2024-2025学年青海省西宁市高二年级上册期中数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年青海省西宁市高二上学期期中数学质量检测试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.己知直线/：后-3»+1=°,则直线/的倾斜角为（）

兀兀7L27r

A.6B.3C.2D.3

2.己知"（231）,5=0,-2,-2）,则£在否上的投影向量为（）

2-2-

一一-b——b

A.2bB.-2bC・3D.3

3.己知直线4："+3了-6=0,直线£2x+（a-l）y-4=0,贝『，°=_2”是“4〃4”的（

）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知空间向量”若与B垂直，则同等于（）

巫巫叵叵

A.2B.2C.2D.2

5.已知圆/+丁=4与圆一+/_8》+4,+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为（）

A2x+y-3=0Bx-2y-S=0Q2x-y-5=0px+2y=0

6.已知点叩布,一2）。"°，哈。为坐标原点，且旗而=。，则固=（）

A.36B.瓜C.6D.2疗

7.已知直线/：》+>一2=0与圆M:x2+/_4x_4y+a=0交于48两点，且|“同=4血，则

a=（）

A.4B.-4C.2D.-2

8.如图，在三棱锥尸-N3C中，N4PB=90°,NCPA=NCPB=60。,PA=PB=PC=2,点

D,E,尸满足而=丽，PE=2EA,AF=FC,则直线C£与。尸所成的角为/

「二

A.30°B,45°C.60。D.90。,,石

E

二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9,向量=-2乃9）,若,〃在，则（）

13„1_1r

x=—y=——a=—bra=—b

A.5B.2C.3D.2

10.己知圆G：X2+J?+2必-10y+疗=0,圆。2：/+/+例-5=0,则下列说法正确的是

（）

A.若点0』）在圆q的内部，则-2＜加＜4

B.若加=2,则圆弓，。2的公共弦所在的直线方程是4龙-14y+9=°

C.若圆外切，则加=±VE

D.过点G?）作圆C?的切线/,则/的方程是》=3或7x-24y+27=°

11.设。，区分别是直线/,加的方向向量，4,“分别是平面a,4的一个法向量，则

（）

A.若a'Q,则〃i，〃2

---一（ab\=--

B.若",％,"%，且''/3,则a与/的夹角为3

/-----、兀兀

（a,〃］）=一—

C.若'/3,则直线/与平面。所成的角为6

D.若'/'3,且则〃/加

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.已知"=（-2,1,3），"=（-1,2,1）,则万与B夹角的余弦值为.

13.己知圆C：/+r=1,过圆C外一点尸作C的两条切线，切点分别为A,B,若

ZAPB=120°,则.同=.

14.己知平面。的一个法向量为"=（235）,点"（124）是平面夕上的一点，则点

P（T，L5）到平面1的距离为.

四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）

⑴已知空间向量&=(2厂1,-2)石=(1,1,-4),求忸-3同

(2)已知3=(-2,1,3)石=(-1,2,1),豪_L@一町,求实数2的值.

16.(15分)

已知以点4(T，2)为圆心的圆与直线4：》+2尸7=0相切，过点以-2,0)的动直线/与圆力相

交于M,N

⑴求圆A的方程.⑵当=2M时，求直线/的方程.

17.（15分）

如图，在四棱锥中,PZ）_L平面A8CD,AD1DCtAB。DC,

AB=AD=—CD=2

2,PD=2,M为棱PC的中点

⑴证明：瓦0//平面PAD⑵求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值.

18.(17分)

已知-组动直线方程为(后+―+(后-A-5"3=0

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点尸的坐标.

(2)若直线与无轴正半轴，V轴正半分别交于点42两点，求的08面积的最小值.

19.（17分）

在四棱锥尸一工8。中，是等边三角形，四边形N3CD是矩形，4B=2,AD=243,

PB±AD,

£是棱PD的中点.

⑴求证.4，族⑵求二面角P-/E-B的正切

高二数学期中答案

一、单选题

1.己知直线/：后一3y+1=°,则直线/的倾斜角为()

兀兀兀27r

A.6B.3C.2D.3

【正确答案】A

【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

，百，n7i

k.=—=tancc\cc=—_

【详解】•••直线/的斜率3，由于“叩，町，所以6,的倾斜角为6.故选:

A.

2.己知”=(231),‘=0，-2,-2),则［在)上的投影向量为()

2-?-

---b--b

A.2bB.-2bc.3D.3

【正确答案】D

【分析】利用投影向量公式进行求解

a-b(2,3,1)-(1,-2,-2)工2-6-222

-z-•bz=-------------------W•b=-----------b=-----br

闾212(-2)-+(-2)293

【详解】II+''I',故。在6上的投影向量

--b

为3.故选：D.

3.己知直线上"+3歹-6=0,直线£2x+(a-l)y-4=0,贝!是，4〃’2”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】利用两直线平行求解。的值，结合充要关系的定义判断即可.

【详解】由4〃，2可得6="("1),解得。=3或"-2.当0=3时，4：3x+3y-6=0,4：

2x+2y-4=0)显然4,4重合，舍去,故4〃4时，。=-2,因此“a=-2”是“4〃，2”的充要

条件.故选：C

4.已知空间向量"=(L〃Z,"=(-2,1,2),若2人不与B垂直，则同等于()

5G3A/5V37V21

A.2B.2c.2D.2

【正确答案】B

【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量

Z与同.

【详解］因为)=8%2),心(-2,1,2),所以2,一5=(4,2〃-1,2),因为与B垂直，所

1，|>2

,,(2a-b}b=-8+2n-l+4=0=

以<，解得2,所以,所以

同=

，故选：B.

5.已知圆一+丁=4与圆产+/_8》+4,+16=0关于直线/对称，贝|j直线/的方程为()

A+y_3=0Bx_2)_8—0Q2X_y_5=0口x+2y=0

【正确答案】C

【分析】根据对称可知/是圆£和圆c?圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由

点斜式方程即可.

2

【详解】圆G：/+/=4,圆心。(0,0),半径12,C2：X+/-8X+4)；+16=0I圆心

Cz(4,-2),半径4=2,

由题意知，/是圆G和圆G圆心连线的垂直平分线，.•・G((),0),C?(4,-2),GCZ的中点(2,-1),

k=_1

圆心GG连线的斜率为CC-5,则直线/的斜率为2,故/的方程：V+l=2(x-2),即

>=2x-5,故c正确.故选：c.

6.已知点/而一2)。(4,。,叫。为坐标原点，且旗而一°,则因=()

A.36B.aC.6D.2近

【正确答案】C

【分析】根据。p。°=°,求出机的值，再利用模长公式求解即可.

【详解】因为尸《‘b,一2）。（4，°，吐所以历=《，而，-2）而=（4,。,加）,又

OPOQ=4-2m=0解得加=2,

所以0（4,。,2）,则网疝，4）,所以国=5^=6.故选。

7.已知直线/：》+>一2=0与圆/：工2+/_叙_47+4=0交于48两点，且恒同=40,则

a=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【正确答案】D

【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.

【详解】由题意可得圆”的圆心为M（2,2）,半径r=j4+4-a=VT下,则圆心M到直线

/的距离Vl2+12,因为I2J,所以（血？+（2&）2=8-a，即8—4=10,

解得。=-2.故选：D.

8.如图，在三棱锥尸-NBC中，N4PB=90。,NCP4=NCPB=60°,PA=PB=PC=2,点、

D,E,尸满足丽=丽，PE=2EA,AF=FC,则直线CE与。尸所成的角为（）

A.30。B.45。C,60。D.90。

【正确答案】D

【分析】设方=心丽=B，PC=c,利用空间向量运算得°“一1”一',

DF=-(a-b+c}

2、7,利用数量积的运算律求解数量积，即可解答.

-1

—►―►一——»一一一3-c=Z)-c=2x2x—=2

【详解】设尸/=汗，PB=b,PC=c,贝qa»=0,2

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c

33,

DF=PF-PD=^(PA+PCy-^PB=^(a-b+c^

CE.DF=La2-La-b-^a-c+-b-c--c1=0

所以33622,

故直线CE与。尸所成的角为90°.

故选：D

二、多选题

9,向量』=（2x/，3）石=0,-2%9）,若）〃相则（）

13-1t-11

x=—y=—a=—ba=­b

A.5B.'2C.3D,2

【正确答案】BC

【分析】利用空间向量平行列出关于X/的方程组，解之即可求得的值和无分的关系.

2x=4

,1=-2"1_13

【详解】因为所以1=助，由题意可得〔3=9"，所以36-2,则

a=-b

3.故选：BC

10.已知圆。1：尤2+y+2g-10夕+/=0,圆G：/+/+4了-5=0,则下列说法正确的是

（）

A.若点°」）在圆G的内部，则-2〈杨〈4

B.若机=2,则圆G，C2的公共弦所在的直线方程是4x-14y+9=°

C.若圆4外切，贝|］加=±岳

D.过点（"）作圆G的切线/,则/的方程是x=3或7x-24y+27=°

【正确答案】BCD

【分析】根据点在圆的内部解不等式1+1+2%-10+/＜0即可判断A错误；将两圆方程相

减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即

可知C正确；对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.

【详解】对于A,由点（n）在圆G的内部，得1+1+2%-10+病＜0,解得-4＜加＜2,故

A错误；

对于B,若相=2,则圆G：/+y2+4xTOy+4=o,

将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4xT4y+9=0,故B正确;

对于C,圆G的标准方程为机r+3-5)2=25,圆心为0(一加,5),半径l二5,

圆G的标准方程为*+"+2)2=＞圆心为02(0，-2),半径々=3,

若圆GC外切，则|。©=4+-2,即J/+49=5+3,解得加=±岳，故c正确;

对于D,当/的斜率不存在时，/的方程是》=3,圆心G至"的距离"=3=々，满足要求,

当/的斜率存在时，设/的方程为》=无@-3)+2,

4-3月

ri3k=—

圆心G至〃的距离，解得24,

所以/的方程是7尤一24了+27=0,故D正确.

故选：BCD.

11.设5分别是直线"加的方向向量，%,“分别是平面a,〃的一个法向量，则

()

A.若a，夕，则4±n2

----(ab\=--

B.若且''/3,则&与分的夹角为3

/----A兀兀

C.若'/3,则直线/与平面1所成的角为6

D.若(可毋止;且则/〃机

【正确答案】AC

【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.

【详解】。，区分别是直线右5的方向向量，%,%分别是平面a,夕的一个法向量，

对于A,易知若a，尸，则为1'%,故A正确；

对于B,由“,4,可知，直线///a,ml1/3,

ja,b=一

显然当a与一n平行时，直线/，冽可以满足3,故B错误；

q——H——71-7-C----7-1——71

对于C,当‘।3时，直线/与平面。所成的角为236,故C正确；

—一7*~»兀

a,ny=0,71.=—

对于D,若3,

7171

则直线/与平面夕所成的角为6,直线加与平面）所成的角为6,

717171

----1----——

又"//£,则直线/，加所成角可以为66-3,即直线/与机不平行，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

12.已知彳=（一21,3），B=（-1,2,1）,则汗与B夹角的余弦值为

51721

【正确答案】6/6

【分析】由空间向量的数量积公式求解即可.

【详解】：'=(—2,1,3),5=(-1,2,1),

,c°s<71%=4^=叵后

|则/乂瓜6

13.己知圆C：/+r=1,过圆C外一点尸作C的两条切线，切点分别为A,B,若

N4PB=120°,则•吐

【正确答案】1

【分析】结合切线长定理可得V/8C为等边三角形，即可得|AB|.

厂=1,由尸/、尸8为圆C切线，故

ZOAP=ZOBP=90°

XZAPB=120°ZAOB=360°-90°-90°-120°=60°,又40=B0=r=l,故AABO为等边

三角形，故M4=L

故1.

14.已知平面。的一个法向量为"=(235),点/(I24)是平面。上的一点，则点

’(T，L5)到平面c的距离为.

屈

【正确答案】R

"=吧

【分析】利用空间向量法可得出点尸到平面。的距离为H，即为所求.

,同,2V38

【详解】由已知可得在=(一2T1),所以点P到平面a的距离为M’3819.故

V38

答案为.19

四、解答题

15.⑴已知空间向量'=QT「2),B=(1,1,-4),求怩-34

⑵已知)=(-2,1,3),1(一1,2,1),若〃@-叼,求实数力的值

【正确答案】(1)3函(2)2.

【分析】(1)求出向量的坐标，由坐标计算模长.

(2)分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数

的值.

【详解】⑴2”3役=(1,-5,8),所以恒-3可3+(-5)2+8?=3-

(2),3=(-2,1,3),石=(-1,2,1),.”-痛=(-2+41-243-/1),..人...

5-^-26)=0

即-2(-2+^)+(1-22)+3(3-X)=0,解得2=2.

16.已知以点4(T，2)为圆心的圆与直线4：》+2>7=0相切，过点8(-2,0)的动直线/与圆

/相交于

(1)求圆A的方程；

⑵当MM=2M时，求直线/的方程.

【正确答案】(i)a+i)'d)=2。

（2）3x-4〉+6=0或x=-2

【分析】（1）由题意知点到直线距离公式可确定圆4半径〃，带入到圆的标准方程可求得圆的

方程；

（2）过《做/O'"',由垂径定理可知圆心到直线/,设出直线/,可分为斜率存在和斜率

不存在两种情况，解之可得直线方程

【详解】⑴易知2（T，2）到直线》+2尸7=0的距离为圆/半径入

”昆：+2'2+71=2后

所以Vl2+22,

则圆/方程为（X+以+&-2）2=20

（2）过/做"Q,MN,由垂径定理可知/MQ/=90。，且|吸|=炳，

在RUAMQ中由勾股定理易知国=即而=6呵=1

当动直线/斜率不存在时，设直线/的方程为无=-2,

经检验圆心到直线/的距离为1,且根据勾股定理可知\MN\=2M,

显然x=-2合题意，

当动直线/斜率存在时，/过点'（一2,°）,设/方程为：V=Mx+2）,

\-k+2k-2\,3

/>=]k=—

由Z（T，2）到/距离为1知J+k得4,

代入解之可得版-4了+6=0,

所以3x-4y+6=0或x=-2为所求/方程.

17.如图，在四棱锥尸一4sCD中，W平面NBC。，AD1DC,ABIIDC,

AB=AD=-CD=2

2,PD=2,"为棱尸C的中点

/：

L,------

AB

⑴证明：3M//平面尸4D；

（2）求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值；

【正确答案】（1）证明见解析

V6

⑵6

【分析】（1）取中点N,证明根据线面平行的判定定理，即可证明结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）取中点N,连接"N,MN.

JX\/_*******^

*F、必

AB

cMN=-DC

在△尸CD中，M,N分别为PC,尸口的中点，则MV〃OC,2,

AB^-DC

因为N5//DC,2,则AB=MN,

可知四边形"BAIN为平行四边形，则8M〃/N,

且8M任平面尸/。，ZNu平面尸/£）,所以现///平面P/O.

（2）因为尸。_L平面/BCD,AD,DCu平面48CZ）,

则尸D_L/D,PD1.DC,且/DI.DC,

以。为坐标原点，DA,DC,0P所在直线分别为x,V,z轴，

建立空间直角坐标系O-孙z,如图所示，

取°的中点E,连接BE,

因为N2〃DC,2,则AB=DE.

又因为A。,0C,所以四边形为矩形，

且4B=4D=2,可知四边形即是以边长为2的正方形，

则。（0,0,0）,42,0,0）,以2,2,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,M（0,2,1）

可得a=（2,0,0）,丽=（。，2,1）,丽=（2,2,0）,

h•DM=2y+z=0

设平面8ZW的法向量为7=(“/,z),所以〔万Q3=2x+2昨0,

令>=T,贝口=1,z=2.所以平面由W的一个法向量为k=(1，T，2),

易知方3为平面产。加的一个法向量，

n-DA_2V6

cosn,DA=

同明V6x26

所以平面尸DM和平面夹角的余弦值为6.

18.已知-组动直线方程为G+e+(1)y-5"3=0.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点尸的坐标；

(2)若直线与无轴正半轴，V轴正半分别交于点42两点，求胆。3面积的最小值.

【正确答案】定点为(4,1),最小值为8.

【分析】(1)直线方程按k分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：

直线恒过定点.

(2)根据点斜式写出直线方程，求出双面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小

值.

【详解】(1)直线方程(后+1b+/-1)了一5左一3=0,整理可得：

k(x-y_5)+(x-y-3)=0恒成立，由此x_y_5=0,x-y-3=0,解得x=4,y=l,由此直

线恒过定点(4,1).

(2)直线分别交x轴的正半轴，夕轴正半分别交于点42两点，设直线方程为

=4--=OA

y-l=k(i-4其中k<0,令x=0,y=l-4k=05；令