数学课堂探究：复数的加法与减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一复数的加法与减法运算1．复数的加减运算类比实数的加减运算，若有括号,括号优先；若无括号,可从左到右依次进行．2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数,再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．3．准确提取虚、实部,正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．【典型例题1】计算下列各式：(1)(13－5i）＋(－3＋4i）；(2)（－3＋2i)－（4－5i）；（3)（10－9i）＋（－8＋7i)－(3＋3i）;(4）（1－2i）－(2－3i)＋（3－4i)－(4－5i)＋…＋（2013－2014i）－(2014－2015i）．思路分析:根据复数加法、减法的运算法则进行计算．解:(1）（13－5i)＋（－3＋4i）＝（13－3)＋（－5＋4）i＝10－i；（2)(－3＋2i)－(4－5i)＝（－3－4)＋（2＋5）i＝－7＋7i；(3）（10－9i)＋（－8＋7i）－（3＋3i）＝(10－8－3)＋（－9＋7－3）i＝－1－5i;(4）原式＝（1－2＋3－4＋…＋2013－2014）＋（－2＋3－4＋5－…－2014＋2015）i＝－1007＋1007i.探究二复数加减运算的几何意义1．复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算．2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题,利用向量的方法解决复数问题．3．在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；（2)若|z1＋z2｜＝｜z1－z2|，则四边形OACB为矩形；（3）若｜z1|＝｜z2｜，则四边形OACB为菱形；（4）若|z1|＝｜z2｜且｜z1＋z2｜＝|z1－z2｜，则四边形OACB为正方形．【典型例题2】已知平行四边形ABCD中,eq\o(AB，\s\up6(→))与eq\o（AC,\s\up6（→））对应的复数分别是3＋2i与1＋4i,两对角线AC与BD相交于O点．(1）求eq\o(AD，\s\up6（→）)对应的复数；（2）求eq\o（DB,\s\up6(→））对应的复数;（3）求△AOB的面积．思路分析：由复数加法、减法运算的几何意义可直接求得eq\o(AD,\s\up6(→)），eq\o（DB,\s\up6（→）)对应的复数，先求出向量eq\o（OA,\s\up6（→）)，eq\o(OB,\s\up6(→）)对应的复数，通过平面向量的数量积求△AOB的面积．解：（1)由于ABCD是平行四边形，所以eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)），于是eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\o(AB，\s\up6(→）)，而(1＋4i）－(3＋2i）＝－2＋2i，即eq\o（AD，\s\up6（→)）对应的复数是－2＋2i。（2)由于eq\o（DB，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6（→））,而（3＋2i)－（－2＋2i)＝5，即eq\o（DB,\s\up6（→）)对应的复数是5。(3)由于eq\o（OA,\s\up6(→))＝eq\f（1,2)eq\o（CA，\s\up6(→))＝－eq\f（1，2)eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）),eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\f(1，2)eq\o（DB，\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)，0）)，即eq\o（OA,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）)，eq\o（OB,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,2），0))，于是eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（OB，\s\up6(→）)＝－eq\f(5,4),而|eq\o（OA,\s\up6（→))|＝eq\f（\r(17），2），｜eq\o(OB，\s\up6（→）)｜＝eq\f(5，2)，所以eq\f(\r(17)，2）·eq\f（5，2)·cos∠AOB＝－eq\f（5，4),因此cos∠AOB＝－eq\f（\r(17),17），故sin∠AOB＝eq\f(4\r(17),17),故S△AOB＝eq\f（1，2）｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜｜eq\o(OB,\s\up6（→))|sin∠AOB＝eq\f(1,2）×eq\f(\r(17)，2)×eq\f（5，2）×eq\f（4\r（17），17）＝eq\f(5,2)，即△AOB面积为eq\f（5，2）。探究三复数加减运算的综合问题在进行复数的加法、减法以及模的运算时,主要依据加减运算法则、模的公式计算求解．【典型例题3】(1)已知复数z满足｜z|＝eq\r（5)，且z＋1是纯虚数，求z；(2)设f(z）＝z＋3i－eq\x\to(z)－｜z｜,若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，求f(z1－z2）．思路分析：（1)设z＝x＋yi（x，y∈R）代入求解；（2)先求出z1－z2，再代入f(z)中计算．解：（1）设z＝x＋yi（x，y∈R）,则z＋1＝（x＋1）＋yi，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（x2＋y2)＝\r(5)，，x＋1＝0，，y≠0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1，，y＝2））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1,，y＝－2。）)于是复数z＝－1＋2i或z＝－1－2i.(2)由已知得z1－z2＝（2－i)－（－1＋2i)＝3－3i，于是f(z1－z2）＝f(3－3i）＝3－3i＋3i－（3＋3i)－|3－3i|＝－3i－3eq\r(2）。故f（z1－z2）＝－3eq\r(2)－3i。探究四复平面内两点间距离公式及应用1．|z1－z2｜表示复平面内，复数z1，z2对应的点Z1与Z2之间的距离,在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式;2．涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．【典型例题4】已知z∈C,且|z＋3－4i｜＝1,求|z｜的最大值与最小值．思路分析：|z＋3－4i｜＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与复数－3＋4i对应的点之间的距离，从而可知z对应点的轨迹为圆，然后借助几何方法求解．解：由于｜z＋3－4i|＝｜z－(－3＋4