

3士&3±1

x=----=---，

2x24

(2)X2+4X-1=0,

移项：X2+4X=1,

配方得：X2+4X+4=5,即(X+2)2=5,

开方得：X+2=±5

解得：西=-2+石，x2=-2-V5.

21.(1)证明见解析;

【分析】(1)根据4D//BC,可以证得=然后根据NCDE=ZONE即可证

得；

(2)根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，贝|瓦?即可求解.

【详解】(1)证明："/BCD中ND//8C,

ZADE=ZDEC,

又；NCDE=ZDAE,

MDEsKDEC；

(2)解：•••NADE^^EC,

DEEC

~AD~1)E

4一EC

6-V)

3

答案第11页，共26页

又•:BC—AD—6,

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握证明两个三角形相似最常

用的方法是证明两组角对应相等.

22.(1)见解析；(2)r=g

【分析】(1)由题意知直线/为线段BC的垂直平分线，若圆心。在线段龙W上，且与边

AB、8C相切，则再作出/A8C的角平分线，与的交点即为圆心O；

(2)过点。作垂足为E,根据S△领=$4叫0即可求解.

【详解】解：(1)①先作8c的垂直平分线：分别以8,C为圆心，大于38C的长为半径

画弧，连接两个交点即为直线/,分别交/8、于M、N；

②再作2/8C的角平分线：以点8为圆心，任意长为半径作圆弧，与/NBC的两条边分别

有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点5,

即为2/3C的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为。；

③以。为圆心，ON为半径画圆，圆。即为所求；

(2)过点。作垂足为E,设ON=OE=r

54

BC=2,BN=\,：.MN=-

33

根据面积法，・・・黑BMN="BNO+^ABMO

14115“日1

—xlx—=—X1-F+—x—-r,角吊得r=—,

232232

故答案为：r=;.

答案第12页，共26页

【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角

平分线的尺规作图.

23.(l)4cm

4873-1671

(2)-------------cm2

3

【分析】(1)连接8、ED,由。。与NC相切于点。，得NOD/=90。，而乙4=30。，贝U

ZAOD=60°,可证明SOE是等边三角形，求得NED4=N4=30。,则=即可求

得半径；

(2)由圆周角定理得480。=2/0瓦)=120。，而NOOC=N4BC=90°,则/8。=60。，

再证明8c是。。的切线，则C8=C。，NOCD=NOCB=g/BCD=3。°,求得。C,C8的

长度，再由5=%。叱+工。叱-5扇物8即可求得由线段8、CB与劣弧8。围成的图形面

积.

【详解】(1)连接ED,

•••。。与/C相切于点。，

AC1OD,

ZODA=90°,

■■■ZA=30°,

:.AAOD=60°,

,**OD=OE,

「.△OOE是等边三角形，

:.OE=DE,ZOED=60°,

/EDA=ZOED-ZA=60°-30°=30°,

/EDA=ZA,

DE=AE=4cm,

OE=4cm,

QO的半径长为4cm；

(2)连接OC,

•/ZBOD=2ZOED=120°,ZODC=ZABC=90°f

/BCD=360°-/BOD-ZODC-/ABC=60°,

vBC.LOB,08是。。的半径，

答案第13页，共26页

8c是。。的切线，

:.CB=CD,NOCD=ZOCB=-ZBCD=30。,

2

/.OD=OB=4cm,

/.OC=2OD=8cm,

CB=CD=A/0C2-0D2=A/82-42=473(cm),

2

SXOBC=黑08=5x4x4#)=8G(cm),

12016K/\

S扇形38=而'"42=—(cm2),

省-则兀

=86+8J-*2

,•S=^/\OBC+S4ODC_S扇形600cm

33'

4873-16712

二.由线段CD、C3与劣弧助围成的图形面积是--------------cm

3

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，切线长定理，直角三角形中30。角所

对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三角形的面积，扇形的面积，正确作出辅助线是解

题的关键.

24.⑴见解析

⑵”

-8

【分析】（1）作—4BC的角平分线8尸，作线段AP的垂直平分线交48于£,交BC于F,

直线E厂即为所求；

（2）根据勾股定理，求得的长度，设BE=EP=PE=BF=x,利用平行线分线段成比

例定理，求解即可.

【详解】（1）解：如图，直线所即为所求作.

答案第14页，共26页

（2）;BC=3,AC=4,

AB=y）BC2+AC2=V32+42=5，

由作图可知，四边形2EPF是菱形，

设BE=EP=PE=BF=x,

EPLAC,

：.NAPE=ZACB=90°,，PE//BC,

AEPE.5—xx

••-‘___，___••____一_，

ABBC53

..x=—15,

8

故答案为：.

o

【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成

比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

25.（1）1050

（2）70

【分析】（1）利用总利润=每箱的销售利润x日销售量，即可求解；

（2）设每箱水蜜桃的售价为y元，则每箱的销售利润为。-50）元，平均每天的销量是

卜0-10X上詈1箱，利用总利润=每箱的销售利润x日销售量，即可得出关于y的一元二次

方程，解方程即可得出y的值，再结合要尽快销售水蜜桃，即可得出每箱水蜜桃的售价为

70元.

【详解】（1）（65-50）x180-10x受《KJ

=（65一50）x（80-10xg）

=（65-50）x（80-10）

=15x70

=1050（元）

答：每天的销售利润为1050元.

（2）设每箱水蜜桃的售价为了元，则每箱的销售利润为（y-50）元，

平均每天的销量是（80-10义2詈［箱，

答案第15页，共26页

依题意得：（了-50）（80-10x1^）=1200

整理得：/-1507+5600=0,

解得：必=70,%=80,

又•••要尽快销售水蜜桃，

y=70.

答：每箱水蜜桃的售价应为70元.

【点睛】本题考查一元二次方程在生活中的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正

确列出一元二次方程是解题的关键.

26.（1）4

（2）/尸=3

⑶当0<NP<3时，。尸与平行四边形ABC。四边的公共点的个数为2个；当“尸=3时，。尸

与平行四边形/BCD四边的公共点的个数为3个；当3<在<一25时，。尸与平行四边形

4

/BCD四边的公共点的个数为4个；当/P=一25时，。尸与平行四边形四边的公共点

4

25

的个数为3个；当下<4尸《8时，OP与平行四边形四边的公共点的个数为2个

【分析】（1）先利用勾股定理求出NC=8,再证明/CLCD,当。尸与边CD相切时，切点

即为点C,此时/P是。尸的直径，由此求解即可；

（2）如图所示，当OP与边8c相切时，设切点为点£,连接PE,由切线长定理求出3E的

长进而求出CE的长，即可利用勾股定理求出答案；

（3）分别讨论当。尸与8C相切前，OP与8c相切时，0P与BC相切后到与CD相切前，QP

与CD相切时，。尸与CD相切后未经过点。时，经过点。后，画出对应的图形求解即

可.

【详解】（1）解：•••平行四边形中，AB1AC,AB=6,8C=10,

•••AC=ylBC2-AB2=8-AB//CD,

AC±CD,即尸C_LCD,

.•・当。尸与边8相切时，切点即为点C,则此时/P是。P的直径，

.-.AP^-AC^A,

2

故答案为：4

答案第16页，共26页

D

（2）解：如图所示，当。P与边8c相切时，设切点为点£,连接PE,

AP=PE,PELBC,

■：AB1AC,

•••历1是。P的切线，

/.BE=AB=6,

：,CE=BC-BE=4,

设AP=PE=x,则CP=NC-AP=8—x,

在RMPEC中，由勾股定理得CP?=以2+P炉，

•••（8-X）2=X2+42,

.•./尸=3；

（3）解：由（2）可知当/尸=3时，0P与3c相切，此时。P与平行四边形/BCD四边的

公共点的个数为3个；

如图3-1所示，当0</P<3时，OP与平行四边形/8CD四边的公共点的个数为2个；

图3-1

由（1）可知当/尸=4时，OP与CD相切，此时。P与平行四边形四边的公共点的个

数为4个；

如图3-2所示，当3</尸<4时，。尸与平行四边形/BCD四边的公共点的个数为4个；

答案第17页，共26页

A

图3-2

如图3-3所示，当。P恰好经过点。时，此时OP与平行四边形四边的公共点的个数

为3个

,连接。尸，设4尸=P。=了，则CP=/C-/P=8-y,

在RtAPD。中，由勾股定理得：DP-=CP2+CD2,

y2=(8-+g2,

25

解得f

25

如图3一4所示,当4cp＜了时，OP与平行四边形四边的公共点的个数为4个;

综上所述，当0＜/尸＜3时，。尸与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当/尸=3

答案第18页，共26页

时，。尸与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当3<4P〈下时，。尸与平行四

4

25

边形N8CZ)四边的公共点的个数为4个；当/尸=工时，OP与平行四边形四边的公

4

共点的个数为3个;当一25</PW8时，。P与平行四边形四边的公共点的个数为2个；

4

【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质等等，利

用数形结合的思想求解是解题的关键。

27.(1)C(-V3,3)；

(2)AC的长为3行-行或3亚+G;

(3)375

【分析】(1)过点C作CELCU于£.解直角三角形求出OE,CE,可得结论；

(2)分两种情况，首先证明A^OCsASO。，推出=再根据含30度角的直角三

角形的性质以及勾股定理求出8。，可得结论；

(3)当ODLAD时，的值最大，止匕时=SAOBD=S/5.同理证明

AAOCS&BOD,利用相似三角形的性质可得结论.

【详解】(1)解：如图，过点C作CELO4于£

-,-ZAOC=60°,OC=2A/3,

ZOCE=30°,

.-.OE=-OC=4i,

2

•1•CE=y]0C2-0E2=3，

••.CH万,3）；

答案第19页，共26页

(2),点班,0),3(0,3),℃=2后，00=2,

••・04=35OB=3,

OA36r-OC273/T

••=------=75,=-------=75,

OB3OD2

OAOC厂

:.——==V3,

OBOD

当点。旋转到〉轴的右侧时，过点。作"于?如图,

•・•ZCOD=ZAOB=90°,

・•.NAOC=NBOD,

OAOC

OBOD

：.\AOC^\BOD,

茄AC=方OA=5即口n"=Gr肛

在RtACO尸中，OF=；OC=6,CF=^OC2-OF2=3>

在RtABOF中，BF=4OB1-OF1=a，

在RtADOF中，DF=4OD1-OF1=1，

■■BD=BF+DF=y[6+l,

:.AC=瓜巫+1)=3血+右；

当点。旋转到y轴的左侧，过点。作OGLAD于G.如图,

答案第20页，共26页

同理可得A4OCSA5OZ),

£0=6即=

BDOB

在RtACOG中，OG=；OC=M,CG=^OC2-OG2=3-

在RtA80G中，BG=yjOB2-OG2=展，

在RtADOG中，DG=^OD2-OG2=11

■■BD=BG-DG=46-l,

.­.^C=A/3(V6-1)=3A/2-V3；

综上所述，/C的长为3拒-百或3拒+班;

(3)如图，当。。，区0时，/0AD的值最大,

此时BD=sJOB2-OD2=V32-22=45，

同理可得A40csMO。，

:库)J(省了=3,

S.DOB

S/uoc=3sxOBD=3逐.

答案第21页，共26页

故答案为：375.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，相

似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键

是正确寻找相似三角形解决问题.

28.⑴①1；②（T1）

⑵-12

213530

（3）一万或0或行

oc

【分析】（1）①连接NC,根据题意可得=3,。。=3,可得tanNCMC=注■=1,再根据

CzZi

圆周角定理，即可求解；②连接MA,MB,MC,MD,过点M作MELx轴于点£,轴

于点尸，根据题意可得=8,CD=8,再由垂径定理可得OE=1,OF=1,即可求解；

（2）证明可得。P=12,即可求解；

（3）连接延长8C交直线/于点G,根据勾股定理逆定理可得/BMC=90。,

再由圆周角定理可得N8/C=45。，从而得到当点。与点