高二数学期末考试模拟试卷（含答案）选修第一册-选修第二册数列部分

高二数学期末考试模拟试卷选修第一册--选修第二册数列部分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．直线x2A．32 B．−32 C．−2．已知双曲线的一条渐近线的方程是y=2x，且焦点F到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（）A．x24−y216=1C．x24−y216=13．如图所示，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=A．12a−C．12a+4．已知空间向量a=(−1，2，−3)，bA．143 B．133 C．1135．已知直线3x−4y+3=0与直线6x+my−14=0平行，则它们之间的距离是（）A．175 B．2 C．1710 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（）A．30 B．36 C．42 D．487．若直线l：k(A．[−23，C．(−∞，−28．设F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，过A．2+273 B．3+73 C．二、多选题9．已知数列{an}A．{an}是等差数列C．a9<a10 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA．DB．向量AE与AC1C．平面AEF的一个法向量是(4，−1，2)D．点D到平面AEF的距离为811．下列说法中，正确的有（）A．直线y=3x−2在y轴上的截距是2B．直线l1：ax+2y+3a−2=0与lC．若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3D．过点P(1，2)12．已知左、右焦点分别是F1，F2的椭圆C：A．△ABFB．若直线OP的斜率为k1，AB的斜率为k2C．若AF1D．若AF1三、填空题13．直线l：y=3x−4被圆C：(x+1)2+(y−3)14．已知拋物线C：y2=2px(p>0)，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过A作准线的垂线，垂足为H，若∠HFB15．在数列{an}中，a1=3，16．若a=(−1，λ，−2)与b四、解答题17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，DC=1，M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM.（1）证明：DQ⊥平面PAM；（2）求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值.18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{a（2）设bn=1an2−119．在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2−2y=0（1）若l与圆C相切，求m的值；（2）若过点A的直线l'截得圆C的弦长|MN|≥3，求20．已知点A(0，−2)，椭圆E：x2a2+y2b（1）求E的方程；（2）设过点P(0，-3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,−10（1）求双曲线的方程；（2）求证：MF（3）求△F1MF2的面积．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】直线x2+y3=1故答案为：B．

【分析】将直线方程化为斜截式即可.2．【答案】D【解析】【解答】若焦点在x轴上，设焦点F(c，0)，因为双曲线的一条渐近线的方程是y=2x，且焦点所以|2c|5=2，解得c=5因为ba=2，所以a=1，若焦点在y轴上，设焦点F(0，c)，|c|5=2，解得因为ab=2，所以a=4，故答案为：D.

【分析】先根据焦点位置，设焦点F(c，3．【答案】B【解析】【解答】MN=故答案为：B.

【分析】根据向量的加减运算三角形法则表示出MN→4．【答案】A【解析】【解答】因为(a+b)⊥a故答案为：A

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】直线3x−4y+3=0与直线6x+my−14=0平行，∴63=m−4≠−143，解得m=−8∴它们之间的距离为|−7−3故答案为：B．

【分析】先根据线线平行公式可得m=−8，再根据平行线间的距离公式求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】设{an}首项为a1，公差为d.因S3＝6，S4则3a1+3d=6故答案为：C

【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.7．【答案】D【解析】【解答】曲线C：y=−1−−x2表示圆心为C(3，−1)，半径直线l：k(如图所示，画出图像：A(1，−1)，B(5，−1)，根据图像知：−k∈(−∞，故答案为：D

【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解，可得实数k的取值范围.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为：y=±bax∴F(c，0)到渐近线的距离为∴|OH|=c2−b2如图，设三角形的内切圆与FH切于M，则|MH|=r=a+b−c2，BF=3∴|BF|+|MH|=3即2b=2a+c，则4b所以8a由e=ca，∵e>1，∴e=2+2故答案为：A.

【分析】首先求出r=a+b−c2，由BF=3OB，通过运算得到2b=2a+c，再利用9．【答案】A,B【解析】【解答】当n=1时，a1当n≥2时，an=S故an所以an+1=10−2(所以数列{an}是等差数列，首项为aa4因为公差d=−2<0，所以数列{an}Sn易知当n=4或5时，Sn有最大值S故答案为：AB

【分析】根据an=Sn−Sn−1=10−2n，且a110．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，正方体中，D(0，0，0)，B1(2，2，2)|DB1对于B，AE=(0，2，1)，Acos〈对于C，设m=(4，−1，2)，则m⋅AE=(4，−1，2)⋅(0，2，1)=−2+2=0，所以平面AEF的一个法向量是(4，−1，2)，C符合题意；对于D，DA=(2，0，0)，则点D到平面AEF的距离为d=故答案为：BCD

【分析】利用已知条件结合建系的方法，进而得出点的坐标，再结合空间两点距离公式得出DB1的长，再利用数量积求向量夹角公式得出向量AE与11．【答案】B,C【解析】【解答】A.直线y=3x−2在y轴上的截距是-2.所以该选项错误；B.直线l1：ax+2y+3a−2=0与l2：x+(a+1)y+4=0平行，则a(a+1)C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以n+2m−5D.过点P(1，2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−3=0或故答案为：BC

【分析】通过计算可以判定选项BC正确；直线y=3x−2在y轴上的截距是-2，所以选项A错误；过点P(1，2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−3=0或12．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：根据椭圆的定义，△ABF2的周长为B：设A(x1，y1所以k1=y1+y2所以(y1+C：AF因为y1所以AF由a2−2cD：由a2−2c故答案为：ACD.

【分析】利用椭圆的性质判断A；利用点差法判断B；求出AF1⋅AF13．【答案】4【解析】【解答】圆C的圆心C(−1，3)，半径记圆心C到直线l的距离为d，则d=|3×(−1)−3−4|因为圆C的半径为32，所以直线l被圆C截得的弦长为2故答案为：42

【分析】先求出圆C的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.14．【答案】±【解析】【解答】根据题意绘图如下，设直线AB交准线于G点，当A点在第一象限时，设A(t，2pt)，则H(−p2，2pt)，又F(p2，0)，∴kAG=22ptt+p2，同理，当A点在第四象限时，设A(t，综上分析得知：kAB故答案为：±

【分析】根据题意绘出草图，把A点的位置分两种情况进行讨论，分情况设出A点的坐标，利用H点与G点关于x轴对称，结合直线AB的斜率来求解即可.15．【答案】a【解析】【解答】由题设可得an+1−a故an故an故答案为：a

【分析】根据an+1−an=16．【答案】17或-1【解析】【解答】由已知a⋅b=−2−λ−2=−λ−4∴cos解得λ=17或λ=−1.故答案为：17或−1.

【分析】利用向量数量积的坐标表示，向量模长的坐标表示及向量夹角的坐标表示即得．17．【答案】（1）证明：由题PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz如图：则A(2，0，0)，D(0，0，0)，DQ=(23，2∵DQ⋅AM=0∵DQ⋅AP=0，∵AM∩AP=A，且AM，AP⊆平面PAM，∴DQ⊥平面（法二）证明：由题PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz如图：则A(2，0，0)，D(0，0，0)，设n=(x，yAM=(−1，1n.AM=−x+y=0n∴n=(1，1则DQ=23∴DQ⊥平面PAM.（法三）证明：连接DM∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM.在△AMD中，AM=DM=2，AD=2∵AM2+DM2=A∴AM⊥平面PDM，又∵DQ⊂平面PDM，∴AM⊥DQ.∵cos∠PDM=DMPM=∴△PDM∽△DQM，∴DQ⊥PM.且AM∩PM=M，且AM，PM⊆平面PAM，∴DQ⊥平面（2）解：（接向量法）由（1）可知平面PAM的法向量为DQ=(23平面PCD的一个法向量为m=(1cos⟨∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为33（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.∵N∈AM，∴N∈平面PAM，∵N∈CD，∴N∈平面PCD.∴平面PAM∩平面PCD=PN.过D做DT⊥PN于T，连接AT.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.又AD⊥CD，CD∩PD=D，∴AD⊥平面PCD，又PN⊂平面PCD，∴AD⊥PN.又∵DT⊥PN，DT∩AD=D，DT，AD⊂平面∴PN⊥平面ADT，∴PN⊥AT，∴∠ATD为二面角A−PN−D的平面角.在Rt△ATD中，AT=6∴cos∠ATD=∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为33【解析】【分析】(1)根据已知条件建立空间直角坐标系，求出平面PAM的法向量n→和DQ→，证明DQ∥n，即可证得DQ⊥平面PAM；

(2)将两平面的夹角转化为向量的夹角问题求解即可得平面18．【答案】（1）解：设等差数列{an}因为S2n=4S化简得：2因为a4=3由①②解得：a1=3所以数列{an（2）解：因为bn所以T==1所以数列{bn}的前n【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和前n项和公式，结合题设得到关于a1和d的方程组，即可求解出a1=3，d=2，从而得到19．【答案】（1）解：由题意知，圆C：x2+(圆心C到直线l的距离d=|0−2×1+m|解得m=2+5或2−（2）解：若直线l'斜率不存在，即l'的方程为x=−1，此时直线l'若直线l'斜率存在，设其为k，则直线l'的方程为y=k(x+1)，即设圆心C到直线l'的距离为d'，有因为|MN|≥3，所以d即d'=|0−1+k|故l'的斜率的取值范围为【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式，进而得出实数m的值。

（2）若直线l'斜率不存在，即l'的方程为x=−1，此时直线l'与圆C相切，不满足题意，舍去，若直线l'斜率存在，设其为k，则直线l'的方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，再利用勾股定理结合|MN|≥3，从而得出圆心20．【答案】（1）解：由离心率e=ca=22则直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c=1b2∴椭圆E的方程为x（2）解：由题意得直线l：y=kx−3，设M(则y=kx−3x2Δ=(−43k)∴x1+x∴|MN|===4即17k解得：k2=3或∴k=±3【解析】【分析】(1)根据题意可得a=2c，k=0−(−