广东省部分重点高中2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题【含答案解析】

高二年级期中考试试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章6.4.3，第八章8.4至8.6，选择性必修第一册第一章至第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，，则直线的斜率为（）A. B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】由斜率公式计算．【详解】根据题意可得直线的斜率.故选：C．2.在正方体中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：B3.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得到结果.【详解】由题意可得直线的斜率为1，则直线的方程为，即.故选：D4.一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（）A.18海里 B.16海里 C.14海里 D.12海里【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果.【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示.依题意得海里，海里，.在中，由余弦定理得，所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里.故选：C.5.若方程表示一个圆，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.【详解】若方程表示一个圆，则，方程可化为，所以，解得，且不等于0，所以或.故选：D6.已知点在直线上，则的最小值为（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可；【详解】如图，设关于直线对称的点为，则解得，则，所以.故选：D.7.已知点，，，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据点线距离的向量法公式即可求解.【详解】,故点到直线的距离为,故选：B8.若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，结合点到直接的距离公式运算求解即可.【详解】圆的圆心为，半径，且圆心到直线的距离，由题意可知：，则，即，解得或，所以m的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆：的半径为2，则（）A.B.点在圆的外部C.圆与圆外切D.当直线平分圆的周长时，【答案】ABC【解析】【分析】由已知圆半径确定参数，判断A，由点与圆心的距离与半径的关系判断B，由圆心距与两圆半径和差关系判断C，由直线过圆心求得参数判断D．【详解】根据题意可得，所以，A正确.圆：，因为1−12+4−12>4，所以点1,4在圆的外部，B圆的圆心为，半径为8，因为，所以圆与圆外切，C正确.圆的圆心坐标为，半径为2，若直线平分圆的周长，则直线过点，则，得，D错误.故选：ABC．10.在空间直角坐标系中，已知，则（）A.为质数B.为直角三角形C.与所成角的正弦值为D.几何体的体积为【答案】BCD【解析】【分析】对于ABC：根据空间向量坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.【详解】对于选项A：因为，所以不是质数，A错误；对于选项B：因为，则，所以为直角三角形，B正确；对于选项C：因为，所以与所成角的正弦值为，C正确；对于选项D：根据已知6个点空间直角坐标可得几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.故选：BCD.11.“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（）A.若点，，则的值可能是B.若点，，则在轴上存在点，使得C.若点，，，则在线段上存在点，使得D.若点在圆上，点在直线上，则的值可能为【答案】BD【解析】【分析】根据曼哈顿距离的定义和绝对值三角不等式可判断出AB正误；通过讨论点与点是否重合的情况，可得恒成立，知C错误；通过实际例子可说明D正确.【详解】对于A，，不可能为，A错误；对于B，设，则，（当且仅当时取等号），，在轴上存在点，使得，B正确；对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，，直线斜率，，即，，；当点与点或点重合时，；恒成立，C错误；对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，此时，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查对于“曼哈顿距离”的理解与应用能力，解题关键是能够对定义进行充分理解，将所求问题转化为对于含绝对值的方程或者不等式的求解问题，进而可通过分类讨论或几何意义来进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线：与直线：平行，则______，的倾斜角为______.【答案】①.②.【解析】【分析】由斜率相等求得，注意检验是否满足题意，再由斜率求得倾斜角．【详解】根据题意可得，解得，经验证，符合题意，则斜率为1，故的倾斜角为.故答案为：；．13.若直线：与：相交于点，，则______.【答案】【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求解即可.【详解】因为圆心到的距离为，所以.故答案为：14.已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为________.【答案】144【解析】【分析】分析可知，结合圆柱的结合性质分析求解即可.【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故答案为：144.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，.（1）求；（2）求的值；（3）求的面积.【答案】（1）7；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题设可得，应用余弦定理求边长；（2）由正弦定理有，，即可求结果；（3）应用三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】由，得，因为，所以，根据余弦定理得.【小问2详解】根据正弦定理，得，则，，故.【小问3详解】的面积.16.已知圆：，直线过点.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若与圆相切，求的方程；（3）若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程.【答案】（1）或.（2）（3）或.【解析】【分析】（1）按直线过原点，不过原点分两类求解；（2）确定在圆上，轴，易得切线方程；（3）确定直线斜率存在，由直角三角形可得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程．【小问1详解】若经过原点，设方程为，由得，则的方程为.若不经过原点，则可设的方程为，因为过点，所以，解得，所以的方程为，即.故的方程为或.【小问2详解】由圆：，可得圆心，半径为2.因为点在圆上，轴，所以直线的方程为.【小问3详解】因为为直角三角形，且，所以，则圆心到的距离为.由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即.由，解得或，故的方程为或.17.如图，在三棱柱中，平面，，（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的的法向量，再利用空间向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以.因为，所以.在菱形中，.因为，所以平面.【小问2详解】如图，取的中点，连接，.取的中点.连接.因为平面，所以，易得为等边三角形.所以.因为，所以平面.以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，B1,0,0，，，.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.由（1）知平面的一个法向量为，因为，所以平面与平面的夹角为.18.如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点.（1）证明：平面PAB.（2）证明：.（3）试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；答案见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）作交于，利用几何关系在中，由余弦定理求出，再由勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理证明即可；（3）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和，代入空间线面角公式求解即可；【小问1详解】因为，所以，因为平面，平面，所以平面PAB【小问2详解】作交于，因为，所以，又，所以，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，即，所以，又E为AD的中点，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.【小问3详解】设存在，作交与，由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设直线CM与平面PBC所成角的为，则，解得，所以在线段PE上存在点，此时.19.若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.（1）求圆的标准方程.（2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.（i）求的方程.（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）直线过定点【解析】【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程；（2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可.【小问1详解】因为圆心在直线上，设，且点，均在圆上，则，可得，解得，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为.小问2详解】（i）因为，由题意可得：，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆，所以的方程为；（ⅱ）若直线l的斜率存在