数学章末测试：第二章数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章测评(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等比数列｛an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为（)A．4B．eq\f（3,2）C．eq\f（16,9）D．22．下列可作为数列{an}:1，2，1，2，1，2,…的通项公式的是（）A．an＝1B．an＝eq\f(（－1)n＋1，2)C．an＝2－eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（sin\f(nπ，2）)）D．an＝eq\f（（－1）n－1＋3，2)3．数列｛an}的首项为3，{bn}为等差数列,且bn＝an＋1－an（n∈N＋）．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(）A．0B．3C．8D．114．已知在等比数列{an｝中，an〉0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20a50a80的值为（）A．32B．64C．256D．±645．等差数列｛an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于（)A．12B．18C．24D．426．已知数列｛an｝的通项公式为an＝3n－17，则其前n项和Sn在n为________时取得最小值(）A．4B．5C．6D．77．计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机价格降低eq\f(1,3)，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为（）A．2200元B．900元C．2400元D．3600元8．在数列{an}中，对任意自然数n,a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al（2，2）＋…＋aeq\o\al（2,n）等于(）A．(2n－1）2B．eq\f（1,3)(2n－1）2C．4n－1D．eq\f(1,3)(4n－1）9．已知在数列{an｝中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋eq\f(1，an－2）(n≥3），则a5的值为（）A．eq\f（55，12)B．eq\f（13,3)C．4D．510．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列,则｛an｝的前n项和Sn等于（）A．eq\f（n2,4）＋eq\f(7n,4）B．eq\f(n2，3）＋eq\f(5n，3）C．eq\f（n2,2)＋eq\f(3n,4）D．n2＋n二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2,则其前n项和Sn＝________．12．若等比数列｛an｝的前n项和为Sn，a2＝6，S3＝21,则公比q＝__________．13．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升．15．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行的第3个数（从左向右数）是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q;(2）若a1－a3＝3，求Sn．17．(本小题满分15分）(2013·陕西高考,文17）设Sn表示数列｛an｝的前n项和．(1）若｛an｝是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0,且对所有正整数n,有Sn＝eq\f(1－qn,1－q)．判断｛an}是否为等比数列，并证明你的结论．参考答案一、选择题1．解析:在等比数列{an｝中，a3，a6，a9成等比数列，aeq\o\al（2,6)＝a3·a9，∴a3＝4．答案：A2．解析：由an＝2－eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（sin\f(nπ,2））)可得a1＝1，a2＝2，a3＝1,a4＝2，…．答案：C3．解析：由｛bn}为等差数列,设其公差为d，则d＝eq\f（b10－b3，10－3）＝eq\f（12－(－2),7)＝2．故bn＝b3＋(n－3)×2＝－2＋2n－6＝2n－8．又bn＝an＋1－an，∴an＋1－an＝2n－8．∴a2－a1＝－6，a3－a2＝－4,…a8－a7＝2×7－8＝6,∴a8－a1＝－6＋(－4)＋…＋6＝eq\f（（－6＋6）×7,2）＝0．∴a8＝a1＝3．答案:B4．解析：由韦达定理，得a1·a99＝16．而a1·a99＝a20·a80＝aeq\o\al(2，50）＝16,且an〉0，∴a50＝4，a20·a80＝16．∴a20·a50·a80＝4×16＝64．答案：B5．解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，∴S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2）＝S2＋(S6－S4），整理得S6＝3S4－3S2＝3×10－3×2＝24．答案：C6．解析：由通项公式an＝3n－17可知｛an｝是以3为公差，－14为首项的等差数列，则Sn＝－14n＋eq\f（n(n－1)，2）×3＝eq\f(3，2）n2－eq\f(31,2）n,所以当n＝5时,Sn取得最小值．答案：B7．解析:15年后价格降低了3次,则8100×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3)))3＝2400．答案:C8．解析:当n≥2时，a1＋a2＋…＋an＝2n－1①，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1②，①－②得an＝2n－1．当n＝1时，a1＝1．∴an＝2n－1(n∈N＋）．∴aeq\o\al（2,n）＝(2n－1）2＝4n－1，即{aeq\o\al（2，n）｝是以aeq\o\al(2,1)＝1为首项，4为公比的等比数列．∴Sn＝eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(1,3)（4n－1）．答案：D9．解析：由题意,得a3＝a2＋eq\f(1,a1)＝4，a4＝a3＋eq\f(1，a2）＝4＋eq\f（1，3）＝eq\f（13，3）,a5＝a4＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,3）＋eq\f（1，4）＝eq\f(55，12)．答案：A10．解析：设其公差为d(d≠0)，∵a1，a3，a6成等比数列，∴aeq\o\al（2,3）＝a1·a6，即（a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)．又∵d≠0，∴d＝eq\f（1,2）．∴Sn＝na1＋eq\f(n(n－1）d,2）＝2n＋eq\f（n(n－1),2)·eq\f(1,2）＝eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4）．答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中的横线上)11．解析:∵an＝－5n＋2，∴{an}为等差数列,且公差d＝－5，首项a1＝－3，∴Sn＝eq\f(n(－3－5n＋2)，2)＝－eq\f(n(5n＋1),2）．答案:－eq\f（n(5n＋1)，2)12．解析:本题是等比数列问题，常用方法是以a1和q为未知数建立方程组，解出a1和q，由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1q＝6，，a1＋a1q2＝15,）)解得q＝2或eq\f（1，2）．答案:2或eq\f（1，2)13．解析:∵S12＝21,∴eq\f(12(a1＋a12)，2)＝21,解得a1＋a12＝eq\f(7，2)，∴a2＋a5＋a8＋a11＝2(a1＋a12）＝2×eq\f(7,2)＝7．答案：714．解析:设最上面一节的容积为a1，容积依次增大d，由题意,知4a1＋6d＝3和3a1＋21d＝4，可求得a1＝eq\f（13，22)，d＝eq\f(7，66),故a5＝eq\f（67,66）．答案：eq\f(67，66）15．解析：该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数，…，第n行有n个数,则第n－1（n≥3)行的最后一个数为eq\f(（n－1)（1＋n－1)，2)＝eq\f(n2，2）－eq\f(n,2）,则第n行的第3个数为eq\f（n2,2)－eq\f（n，2）＋3（n≥3）．答案：eq\f(n2,2）－eq\f（n，2）＋3（n≥3）三、解答题（本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．分析：将Sn表示成a1和q的表达式，从而求解．解：(1）依题意，有a1＋(a1＋a1q）＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0．又q≠0，从而q＝－eq\f(1，2)．（2）由（1）可得a1－a1eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)))2＝3，故a1＝4．从而Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2))）n)),1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)))）＝eq\f（8,3）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)))n))．17．解：（1）解法一：设{an｝的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1）d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－（n－1)d］，∴2Sn＝n(a1＋an），∴Sn＝eq\f(n（a1＋an），2）．解法二：设｛an｝的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d）＋…＋[a1＋（n－1)d］，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋（n－1)d］＋[a1＋（n－2）d］＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋（n－1）d］＋[2a1＋（n－1)d