第08章 一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第8章一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法【知识衔接】————初中知识回顾————形如的不等式称为关于的一元二次不等式．常用方法：将不等式左边进行因式分解，根据“符号法则---正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．————高中知识链接————一般式二次函数一元二次方程一元二次不等式图像与解xxyOx1x2或xxyOx0无解xxyO无解R无解表中，2、恒成立恒成立高次不等式的解法——穿根法先因式分解，再使用穿根法．学科-网注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正． 步骤：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点．②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)． ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立． 【经典题型】初中经典题型1．解不等式．分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则---正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．2．解下列不等式：(1) (2)(2)原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．高中经典题型1．解关于x的不等式解：原不等式可以化为：若即则或若即则若即则或2．已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，∴，即．由于，所以不等式可变为，即－整理，得所以，不等式的解是x＜－1，或x＞eq\f(6,5)．3．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C4．已知集合，集合.若，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：解一元二次不等式求得，由于是的子集，所以，解得.试题解析：解：根据题意得，，，5．求下列不等式的解集（1）；（2）.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)将不等式进行恒等变形，结合数轴穿根法可知原不等式解集为；(2)将不等式进行恒等变形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集为.试题解析：（1）原不等式等价于≤0≤0由数轴穿根法可知原不等式解集为；（2）不等式即，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不等式解集为.6．已知不等式的解集为或(1)求，的值；(2)解不等式.【答案】（1），；（2）或.【解析】试题分析：（1）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2-3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；(2)将，代入不等式得，，可转化为：，由“穿针引线”法可得结果.(2)将，代入不等式得，，可转化为：，如图，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为或.【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜3【答案】B．2．已知关于x的二次函数的图象经过点（﹣2，），（﹣1，），（1，0），且，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数，使得，其中结论错误的是（只填写序号）．【答案】②．【分析】①正确．画出函数图象即可判断．②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．③正确．利用函数y′==，根据函数的最值问题即可解决．④令y=0则，设它的两个根为，1，则=，求出x1即可解决问题．学科-网∵的图象经过点（1，0），∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，令y=0则，设它的两个根为，1，则=，∴=，∵﹣2＜＜，∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数，使得，故④正确．————再战高中题——能力提升————B组1．不等式的解集为__________．【答案】{x|-a＜x＜3a}【解析】，因为，,不等式的解集为，故答案为.2．若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】分析：由题意，原不等式转化为，得到的解集，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到的不等式，解不等式可得的范围.详解：由题知，，则，即.由于，而不等式的解答中恰有3个整数解，故必有，即必有.不等式可变为解得，又，结合解集中的整数恰有3个，即为1，2，3，可得，解得.的取值范围为.故答案为：.点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．3．若不等式的解为，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】根据不等式的解集可知，解得，即不等式为，所以不等式的解集为.4．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当时，不等式化为恒成立，当时，不等式化为不恒成立（舍），当时，要使不等式恒成立，则，解得，综上所述，.点睛：本题考查含参数的一元二次不等式恒成立问题；本题的易错点是忘记讨论不等式的二次项系数是否为0，对于二次项系数含有参数的不等式不一定是一元二次不等式，只有一元二次不等式才能利用判别式进行处理，所以一定要讨论二次项系数为0的情况.5．不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】B【解析】等价于或，解不等式组得或，选B.6．不等式的解集是__________．【答案】7．求下列不等式的解集．（1）（2）（3）．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】试题分析：（1）解二次不等式；（2）利用标根法解高次不等式；（3）移项通分解高次分式不等式.试题解析：解：（1）由x2+4x+4＞0可化为（x+2）2＞0，（用判别式同样给分）故原不等式的解集为；（2）由（1﹣2x）（x﹣1）3（x+1）2＜0可化为（2x﹣1）（x﹣1）3（x+1）2＞0，且方程（1﹣2x）（x﹣1）3（x+1）2=0的根为、1（