数学课堂探究：三角函数的定义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一三角函数的定义利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：（1)若已知角α终边上有一不同于坐标原点的任意一点P(x，y），则首先求r＝，则sinα＝，cosα＝,tanα＝；（2)若已知角α终边所在的位置,只需从终边上取点P（不同于坐标原点)，利用三角函数的定义求值；（3）若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．【例1】已知角α的终边经过点P(－4a，3a)（a≠0)，求sinα,cosα，tanα的值．解：r＝＝5|a|．若a〉0，则r＝5a，角α在第二象限，则sinα＝＝＝,cosα＝＝＝－,tanα＝＝＝－；若a〈0，则r＝－5a，角α在第四象限,则sinα＝－，cosα＝，tanα＝－．反思当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．【例2】已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求10sinα＋3secα的值．分析：先确定角α终边上一个点（不同于坐标原点)的坐标，然后利用三角函数的定义求得sinα，secα的值，进而求出代数式的值．解：因为角α的终边落在直线y＝－3x上，所以角α的终边可能落在第二象限或第四象限．若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1,3）,所以r＝＝．所以sinα＝＝,secα＝＝－，所以10sinα＋3secα＝10×＋3×（－)＝0．若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)，所以r＝＝．所以sinα＝－，secα＝＝．所以10sinα＋3secα＝10×＋3×＝0．综上所述，10sinα＋3secα＝0．反思要正确理解角的终边在直线上的意义,因为角的终边是射线，所以可能出现两种情况，解题时要注意分类讨论．探究二判断三角函数值的符号三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．【例3】判断下列三角函数值的符号．（1)（θ为第二象限的角)；(2)sin3·cos4·tan5·cot6．分析:确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号,则需要观察构成该式子的结构特点及每部分的符号．解：(1)因为θ是第二象限的角,所以sinθ＞0，cosθ＜0．故<0．(2）因为<3〈π，π〈4〈,<5<6〈2π,所以sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，cot6＜0．所以sin3·cos4·tan5·cot6＜0．反思这里的sin3就是“sin3（rad）”，将弧度符号省略了．在第(1）小题中解题的关键是分别判断出sinθ,cosθ的符号．【例4】函数y＝＋的值域是__________．解析：当x为第一象限的角时，sinx〉0，cosx>0，所以y＝＋＝1＋1＝2；当x为第二象限的角时,sinx>0，cosx<0，所以y＝＋＝1－1＝0；当x为第三象限的角时，sinx〈0，cosx<0，所以y＝＋＝－1－1＝－2；当x为第四象限的角时，sinx〈0，cosx〉0,所以y＝＋＝－1＋1＝0．所以y＝＋的值域是{－2,0,2}．答案：｛－2，0,2}探究三三角函数的定义域1．求一个函数的定义域就是要找出使这个函数有意义的x取值的集合；2．将三角函数符号后的整体看做一个角,从而化为一个角的三角函数,这种整体的化归思想在今后的学习中经常用到,要注意理解与应用．【例5】求下列函数的定义域：（1)y＝；(2)y＝＋．分析：本题主要考查三角函数的定义域以及定义域的求法，应考虑到分式中分母不等于零、偶次根式有意义等条件，还要注意使tanx有意义，解不等式组即可．解:(1）要使函数有意义，须tanx≠0,所以x≠kπ(k∈Z)，且x≠kπ＋eq\f（π,2）（k∈Z)．所以x≠(k∈Z)．所以函数的定义域是．（2）若函数有意义,则得解之得2kπ＋≤x≤