2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-第一章常用逻辑用语世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王．他颁布了一条惊奇的法律：每一个到达这个岛的人都必需回答一个问题：“你到这里来做什么？”假如回答对了，就允许他在岛上游玩，而假如答错了，就要把他绞死．对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架．有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他按例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的．”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？假如应当让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话．既然他说错了，就应当被处绞刑．但假如桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应当让他在岛上玩．小岛的国王发觉，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏．他思索一再，最终让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废.1.1命题及其关系1.1.1命题自主预习·探新知情景引入闻名的“理发师悖论”是伯特纳德·罗素提出的：一个理发师的招牌上写着：“城里全部不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸．”日常生活中也常常出现类似的逻辑错误，因此逻辑用语的学习是很有必要的．我们接下来就从命题起先学习.新知导学1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__推断真假__的陈述句叫做命题．2．推断为真的语句叫__真命题__，推断为假的语句叫__假命题__.3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不肯定都是定理，因为命题有__真假__之分，而定理是__真__命题．4．命题常写成“__若p，则q__”的形式，其中命题中的p叫做命题的__条件__，q叫做命题的__结论__.预习自测1．下列语句不是命题的是(A)A．今日的天真蓝呀！B．100101是整数C．方程9x2－1＝0的解是x＝eq\f(1,3)D．2024年10月1日是中华人民共和国成立70周年的日子[解析]依据命题的定义知，选项A不是命题．2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是(B)A．不是命题 B．真命题C．假命题 D．不能推断真假[解析]a>b⇒a＋c>b＋c成立，故选B．3．由命题“能被6整除的整数，肯定能被3整除”改写的等价命题是(B)A．若一个数不能被6整除，则这个数不肯定能被3整除B．若一个数能被6整除，则这个数肯定能能被3整除C．若一个数能被6整除，则这个数不肯定能被3整除D．若一个数不能被6整除，则这个数肯定能被3整除[解析]由命题“能被6整除的整数，肯定能被3整除”改写为“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则这个数肯定能被3整除，故选B．4．命题“其次象限角的余弦值小于0”的条件是(C)A．余弦值 B．其次象限C．一个角是其次象限角 D．没有条件[解析]命题可改写为：若一个角是其次象限角，则它的余弦值小于0，故选C．5．下列语句中是命题的有__①④__.(填序号)①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22020是一个很大的数；④若两个平面平行，则这两个平面无公共点．[解析]②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明究竟多大，不能推断真假，不是命题．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶命题概念的理解典例1推断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：eq\r(3)是无理数；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的学生吗？(4)并非全部的人都喜爱苹果．[思路分析]由题目可获得以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．[解析](1)是祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以推断为真，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，可以推断为真．人群中有的人喜爱苹果，也存在着不喜爱苹果的人．『规律方法』判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：1．必需是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．2．其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非全部的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比方、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．┃┃跟踪练习1__■推断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cosx是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．[解析](1)是命题，满意指数函数的定义．(2)不是命题，不能推断真假．(3)不是命题，是疑问句．(4)是命题．符合命题的定义．命题方向❷命题真假的推断典例2推断下列命题的真假：(1)形如a＋eq\r(2)b的数是无理数；(2)负项等差数列的公差小于零；(3)关于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．[思路分析]运用数学中的定义、定理、公理、公式等学问进行推断．[解析](1)假命题．如当a＝1，b＝eq\r(2)时，a＋eq\r(2)b是有理数．(2)假命题．如数列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2.(3)假命题．关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有惟一解，所以是假命题．『规律方法』1.命题真假的判定方法真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以依据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行推断．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．2．一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行推断时，要留意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．3．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满意．┃┃跟踪练习2__■给出下列命题：①函数y＝sinx的最小正周期是π；②函数y＝2x3是指数函数；③一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点坐标为(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是偶函数，也是增函数．其中假命题的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函数y＝sinx的最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命题；易知②是假命题；令x＋1＝0，得x＝－1，所以一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点坐标为(－1,0)，所以③是真命题；f(x)＝x2在R上是偶函数，但不是增函数，所以④是假命题．故假命题的个数为3，故选C．命题方向❸命题结构分析典例3指出下列命题的条件与结论．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[思路分析]由题目可获得以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．解答本题的关键是正确变更命题的表述形式．[解析](1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．条件为：“一个四边形是正方形”；结论为：“这个四边形的四条边相等”．『规律方法』1.数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当变更，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在探讨命题时，不要受其形式的影响．2．“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简洁命题．3．并非全部的命题都可写成“若p，则q”型，如“eq\f(1,3)是有理数”，“5>3”．┃┃跟踪练习3__■把下列命题表示为“若p，则q”的形式，并推断真假．(1)相像三角形的面积相等；(2)平行于同一个平面的两平面平行；(3)正弦函数是周期函数．[解析](1)若两个三角形相像，则它们的面积相等．假命题．(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行．真命题．(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数．真命题．学科核心素养命题的真假与其他学问的综合应用命题的概念中有两个要点：①陈述句；②可以推断真假．利用这两点可借助于函数的奇偶性、单调性、对称关系来解决一些开放性问题．典例4把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x(x>0)的图象与g(x)的图象关于__x轴__对称，则函数g(x)＝__－3－log2x(x>0)__.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑全部可能的情形)[思路分析]本题答案不惟一．空中可以依次填入x轴，－3－log2x(x>0)．[解析]若函数f(x)与g(x)的图象关于x轴对称，则可将函数y＝f(x)＝3＋log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代换，得－y＝3＋logx(x>0)，所以g(x)＝－3－log2x(x>0)．『规律总结』解答此类题目，首先要审清题意，弄明白求什么，然后依据所学学问选择合适的答案．┃┃跟踪练习4__■已知p：5x－1>a，q：x>1，请选择适当的实数a，若命题“若p，则q”为真命题，则a的取值范围为__[4，＋∞)__.[解析]命题“若p，则q”为“若x>eq\f(1＋a,5)，则x>1”，由命题