数学课堂探究：向量的概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一有关向量概念的问题解有关向量的基本概念的题,首先,要清楚向量的两要素:大小和方向；其次，要对共线向量、相等向量、零向量有深入的理解,分别掌握它们的特征,共线向量又称平行向量,前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任一向量平行；相等向量是两向量大小相等且方向相同;零向量的大小为零，它的方向是任意的．【例1】给出下列六个命题:①两个向量相等，则它们的起点相同,终点相同;②若|a|＝｜b｜，则a＝b；③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有＝;⑤若m＝n，n＝k，则m＝k;⑥若a∥b，b∥c，则a∥c．其中不正确的命题的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等,却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A,B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0,则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．答案:C反思对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系;零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．探究二向量的表示(1）准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．（2)画图时可以按比例画图，要注意题中是否规定有向线段的始点和终点．【例2】一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．(1）作出向量，，；(2)求｜｜．解：（1)如图所示．(2）由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．又因为|｜＝||，所以在四边形ABCD中,AB綉CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以｜|＝｜｜＝200（千米)．探究三相等向量和共线向量向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．(1）找出与向量相等的向量;(2)找出与向量共线的向量．解:(1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和．(2)由图可得：,，与方向相同，,，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，,，，．警示误区找一个向量的共线向量时，易忽视找出与其方向相反的向量，尤其是与本身方向相反的向量，如本题中易把漏掉．探究四易错辨析易错点：因忽视与本身相反的向量而致错【例4】如右图，A1，A2,…,A8是⊙O上8个等分点,则在以A1,A2，…，A8及圆心O9个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？错解:（1)模等于半径的有（i＝1，2，3,…，8）共8个．(2）模等于半径倍的向量为正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的边共8个．错因分析：忽略了向量的方向．正解：（1)模等于半径的向量只有两类：一类是（i＝1，2，…，8)共8个，另一类是(i＝1，2，…，8)也有8个，两类合计16个．(2)以A1,A2,…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7,另一个正方