数学课堂探究：向量数量积的物理背景与定义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一与数量积有关命题的判断两向量方向相同时,夹角为0(或0°）;而反向时，夹角为π（或180°)；两向量垂直时，夹角为（或90°)，因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．【例1】已知a，b,c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为(）①｜a·b|＝｜a|·|b|⇔a∥b；②a,b反向⇔a·b＝－｜a|·｜b|；③a⊥b⇔|a＋b｜＝|a－b|；④|a|＝|b｜⇔|a·c|＝|b·c｜．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为a·b＝|a｜·｜b|·cosθ，所以由|a·b|＝|a|·｜b｜及a，b为非零向量可得｜cosθ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题;②中若a，b反向,则a,b的夹角为π，所以a·b＝|a|·|b｜cosπ＝－|a|·｜b|，且以上各步均可逆,故命题②是真命题；③中当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜a＋b｜＝｜a－b|．反过来，若｜a＋b｜＝|a－b｜,则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题;④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c｜,反过来由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝|b｜．故命题④是假命题．答案：C探究二求向量的正射影或数量积向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负,也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角．因此在正确理解正射影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意“共起点"这一前提条件．【例2】如图所示，在▱ABCD中，|｜＝4，|｜＝3，∠DAB＝60°，求：(1)·；（2)·；(3)·；（4)在方向上的正射影．解：(1)因为∥，且方向相同,所以与的夹角是0°,所以·＝|||｜cos0°＝3×3×1＝9．(2）因为∥，且方向相反,所以与的夹角是180°，所以·＝|｜||cos180°＝4×4×(－1）＝－16．（3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝|｜｜｜cos120°＝4×3×＝－6．（4)因为与的夹角为60°,而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||cos120°＝4×＝－2．反思两向量夹角的范围是［0°，180°］，当两向量平行时,夹角可能为0°(同向时)或180°（反向时）．若与的夹角为θ,则与的夹角是180°－θ．探究三向量数量积的性质求向量的夹角应用数量积的变形公式cosθ＝，一般要求两个整体a·b，｜a|｜b｜,不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出．【例3】已知a，b是两个非零向量．(1)若|a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a｜＝｜b｜＝｜a－b｜,求a与a＋b的夹角．分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解．解:（1)因为a·b＝｜a｜｜b｜cos<a，b〉，所以|a·b|＝|｜a|｜b｜cos〈a，b〉|＝｜a|｜b||cos〈a，b〉｜＝6．又｜a｜＝3，｜b｜＝4，所以|cos〈a，b〉｜＝＝＝,所以cos<a，b〉＝±．因为〈a，b〉∈［0，π］，所以a与b的夹角为或．(2）如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b,以,为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b,＝a－b，由于|a｜＝|b|＝|a－b｜,即||＝｜｜＝|｜，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为．探究四易错辨析易错点:因未分清夹角而致误【例4】已知平面上三点A，B，C满足||＝6，||＝8,||＝10,则·＋·＋·的值等于()A．100B．96C．－100D．－96错解：由题意知AB⊥BC，·＋·＋·＝0＋8