2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.2数据的数字特征学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE8-5.1.2数据的数字特征素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用．2．会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题．1.通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养．2．通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养．必备学问·探新知学问点最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的状况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．学问点平均数1．定义：假如给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．这一公式在数学中常简记为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i．2．求和符号∑具有的性质(1)eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．(3)eq\i\su(i＝1,n,t)＝nt．3．假如x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是aeq\o(x,\s\up6(－))＋B．思索1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符号∑表示？(2)如何证明eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i?提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝eq\i\su(i＝5,15,x)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．学问点中位数1．假如一组数有奇数个数，并依据从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数．2．假如一组数有偶数个数，且依据从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq\f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．学问点百分位数1．定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满意下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．2．计算方法：设一组数依据从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，假如i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；假如i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．思索2：中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数．学问点众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．学问点极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．学问点方差与标准差(1)假如x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，方差的算术平方根称为标准差．(2)假如x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．思索2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．关键实力·攻重难题型探究题型最值、平均数、众数的确定┃┃典例剖析__■典例1某公司员工的月工资状况如表所示：月工资/元80005000400020001000800700员工/人125820122(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？[解析](1)该公司员工月工资的最大值为8000元，最小值为700元，众数为1000元．平均数为eq\f(1,50)(8000×1＋5000×2＋4000×5＋2000×8＋1000×20＋800×12＋700×2)＝1700(元)．(2)用众数，因为最大值为8000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．规律方法：1.把数据从小到大排列，依据定义即可确定最值和众数．2．平均数的求法(1)用定义式；(2)用平均数的性质；(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为eq\f(1,n)(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝eq\f(n1,n)x1＋eq\f(n2,n)x2＋…＋eq\f(nk,n)xk．┃┃对点训练__■1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成果统计如下：分数5060708090100人数甲班161211155乙班351531311选用平均数与众数评估这两个班的成果．[解析]甲班平均数为eq\f(1,50)(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，乙班平均数为eq\f(1,50)(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，从平均分看成果较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成果较好的是甲班．题型中位数、百分位数的计算┃┃典例剖析__■典例2(1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场竞赛中的得分状况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．[解析](1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5．(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，因此，甲运动员得分的25%分位数为eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(20＋25,2)＝22.5，甲运动员得分的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(37＋39,2)＝38，甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．乙运动员得分的25%分位数为eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(14＋16,2)＝15，乙运动员得分的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(31＋38,2)＝34.5，乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．规律方法：1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小依次排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．2．求百分位数的一般步骤(1)排序：依据从小到大排列：x1，x2，…，xn．(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：分数p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数eq\f(xi＋xi＋1,2)┃┃对点训练__■2．确定数据0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数．[解析]因为数据已从小到大排列，共有20个．而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，i2＝20×75%＝15是整数，因此，此数据的28%分位数为x6＝1,75%分位数为eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(10＋14,2)＝12．题型极差、方差、标准差的计算┃┃典例剖析__■典例3已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求极差；(2)求方差；(3)求标准差．[解析](1)最大值为6，最小值为2，极差为4．(2)可将数据整理为x23456频数34562每一个数都减去4可得x－4－2－1012频数34562这组数的平均数与方差分别为eq\f(1,20)×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，eq\f(1,20)×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝eq\f(3,2)．因此，所求平均值为4，方差为eq\f(3,2)．(3)由(2)知标准差为eq\f(\r(6),2)．规律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，或s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2．(2)用性质．(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2．┃┃对点训练__■3．(1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(A)A．6 B．eq\r(6)C．66 D．6.5(2)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(C)A．8 B．15C．16 D．32[解析](1)因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)(61＋x)＝6，所以x＝5．方差为s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6．(2)样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则而样本数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16．题型分层抽样的方差┃┃典例剖析__■典例4甲、乙两班学生参与了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成果为80.5分，方差为500；乙班的平均成果为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成果和方差分别是多少？[解析]设甲班50名学生的成果分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成果和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(a1＋a2＋…＋a50,50)＝80.5(分)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(a1－\o(x,\s\up6(－))甲2＋a2－\o(x,\s\up6(－))甲2＋…＋a50－\o(x,\s\up6(－))甲2,50)＝500．设乙班40名学生的成果分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成果和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(b1＋b2＋…＋b40,40)＝85(分)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(b1－\o(x,\s\up6(－))乙2＋b2－\o(x,\s\up6(－))乙2＋…＋b40－\o(x,\s\up6(－))乙2,40)＝360．假如不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成果、方差及甲、乙两班的人数，那么依据前面的分析，全部90名学生的平均成果应为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50\o(x,\s\up6(－))甲＋40\o(x,\s\up6(－))乙,50＋40)＝eq\f(50×80.5＋40×85,90)＝82.5(分)，方差s2＝eq\f(50[s\o\al(2,甲)＋\o(x,\s\up6(－))甲－\o(x,\s\up6(－))2]＋40[s\o\al(2,乙)＋\o(x,\s\up6(－))乙－\o(x,\s\up6(－))2],50＋40)＝eq\f(50×[500＋80.5－82.52]＋40×[360＋85－82.52],90)＝eq\f(50×500＋50×4＋40×360＋40×6.25,90)≈442.78．规律方法：若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；其次层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2，则样本的均值为eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，方差为eq\f(m[s2＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋n[t2＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],m＋n)．┃┃对点训练__■4．在考察某中学学生身高时，采纳分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名