数学课堂探究：2余弦函数、正切函数的图象与性质第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求函数的定义域与正切函数有关的定义域问题通常先借助正切函数的图象在一个周期内得出x的取值范围，然后加上周期．【例1】求下列函数的定义域：(1）y＝；(2）y＝．分析:根据题意列出不等式，再根据图象找出不等式的解集．解：（1)由tanx－≥0，得tanx≥，利用图象（如图所示）可知，所求定义域为（k∈Z）．(2）要使函数y＝有意义，则有即x≠kπ－，且x≠kπ＋（k∈Z）．所以函数的定义域为．规律总结利用正切函数的图象,可解不等式tanx〉α,其解题步骤是:（1)作出正切曲线y＝tanx在上的图象；（2）求出在内使tanx＝a成立的x的值；(3）利用图象确定tanx〉a在内的解；(4）把解扩展到整个定义域内．同理，也可解形如tanx<a及a〈tanx<b的不等式．探究二正切函数的性质1．周期性y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解,y＝Atan（ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解．2．单调性求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需令kπ－〈ωx＋φ〈kπ＋（k∈Z）解出x即可,但ω<0时，应用诱导公式化为正的,还要注意A的正负对单调性的影响．【例2】求下列函数的周期：(1）y＝3tan；(2）y＝｜tanx｜．解：(1)因为ω＝2，且T＝,所以函数的最小正周期T＝．（2）函数y＝|tanx|的图象如图所示，显然为周期函数,且T＝π．【例3】求y＝3tan的图象的对称中心．解：由2x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．故所求函数的图象的对称中心为(k∈Z）．温馨提示正切函数y＝tanx的图象是中心对称图形，它的对称中心有无数个，其坐标为(k∈Z)，但它不是轴对称图形．【例4】(1）求函数y＝tan的单调区间；（2）比较tan1，tan2，tan3的大小．分析:对于(1)，由于x的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解;对于(2)可利用正切函数单调性进行比较．解：(1）y＝tan＝－tan，则由kπ－<－〈kπ＋得2kπ－<x〈2kπ＋π（k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z）．(2)因为tan2＝tan（2－π），tan3＝tan(3－π），又因为〈2〈π,所以－<2－π〈0．因为<3<π，所以－〈3－π〈0,显然－<2－π〈3－π〈1〈,且y＝tanx在内是增函数，所以tan（2－π）<tan(3－x）〈tan1，即tan2〈tan3〈tan1．探究三求函数的值域对于形如y＝Atan2x＋Btanx＋C型的函数,可以通过换元法将问题转化为给定区间上的二次函数求值问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合函数图象或单调性确定．【例5】求函数y＝tan2x－2tanx的值域．分析：利用换元法，将原函数化为二次函数的形式来解决．解：令u＝tanx．因为|x｜≤，所以由正切函数的图象知u∈[－,]．所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，］．因为二次函数的开口向上,对称轴方程为u＝－＝1，所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1．当u＝－时，ymax＝3＋．所以f（x)的值域为［－1，3＋］．反思使用换元法求函数值域时，一定要注意换元后自变量的取值范围．探究四易错辨析易错点：因作图不准确而致错【例6】当x∈时，确定方程tanx－sinx＝0根的个数．错解：同一平面直角坐标系中作出y＝tanx与y＝sinx在上的图象如图所示，两图象有5个交点,所以方程tanx－sinx＝0有5个根．错因分析：没有比较x∈时,y＝tanx与y＝sinx的大小．正解：将方程变形为tanx＝sinx，作y＝tanx,y＝sinx在上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．在同一坐标系内画出y＝tanx与y＝sinx的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sinx与y＝tanx在内的图象，需明确x∈时，有sinx〈x〈tanx（利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x∈时的两函数的图象，如图所示,由图象可知它们有3个交点．所