数学课堂探究：2平面向量的数量积（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一数量积的坐标运算1．进行向量的数量积运算，前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质;2．对于运用数量积求向量坐标的问题,通常是运用待定系数法，建立方程（组)求解．【典型例题1】已知向量a＝（－1，2)，b＝(3,2)．(1)求a·(a－b）;（2)求(a＋b）·（2a－b）；(3)若c＝（2,1），求（a·b)c，a（b·c)．解:（1）解法一:∵a＝（－1,2)，b＝（3，2)，∴a－b＝（－4,0)．∴a·（a－b）＝(－1,2)·（－4,0)＝(－1)×(－4）＋2×0＝4.解法二：a·(a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－［（－1)×3＋2×2]＝4。（2）∵a＋b＝（－1，2）＋(3，2)＝（2,4），2a－b＝2（－1，2)－(3，2)＝(－2,4)－（3，2）＝(－5,2)，∴(a＋b)·（2a－b）＝（2,4）·(－5，2）＝2×(－5）＋4×2＝－2。（3）(a·b)c＝［(－1,2)·(3,2)]（2,1）＝（－1×3＋2×2）(2,1）＝（2，1)．a（b·c)＝(－1,2)[(3，2)·(2，1)]＝(－1，2)(3×2＋2×1）＝8(－1,2）＝（－8,16）．【典型例题2】已知向量a与b同向，b＝（1，2）,a·b＝10,求向量a的坐标．解：∵a与b同向，且b＝（1，2)，∴设a＝λb＝(λ，2λ）(λ〉0）．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2，4）．探究二向量垂直的问题有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量为0来解决，如果是几何中用向量研究垂直，可先建立直角坐标系，将相关的向量用坐标表示，利用向量垂直时数量积为0，建立关系求解，再回到要解决的几何问题中．【典型例题3】(1)已知向量a＝（1，2），向量b＝（x，－2），且a⊥（a－b)，则实数x等于（）A．9 B．4 C．0 D．－4（2)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别在AB，AD上，且AE＝1，则当DE⊥CF时，AF＝________。解析：（1)由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥（a－b)，∴a·（a－b)＝0。∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9。（2)建立如图所示的直角坐标系，则点C的坐标为（3，2）,D（0，2)，E（1，0）．设F(0,y)，则＝（1，－2),＝(－3，y－2）．∵DE⊥CF,∴⊥，∴－3－2y＋4＝0，得y＝，∴F，∴AF＝。答案：(1)A(2）探究三运用向量坐标求模、夹角1．运用坐标求向量的模一般有两种解决方法:一是先求出向量的坐标再求模,二是先平方转化为数量积再求模．2．用坐标求两个向量夹角的四个步骤：（1)求a·b的值；（2）求｜a||b｜的值；（3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；（4）由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．【典型例题4】已知a＝（1,2)，b＝（1，－1)，求2a＋b与a－b的夹角．解：∵a＝(1，2)，b＝（1,－1），∴2a＋b＝(3,3），a－b＝（0，3)．∴（2a＋b）·（a－b）＝3×0＋3×3＝9,｜2a＋b｜＝＝3,｜a－b|＝3。设所求角为θ，则cosθ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.∴2a＋b与a－b的夹角为.探究四易错辨析易错点：a与b的夹角θ为钝角不仅需要a·b〈0，还应保证两向量不反向共线，易忽略夹角的范围,事实上,－1<cosθ＝〈0,而a·b〈0包含了cosθ＝－1，即反向共线的情况【典型例题5】已知向量a＝（－2，－1），b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．错解:∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0，∴（－2，－1）·（λ，1)＝－2λ－1〈0，∴λ〉－。错因分析:忽略了a，b反向共线的情况．正解：∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0,且a，b不可反向共线．由a·b〈0得（－2，－1）·(λ,1)＝－2λ－1<0,∴λ>－。当a与b反向共线，即夹角为180°时，a·b＝－｜a||b｜，∴2λ＋1＝·，解得λ＝2，∴实数λ的取值范围为∪(2，＋∞)．点评对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔