山东专用2024新高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.8离散型随机变量的均值与方差学案含解析

PAGE第八节离散型随机变量的均值与方差课标要求考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简洁离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题．2．题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合实力以及分析问题、解决问题的实力.学问点一离散型随机变量的均值与方差1．均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn干脆给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．2．方差设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．学问点二均值与方差的性质1．两个特别分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二项分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)2.均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1．思索辨析推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的状况，因此它们是一回事．(×)2．小题热身(1)已知X的分布列为：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(A)A.eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1(2)已知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝(A)A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)(3)设随机变量X听从正态分布N(0,1)，若P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)＝(D)A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p(4)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是乙．(5)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝eq\f(9,16).解析：(1)∵E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).(2)由题意知，D(ξ)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)∴η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).(3)因为随机变量X听从正态分布N(0,1)，所以正态分布曲线关于直线x＝0对称，所以P(X>0)＝P(X<0)＝eq\f(1,2)，P(X>1)＝P(X<－1)＝p，所以P(－1<X<0)＝P(X<0)－P(X<－1)＝eq\f(1,2)－p.(4)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)．∴乙技术好．(5)∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴D(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】某品牌汽车4S店，对最近100位采纳分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期频数4020a10b(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事务A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采纳分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及均值E(η)．【解】(1)由eq\f(a,100)＝0.2，得a＝20.又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.(2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15.依题意，得P(ξ＝3)＝eq\f(40,100)＝0.4，P(ξ＝6)＝eq\f(20,100)＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2，P(ξ＝12)＝eq\f(10,100)＝0.1，P(ξ＝15)＝eq\f(10,100)＝0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋Ceq\o\al(1,3)×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2.所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2.故η的分布列为η11.52P0.40.40.2所以η的均值E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4.方法技巧离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先推断随机变量的分布是特别类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特别类型；二是定性，对于特别类型的均值和方差可以干脆代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，留意离散型随机变量的取值与概率的对应.为迎接2024年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,6).两人都付0元的概率为P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，两人都付40元的概率为P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，两人都付80元的概率为P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列为ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.D(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).考点二二项分布的均值与方差【例2】甲、乙两名运动员参与“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成果(单位：分)记录如下：甲867792727884乙788288829590(1)用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参与竞赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)．(2)若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成果进行预料，记这3次测试的成果高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)及方差D(X)．【解】(1)茎叶图如图：由图可知乙的平均水平比甲高，故选派乙参赛更好．(2)由题意得，甲运动员每次测试的成果高于85分的概率是eq\f(1,3)，3次测试的成果高于85分的次数X听从二项分布，X全部可能的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(eq\f(1,3))0×(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×(eq\f(1,3))1×(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(1,3))3×(eq\f(2,3))0＝eq\f(1,27)，X的分布列为X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).方法技巧二项分布的期望与方差,1假如ξ～Bn，p，则用公式Eξ＝np；Dξ＝np1－p求解，可大大削减计算量.2有些随机变量虽不听从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量听从二项分布，这时，可以综合应用Eaξ＋b＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出Eaξ＋b，同样还可求出Daξ＋b.某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的状况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，依据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．注：尺寸数据在[63.0,64.5)内的零件为合格品，频率作为概率．(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望．(2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值．(3)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为eq\f(4,5)，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的全部可能取值为0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝(eq\f(1,5))4＝eq\f(1,625)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(4,5)×(eq\f(1,5))3＝eq\f(16,625)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(4,5))2×(eq\f(1,5))2＝eq\f(96,625)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(4,5))3×eq\f(1,5)＝eq\f(256,625)，P(ξ＝4)＝(eq\f(4,5))4＝eq\f(256,625).所以ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,625)eq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(256,625)eq\f(256,625)ξ的数学期望E(ξ)＝4×eq\f(4,5)＝eq\f(16,5).(2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为(eq\f(4,5))n，依题意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n≥0.3，故n的最大值为5.(3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数X～B(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y～B(25，b)．依题意得E(X)＝15a＝2，E(Y)＝25b所以a＝eq\f(2,15)，b＝eq\f(4,25).因为eq\f(2,15)<eq\f(4,25)，所以应选择方案A.考点三均值与统计的综合应用【例3】中共十九大以来，某贫困地区扶贫办主动实行国家精准扶贫的要求，带领广阔农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农夫年收入也逐年增加．为了更好地制定2024年关于加快提升农夫年收入，力争早日脱贫的工作支配，该地扶贫办统计了2024年50位农夫的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图，估计50位农夫的年平均收入eq\x\to(x)(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农夫年收入X听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2024年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农夫人数的84.14%的农夫的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实状况，扶贫办随机走访了1000位农夫．若每个农夫的年收入相互独立，问：这1000位农夫中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式eq\r(6.92)≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.【解】(1)eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X～N(17.40,6.92)．①P(X>μ－σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每个农夫的年收入不少于12.14千元的事务的概率为0.9773，记这1000位农夫中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位农夫的年收入不少于12.14千元的事务的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，从而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，当979≤k≤1000时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，由此可知，在所走访的1000位农夫中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.方法技巧概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他学问融合、渗透，情境新奇，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)依据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.考点四均值与函数、不等式、数列的交汇问题【例4】(2024·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并依据p4的值说明这种试验方案的合理性．【解】(1)X的全部可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此时得出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理．方法技巧1.本题的解题思路是：(1)先求出X的全部可能取值，再用α，β表示出X取各个值时的概率，即可得X的分布列．(2)①由(1)得a，b，c的值，再利用等比数列的定义，证明数列{pi＋1－pi}是等比数列；②利用①的结论，将p8用p1表示，再依据p8＝1，可求出p1，从而得p4的值，即可对方案的合理性做出推断．2．均值与函数、不等式、数列等跨学科学问的交汇问题是当前高考的一大命题趋势，成为高考压轴题的命题生长点．已知A1，A2，A3，…，A10等10所高校实行自主招生考试，某同学参与每所高校的考试获得通过的概率均为p(0<p<1)．(1)假如该同学10所高校的考试都参与，恰有m(1≤m≤10)所通过的概率为f(p)，当p为何值时，f(p)取得最大值；(2)若p＝eq\f(1,2)，该同学参与每所高校考试所需的费用均为a元，该同学确定按A1，A2，A3，…，A10依次参与考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参与其他高校的考试，否则，接着参与其他高校的考试，求该同学参与考试所需费用ξ的分布列及数学期望．解：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为p，所以该同学恰好通过m(1≤m≤10)所高校自主招生考