2024-2025学年人教版初中九年级数学上册专项复习：概率的计算（原卷版）

第02讲概率的计算

学习目标

课程标准学习目标

1,掌握列举法求概率的两种方式,列表法与树状法求概

①列举法求概率率，并能在题目中熟练应用。

②用频率估算概率2.能够通过计算判断游戏的公平性。

3.掌握频率的意义，能够用频率估算概率。

思维导图

列表法求•件的概率

知识点01直接列举法求事件概率

1.直接列举法求事件概率：

在一次实验中，如果可能出现的结果只有个，且各种结果出现的可能性大小,则

可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。

题型考点：①用直接列举法求事件概率。

【即学即练1】

1.掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为10的概率为.

【即学即练2】

2.随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）

A.AB.3C.2D.工

4432

知识点02列表法求事件概率

1.列表法求事件的概率：

当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且可能出现的结果较多时，常通过

用的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用求概

率。

例题说明：

三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上

部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张

小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？

分析：将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作a、b、c,列表得出所有等可能结果，用

列表法表示如下：

abc

A(A,a)(A,b)(A,c)

B(B,a)(B,b)(B,c)

C(C,a)(C,b)(C,c)

可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A,有三种情况，所以概率为:

题型考点：①用列表法求事件的概率。

【即学即练1】

3.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛.

（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是

（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率.（用树状图或列表的方法求解）

【即学即练2】

4.4张相同的卡片分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的

数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1,2,3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀

后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数.

(1)求这两个数的差为0的概率；(用列表法或树状图说明)

(2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜.你认为这样的

规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由.

知识点03树状法求事件概率

1.树状法求事件的概率:

当事件要通过多个步骤(三个或以上)完成时，常通过用画树状图的方法列举所有可能的结

果，在找出事件A可能发生的结果，再利用概率公式求概率。

例题说明:

三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上

部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张

小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？

分析：将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作a、b、c,列表得出所有等可能结果，用

树状图表示如下:

/N

abcabc

可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A,有三种情况，所以概率为:

,、31

P(A)=-=-

93

题型考点：①用列表法求事件的概率。

【即学即练1】

5.甲、乙，丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起.

（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到的是自己带来的礼物的概率是;

（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，用列表法或树状图法求甲、乙2人抽到

的都不是自己带来的礼物的概率.

【即学即练2】

6.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球（除标号

外无其它差异）.从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸

出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若尤+y为奇数，则甲获胜；若x+y

为偶数，则乙获胜.

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x,y）所有可能出现的结果总数；

（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

知识点04用频率估算概率

1.用频率估算概率：

大量重复实验时，事件发生的在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据

这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计,这个固定的就是这个事件的

概率。

实验次数越多，用频率估算概率越准确。

题型考点：①用列表法求事件的概率。

【即学即练。

7.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率.历史上数学家皮尔进(Pearson)曾在实验中掷均匀的

硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率为0.5005,则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率

是.

【即学即练2】

8.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸

出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是个.

题型精讲

题型01用列表法与树状图求事件概率

【典例1】

随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设

立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和

王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.

(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为;

(2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.

【典例2】

从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2,5,5,6.

(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率

为;

(2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请

利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率.

【典例3】

“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德.在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人

奔赴武汉.其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一

人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题.

(1)小丽被派往急诊科的概率是;

(2)若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派

往发热门诊的概率.

【典例4】

有两个可以自由转动的质地均匀转盘都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如

图所示，转动转盘，两个转盘停止后观察并记录两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上，

当作指向上边的扇形).

(1)用列表法或画树形图法求出同时转动两个转盘一次的所有可能结果；

(2)同时转动两个转盘一次，求“记录的两个数字之和为7”的概率.

I02\/35\

47

【典例5】

现有A、8两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2,3,4；8袋中的三

个小球上分别标记数字3,4,5.这六个小球除标记的数字外，其余完全相同.

(1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率

为;

(2)分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或

列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率.

题型02放回与不放回概率计算

【典例1】

一只不透明的袋子中有3个小球，分别标有编号1,2,3,这些小球除均外都相同.

(1)投匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；

(2)厦匀后从中任意摸出1个球，记录球的帽号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次摸到的

小球编号相同的属率是多少？(用函树状图或列表的方法说明)

【典例2】

人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为

决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依

次制成A,B,C,。四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.

A.决策类人工智能B.人工智能机器人C.语音类人工智能D.视觉类人工智能

（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；

（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽

取到的两张卡片内容一致的概率.

【典例3】

5张背面相同的卡片，正面分别写有不同1,2,3,4,7中的一个正整数.现将卡片背面朝上.

（1）求从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率.

（2）连续摸出4张卡片（不放回），已知前2张正面的数分别为1,7.求摸出的4张卡片的数的总和为

奇数的概率（要求画树状图或列表）.

【典例4】

一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个

球，取出白球的概率为工.

2

(1)布袋里红球有多少个？

(2)先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率.

题型03利用概率判断游戏公平性

【典例1】

在联欢会上，有A、8、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在

他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的

()

A.三边垂直平分线的交点

B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点

D.三条高所在直线的交点

【典例2】

“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的

热情.在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，

从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得.游戏规则如下：甲口袋(不透明)装有编号为1,

2,3的三个小球，乙口袋(不透明)装有编号为1,2,3,4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外

其他都相同.小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和

为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜.

(1)小明摸到小球的编号为2的概率为；

(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【典例3】

把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球.其中一组标上数字1,2,3后放入不透明的甲盒

子，另一组标上数字2,3,4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球.

(1)请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；

(2)若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个

游戏是否公平？请说明理由.

【典例4】

甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘A,B,A转，盘中数字1所对扇形区

域的圆心角为90。，8转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘A,B,当转盘停止后，若指针指

向的两个区域的数字之和大于5,则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘.

(1)转动转盘A,指向的数字为1的概率是；

(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平.若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性

更大？

转盘A转盘B

题型04用频率估算概率

【典例1】

实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据:

重复实验次数10050010005000•・・

钉尖朝上次数501503802000.・・

由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为()

A.0.50B.0.40C.0.38D.0.37

【典例2】

在一个不透明的箱子里装有机个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意

摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2,那么可以估算出机的值

为（）

A.8B.12C.16D.20

【典例3】

某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下:

射箭次数n102050100200350500

射中靶心的次数相7174492178315455

射中靶心的频率如0.700.850.880.920.890.900.91

n

下列说法正确的是（）

A.该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90

B.该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90

C.该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次

D.该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次

【典例4】

在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红

球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）

A.5B.8C.12D.15

强化训练

1.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机

选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（）

A.AB.1C.AD.

24612

2.在一个不透明的口袋中装有3个完全一样的小球，小球上分别标有数字1,2,3.先摸出一个小球、上

面的数字记为。，放回袋子中摇匀后再摸出一个小球、上面的数字记为c,则使得一元二次方程办

=0有实数解的概率为（）

A.1B.1C.工D.2

6323

3.在如图所示的电路中，随机闭合开关51、8、S3中的两个，能让灯泡心发光的概率是（）

1

3

4.现有5张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“9口”，2张卡片正面上的图8案是它们除此

之外完全相同.把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是

13

25

30.甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（）

A.游戏的规则由甲方确定

B.游戏的规则由乙方确定

C.游戏的规则由甲乙双方确定

D.游戏双方获胜的概率相等

5.甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜,

这个游戏（）

A.公平B.对甲有利

C.对乙有利D.公平性不可预测

6.一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同.小明多次摸球后

记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数

可能是（）

A.3B.4C.5D.6

7.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他

采取了以下办法：用一个面积为20c病的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方

形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他

将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（

小球落在不规则图案内的概率

图①图②

222

A.6cmB.7C/772C.8cmD.9cm

8.为落实教育部办公厅和中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通

知精神.我市某校八、九年级分别从《我和我的父辈》《童年周恩来》《我心飞扬》《向着明亮那方》四部

影片中，随机选取一部影片组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率是.

9.甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1,2,3,4,

5,6.若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢.这个游戏对甲、

乙来说是的.（填“公平”或“不公平”）

10.在一个不透明的盒子里，装有5个红球和若干个绿球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机

摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球80次，其中20次摸到红球，请估计盒

子中所有球的个数是.

11.如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形

区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过

大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑

色部分的总面积约为cm2.

12.某学校开展会员核酸检测，设立了A,B,C三个检测小组.

（1）学生甲随机选择一个小组进行核酸检测，则他选择A组的概率为.

（2）学生乙、丙分别选择一