北京市2020年高中数学合格性考试模拟试卷及答案

第10页共10页2020年北京市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷考生须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，个小题（共19分）。3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用铅笔。4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1．若集合，，则()A．B．C．D．2．已知向量，，则等于()A．B．C.D.3．经过点(3，a)，(－2,0)的直线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a的值为()A.eq\f(5,2)B.eq\f(2,5)C.10D．－104．下列函数中是偶函数的是()A．y＝x－2B．y＝|3－x|C．y＝x2＋2，x∈(－3,3]D．5．的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)6．一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是()A．放回抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．系统抽样法7.直线l经过(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为()A．x＋2y＋6＝0 B．x－2y－6＝0C．2x－y＋6＝0 D．2x－y－6＝08.在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝()A.eq\o(AB,\s\up15(→))B.eq\o(BC,\s\up15(→))C.eq\o(CD,\s\up15(→))D.eq\o(BA,\s\up15(→))9.21－eq\s\up8(eq\f(1,2))log23的值等于()A.eq\f(2,3) B．2eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D．210.函数y＝x－2在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值为()A.eq\f(1,4) B．－1C．4 D．－411.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为()A．60% B．30%C．10% D．50%12.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，则a2＋a·b＝()A．10 B.eq\r(10)C．7 D.4913.已知三角形的边长分别为4,5，eq\r(61)，则它的最大内角的度数为()A．150°B．120°C．135° D．90°14.若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2 B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0 D．－2或015.面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ16.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.165f(1.40625)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.517.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20π,3)))的值为()A.eq\f(－\r(3)＋1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(－\r(3)－1,2)18.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是eq\f(π,2)，直线x＝eq\f(π,3)是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是()A．y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2 D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋219.函数的最大值为()A．3 B．4C．5 D．620.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β21.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)22.已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))的值为()A.eq\f(5\r(2),13) B.eq\f(7\r(2),13)C.eq\f(17\r(2),26) D.eq\f(7\r(2),26)23．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，如果acosB＝bcosA，那么△ABC一定是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形24.如图所示的是某种植物蔓延的面积y(m2)与时间x(月)的关系：y＝ax，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30m2；③植物蔓延从4m2到12m2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＝xA．①② B．①②⑤C．①②③④ D．②③④⑤25.如图，正方体的棱长为1，那么三棱锥的体积为（）A．B．C．D．26．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a-b)·b＝0，则<a,b>为()A．30° B．60°C．120° D．150°27.A、B、C三家销售同一型号的定价为a万元的汽车。年底进行促销活动，A连续两次降价20%，B一次性降价40%，C第一次降价30%，第二次降价10%，这种汽车最便宜的是（）．A．甲 B．乙C．丙 D．乙或丙第二部分解答题（共19分）28．（本小题满分5分）已知函数．（I）求的值和函数的最小正周期；（II）求函数的单调递减区间．该同学解答过程如下：解：（I）=－１；所以最小正周期（II）由得所以函数的单调递减区间是下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.29．（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在处填写适当的内容.如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDD1B1；(Ⅱ)求证：AC∥平面B1DE.解答：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，所以①.因为BB1⊥底面ABCD，又因为平面ABCD，所以②因为BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BDD1B1.(Ⅱ)设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，所以③，且OF＝eq\f(1,2)BB1.又E是侧棱CC1的中点，所以EC＝eq\f(1,2)CC1.又因为BB1∥CC1，BB1＝CC1，所以OF∥CC1，且OF＝eq\f(1,2)CC1.所以四边形OCEF为平行四边形，所以④又AC⊄平面B1DE，EF⊂平面B1DE，所以AC∥平面B1DE.上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线垂直”，再证“线面垂直”；第（Ⅱ）问的证明思路是先证⑤，再证“线面平行”.30．（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l过原点，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.直线l与圆C交于点E、F，|EF|＝.求直线l的方程．”该同学解答过程如下：解答：设直线因为圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.所以圆C的圆心C(2，－3)，r＝3.因为直线l与圆C交于点E、F，|EF|＝.设圆心C到直线距离为d所以所以解得所以直线l的方程为.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.31．（本小题满分4分）某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需确定一个合适的票价，票价需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x(元)表示每张票价，用y(元)表示该影院放映一场电影的净收入(除去成本费用支出后的收入)．在符合基本条件的前提下，票价最少定为多少元时，才能使放映一场的净收入大于等于8250元．2020年北京市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷答案题号12345678910答案ABDDADCCCC题号11121314151617181920答案DCBCBCDDBC题号21222324252627答案ADDBCBB28.的正弦、余弦、正切的诱导公式；三角函数的周期性；正弦函数、余弦函数在区间上的性质；两角差的正弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式……5分29.①AC⊥BD.②BB1⊥AC.③OF∥BB1④OC∥EF.⑤线线平行（每空1分，共5分）30.解答：设直线不对…………..1分设直线因为圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.所以圆C的圆心C(2，－3)，r＝3.因为直线l与圆C交于点E、F，|EF|＝.设圆心C到直线距离为d所以所以解得所以直线l的方程为或.…………..5分31.解：∵电影院共有1000个座位，放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴1000x>5750，即x＞5.75，又x∈N*，∴票价最低为6元．当票价不超过10元时，y＝1000x－5750(6≤x≤10，x∈N*)．当票价高于10元时，y＝x[1000－30(x－10)]－5750＝－30x2＋1300x－5750，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000－30（x－10）>0，,－30x2＋1300x－5750>0，))解得5＜x＜38eq\f(1,3)，∴y＝－30x2＋1300x－5750(10＜x≤38，x∈N*)．∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co