广东省湛江市2024-2025学年高三上学期11月大联考数学试题【含答案解析】

2025届高三年级11月份联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列满足，则（）A.3 B.4 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根据题意，将式子化为与，代入计算，即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，则.故选：B.2.已知是实数，若为纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为为纯虚数，则，解得.故选：B.3.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性求值即可【详解】解：由为奇函数知，，令可得，C正确，设，则，，，，ABD错误，故选：C.4.如图，在方格边长为的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出的坐标，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，则，所以.故选：A.5.现有一盛水实心容器，其外形可以通过如下方式得到：在中，，，以边所在直线为轴将该三角形旋转一周，所得旋转体即为该容器，则该容器最多能容纳水的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到旋转体为一个圆锥，结合已知条件求出圆锥的底面半径和高即可求解.【详解】由题意知，该容器的盛水部分为圆锥形，过点向轴作垂线(为垂足)，则即为圆锥的高，为圆锥的底面半径，因为，，所以，，其中，，故该容器最多能容纳水的体积为.故选：B.6.已知点在椭圆上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将代入椭圆方程可求出，进而求出离心率.【详解】将点的坐标代入椭圆方程，得:，因为，所以，所以椭圆方程，其中，故离心率.故选：C.7.过点分别作曲线的切线，则这两条切线的斜率之积为（）A. B.1 C.e D.【答案】B【解析】【分析】由题，关于直线对称，可得两条切线也关于直线对称，则一条切线的倾斜角为，则另一条的倾斜角为，运算得解.【详解】由于是互为反函数的曲线，所以其关于直线对称，由于点在直线上，所以这两条切线也关于直线对称，不妨设其中一条切线的倾斜角为，则另一条的倾斜角为，故这两条切线的斜率之积为.故选：B.8.已知正数满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据和的立方公式计算化简得出得，换元得出，再结合基本不等式得出，最后计算求解即可.【详解】因为，故原题干等式可转化为，得，设，则，解得，因为，所以，解得或，又因为，所以，整理得，解得，当且仅当时，等号成立.因此，即2，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用换元，结合基本不等式得出关于的高次不等式即可求解.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目分别为：9，8，6，10，9，7，6，9，则这组样本数据的（）A.极差为3 B.平均数是8C.上四分位数是9 D.方差为2【答案】BCD【解析】【分析】根据极差的概念可得选项A错误；根据平均数的概念计算可得选项B正确；把数据从小到大排序，根据上四分位数的概念可得选项C正确；计算方差可得选项D正确.【详解】将这组数据从小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10.这组数据的极差为，故A错误.平均数为，故B正确.因为，所以上四分位数为，故C正确.方差为，故D正确.故选：BCD.10.已知平面内一动点到坐标原点的距离为1，以为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则（）A.存在唯一的圆，使得两点重合 B.C.若存在，则其不可能为等边三角形 D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由给定条件可得坐标原点与点之一重合，利用动圆与圆位置关系判断A；由圆上的点与定点距离最值判断B；求出最大值判断C；由余弦定理求解判断D.【详解】依题意，坐标原点与点之一重合，不妨设坐标原点为，圆的圆心，半径，对于A，当动圆与圆内切或外切时，均有两点重合，A错误；对于B，点在以为圆心、1为半径的圆上运动，，，B正确；对于C，，要使为等边三角形，则，而，当且仅当点共线时取等号，则不可能为等边三角形，C正确；对于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此时，，D正确．故选：BCD11.已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（）A.的最小值小于 B.的最大值小于C.的最小值大于 D.的最大值大于【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果【详解】对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质，另一条边与轴重合，如图所示，由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角.而由斜二测图性质，，过作的垂线，则，即，故的最小值小于，故正确；过作的垂线，易有，且，故，则的最大值大于，故B错误；对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则，即，其中，则最小值为，最大值为，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小正周期为_____.【答案】【解析】【分析】先根据辅助角公式进行化简，再根据周期公式即可求解.【详解】由题意可得，故的最小正周期为.故答案.13已知集合，若集合中有且只有一个元素，则________【答案】【解析】【分析】根据两个集合的描述，结合抛物线的性质判断参数取值对应点集情况，即可得答案.【详解】当时，表示抛物线的一部分；当时，为空集，因此当且仅当a=2时，集合表示一个点，有且只有一个元素.故答案为：14.把3个红球和33个白球随机排成一圈，则连续排列的白球个数不超过13个的概率是________【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得满足方程的解共有组，然后分，，，，讨论，逐一计算，即可得到结果.【详解】如图，位于红球之间的白球个数记为，故满足方程的解共有组，满足时解有以下情形：①若时，有，，共7种；同理，时，有7种；时，有7种，去掉重复的共有18种，②若时，有，共4种；同理，时，有4种；时，有4种，去掉重复的共有9种，③若，有，此时只有1种，④若，有，与前面重复，舍去，⑤若，有，与前面重复，舍去，⑥若，有，与前面重复，舍去，⑦若，有，与前面重复，舍去，⑧若，不存在，共有种，连续排列的白球个数不超过13个的概率是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解答本题的关键在于将问题转化为方程的正整数解问题，然后分类讨论求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知双曲线的离心率为2，右焦点到的一条渐近线的距离为为上不同的两点，且线段AB的中点为.（1）求的标准方程；（2）证明:直线AB的斜率存在且为定值，并求出该定值.【答案】（1）（2）证明见解析，定值2【解析】【分析】（1）根据离心率及点到直线距离列方程结合计算即可得出，即可求出标准方程；（2）应用点差法再结合斜率公式得出斜率的值即可证明.【小问1详解】由题意得，右焦点坐标为(c，0)，双曲线渐近线方程为，故，解得，又，故，故的标准方程为.【小问2详解】设，则，两式相减得若或，则AB的中点在坐标轴上，不满足，故且，即直线AB的斜率存在且不为0，此时，即，解得，故直线AB的斜率存在且为定值2.16.已知的内角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理即同角的三角函数关系得到，再由两角和的正弦展开式结合正弦定理化简即可；（2）由余弦定理结合一元二次方程求解即可；【小问1详解】由及正弦定理得.因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得.【小问2详解】因为，由余弦定理可得，整理得，即，解得或.因为，所以，即，故.17.如图，平行六面体的棱长均为，且AD的中点为.（1）证明:；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理的逆定理可得、，结合线面垂直的判定定理与性质可得，即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，根据余弦定理计算可得，进而求出坐标，利用空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】在中，由余弦定理可得:，所以，所以，同理可得，又因为平面平面所以平面，又平面，所以，依题意，有，所以；【小问2详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点作轴垂直于平面，建立如图所示空间直角坐标系.在中，由余弦定理得，所以，得，又，所以，由(1)可得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则有，即，取.则，所以二面角的余弦值为.18.已知首项为1的正项数列满足.（1）探究数列单调性；（2）证明：.【答案】（1）数列为递减数列，理由见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作差得到，设，利用导数证明出，然后结合指数函数单调性即可求解；（2）构造，，利用导数证明，令，得到，，由累乘和放缩法得到，故【小问1详解】数列为递减数列，理由如下：由题意可得，则，令函数，则，∴fx在上单调递减，则，令，则，，即数列为递减数列；【小问2详解】令函数，，令函数，则，当时，h′x<0，当x>0时，h故hx在单调递减，在0,+∞故，则，，，故在定义域上单调递增，，令，则，又，.当时，.即，又时，.所以.【点睛】关键点点睛：第二问，需要构造函数，求导得到其单调性，求出，令，得到，，由累乘和放缩法进行证明19.小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多.奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园.（1）若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果，小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且a=2.试比较:小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小;（2）证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等；（3）若初始有个橙子和个苹果，证明:第次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望是.(附:若随机变量服从两点分布，且，)【答案】（1）都是（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式计算两人第2次采到橙子的概率，比较即可；（2）证明第次采摘采摘到橙子的概率与第次采摘采摘到橙子的概率相等即可；（3）利用结合公