2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE5课时作业2向量的加法运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．如图所示，在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于(A)A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(DB,\s\up6(→))C．eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(CB,\s\up6(→))解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BC,\s\up6(→)).故选A．2．(多选)如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是(ACD)A．eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))B．eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\o(CG,\s\up6(→))＝－2eq\o(FG,\s\up6(→))解析：由题意可知G为△ABC的重心，由三角形重心的性质可知eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(GA,\s\up6(→))明显成立，故B错误．选项A，C，D都成立．3．若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a＋b表示(A)A．向东南走eq\r(2)km B．向东南走2kmC．向东北走eq\r(2)km D．向东北走2km解析：如图所示，a＋b表示向东南方向走eq\r(2)km.故选A．4．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中结果为0的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B．5．在平行四边形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是(B)A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定解析：依题意，平行四边形ABCD中，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，则平行四边形ABCD的两条对角线相等．故四边形ABCD为矩形．故选B．6．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(A)A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是共线向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可解析：当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD中：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).8．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.解析：由题知△ABD为等边三角形，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.9．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为[0,2]，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．三、解答题10.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))，而由题知eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).11．长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点动身，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．解：(1)如图所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2km/h，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5km/h，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋52)＝eq\r(29)km/h.因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°.所以船实际航行速度的大小为eq\r(29)km/h，方向与水速间的夹角约为68°.——实力提升类——12．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于(B)A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)解析：由正六边形知eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.故选B．13．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝3eq\r(3).解析：如图，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3，∴平行四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2).∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).14．已知△ABC是正三角形，给出下列等式：①|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|；②|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|；③|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|；④|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|.其中正确的有①③④.(写出全部正确等式的序号)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，而|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，故①正确；|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，故②不正确；画图(图略)可知③正确；|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|，故④正确．15.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.证明：由题意知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).由平面几何可知：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up