2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：数列新定义问题（学生版+解析）

专题12数列新定义问题（典型题型归类训练）

1.（2024•甘肃定西•一模）在〃个数码1,2,，“色€N,〃22）构成的一个排列/,J力中，若

一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如h>h，则h与八构

成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为j“），例如,

7（312）=2,

⑴计算7（51243）；

⑵设数列｛q｝满足q用=%•T（51243）—T（3412）,«1=2,求｛4｝的通项公式；

⑶设排列刀Jn（〃eN,〃22）满足

/.=M+1-J（z=1,2,,n）,bn=T（jj24）,5"=”+:++4，求s“，

bbb

23„+i

2.（2024高三下•全国•专题练习）若数列｛%｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列,

则称｛%｝为"等比源数列

⑴已知数列｛%｝为4,3,1,2,数列｛2｝为1,2,6,24,分别判断列），依｝是否为“等比

源数列”，并说明理由；

（2）己知数列｛c,｝的通项公式为c“=2i+l,判断｛%｝是否为“等比源数列”，并说明理由；

3.（23-24高二下•吉林四平阶段练习）在数列｛4｝中，若存在常数乙使得g+i=a。％…4+f

（〃eN*）恒成立，则称数列｛4｝为数列

⑴判断数列1,2,3,7,43是否为""⑴数列"；

（2）若％=1+工，试判断数列｛%｝是否为""⑺数列"，请说明理由；

n

⑶若数列｛%｝为"〃（，）数列"，且《=2,数列｛〃｝为等比数列，满足£＞；=%+]+/冲22一/求

Z=1

数列｛〃｝的通项公式和f的值.

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）给定数列｛%｝,称｛%-。”｝为｛q｝的差数列（或一阶

差数列），称数列｛%+「4｝的差数列为｛%｝的二阶差数列，若《=3".

（1）设｛%｝的二阶差数列为也J,求也｝的通项公式.

（2）在（1）的条件下，设c“=bg3不+“，求｛%｝的前"项和为,

7.（2024•黑龙江•二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称

这个数列为"G型数列

⑴若数列｛%｝满足2%=S"+1,判断｛4｝是否为"G型数列"，并说明理由；

⑵已知正项数列｛%｝为"G型数列"，4=1,数列也｝满足用=%+2,"N*,也｝是等比

数列，公比为正整数，且不是"G型数列"，求数列｛凡｝的通项公式.

8.（2015高二•全国•竞赛）设数列｛4｝满足：①4=1;②所有项^eN*；③

1=«1<。2<。"+1<….设集合4=｛n\an<m,m&N^,将集合4,中的元素的最大值

记为鬣.换句话说，鬣是数列｛4｝中满足不等式%的所有项的项数的最大值.我们称数列

也｝为数列｛凡｝的伴随数列.例如，数列1，3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

⑴请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设册=3-，求数列｛凡｝的伴随数列也｝的前20之和；

⑶若数列｛%｝的前"项和5“=1+c（其中c常数），求数列｛4｝的伴随数列也“｝的前加项和

9.（23-24高二下•上海闵行•阶段练习）若有穷数列为,出，•，《，（”是正整数），满足4=4,，

%=%一”…，4=q即4=%T+（是正整数，且一口叽就称该数列为"对称数列".例如，

数列1,3,5,5,3,1就是"对称数列

⑴己知数列色,｝是项数为7的对称数列，且4，b2,b3,a成等差数列，4=2,々=11，

试写出｛%｝的每一项；

（2）对于确定的正整数以＞1,写出所有项数不超过2%的"对称数列"，使得1,2,22,依

次是该数列中连续的项；当机=10时，求其中一个"对称数列"前19项的和H9

10.（23-24高二下•江西•阶段练习）将数列｛风｝按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一

个以组为单位的序列称为｛凡｝的一个分群数列，｛%｝称为这个分群数列的原数列.如

（%%,（4+1，%+2，-,q）,（4+i，4+2'’4）…，（4+1，%n+2，-0,）是｛%｝的一个分群数

列，其中第左个括号称为第4群.已知｛凡｝的通项公式为%=2"-1.

⑴若｛见｝的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第左群的中间一项为4,求数

列也｝的通项公式；

（2）若｛q｝的一个分群数列满足第人群含有左项，4为该分群数列的第人群所有项构成的数

集，设”=｛%%€44+764+2｝,求集合M中所有元素的和.

专题12数列新定义问题（典型题型归类训练）

1.（2024•甘肃定西•一模）在〃个数码1,2,,"（"€2,让2）构成的一个排列///“中，若

一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如）2＞八，则人与人构

成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为力），例如，

7（312）=2,

⑴计算7（51243）；

⑵设数列｛q｝满足。角=%]（51243）-7（3412）,4=2,求｛见｝的通项公式；

⑶设排列山h（〃eN,〃22）满足

ji=n+l-i（i=1,2,-,n）,bn=T（jj24）,5“=”+:++J,求s“，

b2b3%

【答案】（1）5

（2）凡=5"-+1

（3电=力

【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；

（2）利用逆序数的定义得到%=5”“-4,从而利用构造法推得｛q-1｝是等比数列，从而

得解；

（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到么，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，

与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，

所以7（51243）=4+0+0+1+0=5.

（2）由（1）中的方法，同理可得7（3412）=4,

又7（51243）=5,所以%=56-4,

a

设n+i+彳=5（4+5）,得an+l=5an+4Z,

所以4X=T,解得=则。“+]-1=5（a“-1）,

因为q-l=lw0,

所以数列｛为-1｝是首项为1,公比为5的等比数列,

所以4-1=5"-,贝1］。“=5"—+1.

(3)因为/="+1-i(i=l,2,…,

所以4)=〃T+"2+,+1+0=

nn+1

In

所以S.=21-----1---------FH------------

223nn+1n+1

2.（2024高三下,全国•专题练习）若数列｛”“｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数歹U,

则称｛%｝为"等比源数列

（1）已知数列｛%｝为4,3,1,2,数列｛"｝为1,2,6,24,分别判断列｝,但｝是否为"等比

源数列”，并说明理由；

⑵己知数列｛&｝的通项公式为C“=2"T+1,判断｛%｝是否为“等比源数列”，并说明理由；

【答案】（1）｛七｝是"等比源数列"，协"｝不是"等比源数列"，理由见解析

⑵｛qj不是"等比源数列"，理由见解析

【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，

（2）假设是“等比源数列"得d=g,,，即可根据指数幕的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，

即可求解.

【详解】（1）｛叫是“等比源数列"，｛或｝不是"等比源数列

｛4｝中"1,2,4"构成等比数列，所以｛4"｝是"等比源数列"；

｛£｝中"1,2,6","1,2,24","1,6,24","2,6,24"均不能构成等比数列,

且这四者的其他次序也不构成等比数列，

所以｛么｝不是"等比源数列

⑵｛%｝不是"等比源数列

假设匕,｝是"等比源数列"，因为匕」是单调递增数列,

即匕,｝中存在的1,cn,，（机＜”＜发）三项成等比数列，

2

也就是C；=cmck,即（2-+1）=（2小+1）（21+1）,

22"-2+2"=2"z+2«-1+,两边时除以2m-1得22"~'"~1+2"~'"+I=2睁+1+2"叫,

等式左边22fT+2"皿1为偶数，

等式右边2"|+1+2"戊为奇数.

所以数列｛。“｝中不存在三项按一定次序排列构成等比数列.

综上可得匕｝不是"等比源数列

3.（23-24高二下•吉林四平•阶段练习）在数列｛凡｝中，若存在常数使得=。田2%

（〃eN*）恒成立，则称数列｛%｝为"“⑴数列

⑴判断数列1,2,3,7,43是否为"H⑴数列"；

（2）若c“=l+,，试判断数列｛q｝是否为""⑺数列"，请说明理由；

n

⑶若数列｛q｝为"H（Z）数列"，且4=2,数列出｝为等比数列，满足力=an+1+log2bn-t求

Z=1

数列也｝的通项公式和f的值.

【答案】（1）是

⑵不是，理由见解析

（3也=2"」=一1

【分析】（1）根据H（。数列的定义判断

（2）根据已知条件求出cB+1-qc2c3…6即可判断;

（3）根据数列｛4｝为"H⑺数列"，化Za；=an+l+log26“-t为£a；=qa2a3…氏+l°g2b”,

nn

i=l\b.

a

进而求得Ea；=%%%•••cinan+i+log2bn+1,作差有n+\-（%+i-l）axa2a3+log2,根据

D

〃+ln

[t=~\

已知条件化为（，+1）凡+「（，+log24）=。，解得c，由此求出4=4,即可求出数列也｝

凶=2

的通项公式.

【详角星】（1）由题意可得2=1+1,3=lx2+l,7=lx2x3+l,43=2x3x7+1,

所以1,2,3,7,43是"“⑴数列”；

（2）数列｛g｝不是"〃⑺数列"，理由如下：

c,=1+'=叶1（aeN*）,贝！lq,+i=£=（neN*），

nnn+1

p234n+\1/*、

又qc2c3…------=n+l（neN）,

123n

所以g+i-qc2c3…c"="|一（〃+l）=」7-〃（”eN*）,

n+1n+1

因为w一〃不是常数，所以数列｛%｝不是""⑺数列"•

（3）因为数列｛%｝为"“«）数列"，由用+log2b“T（〃eN*），

n

z=l

有Z。；…〃〃+log2d（〃EN*）①，

n

i=l

所以…凡凡+l+log2%（〃£N*）②，

77+1

b

两式作差得%+l=（«n+l-1）•••«„+l°g2-^T-（〃WN*）,

bn

又因为数列｛%｝为""（r）数列"，所以%—=41?%,,•可（〃eN*），

设数列出｝的公比为4,所以晨1=（%+「1）（q+「「）+log24（〃eN*）,

即（f+l）a„+1-（?+log2q）=0对V”eN*成立，

"1=0\t=-l

则｛ic*c，

[z+log2q=0[q=2

又q=2,<2；=ax+log2Z?1,得仿=4.

所以b“=4x2"T=2向，t=-l.

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）给定数列｛%｝,称｛。向-4｝为｛4｝的差数列（或一阶

差数列），称数列｛%+「4｝的差数列为｛%｝的二阶差数列，若。.=3".

⑴设｛叫的二阶差数列为也｝,求也｝的通项公式.

（2）在（1）的条件下，设c“=bg39+a，求｛g｝的前〃项和为■

【答案】（1）2=4-3"

（2）7；.=2-3-+y+^-6

【分析】（1）借助定义计算即可得；

（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.

+I

【详解】（1）fl„+1-a„=3"-3"=2-3",则勿=2・3用-2-3"=4・3"；

44.3"

4

（2）cn=log3+^„=log3——■F4-3"=n+4-3",

则八U++

1-3222

5.（2024•安徽池州•模拟预测）定义:若对WkeN*,左>2,%+%<24.恒成立，则称数列何｝

为"上凸数列

（1）若a“=V7二L判断｛%｝是否为"上凸数列"，如果是，给出证明；如果不是，请说明理

由.

（2）若｛%｝为"上凸数列"，贝IJ当m2〃+2（九〃€河）时，am+an<am_x+an+i.

（回）若数列S”为｛q｝的前〃项和，证明：S„>j（a1+aK）;

（回）对于任意正整数序列%,％2,尤3,-，冷•，%（〃为常数且〃22,weN*）,若

>收一12x―2j-1恒成立，求久的最小值.

【答案】①是，证明见解析

（2）（E）证明见解析；（国）n-1

【分析】（1）构造函数f（x）=^x+l）2-1-47^1,x>l,利用导数研究其单调性结合"上凸

数列"定义判定即可；

（2）（0）利用"上凸数列"定义及倒序相加法证明即可；令4=病二L利用条件及数列求

和适当放缩计算即可.

【详解】（1）｛七｝是"上凸数列"，理由如下：

因为a“=\ltr—1,an+l—an=+1），-1—J"2一],

令f(x)=J(x+1)2_]-J尤2x>1,

mil「(尤)=Ix+1r^=-J(X+1)3(XTA巧元+

人」底西g-而EFT

当尤31时，(九+1)3(犬一1)—d(X+2)=—2x—1<0,

所以J(X+I1(%-1)<(%+2),

所以-(x)V0"(x)在区间［1,+8)上单调递减，

所以/(〃)>/5+1),%—。〃+2—a九+if

所以*+”.42%,

所以｛4｝是"上凸数列

(2)(0)证明：因为｛%｝是"上凸数列"，由题意可得对任意14区”(iwN*

4+an_M>4T+a,I+?24-2+a„_M-->a2+an_x>ax+an,

所以2S"=(q+%)+(出+。"-1)+…+(a“_i+%)+(%+%)'〃(%+%)，

所以S”>^(aj+a„).

(El)解：令%=y/n2-1,

由(i)可得当%=而［7时，｛q｝是“上凸数列”，

由题意可知,当〃亚"+2(〃?,〃eN*)时，am+an<am^+an+l.

因为ZJx；-1=Jx；-1+也；-1+Jx；-1+•­•+小x；-1,

Z=1

即yjx；-1=Jx；-1+-1+y/xj-1T--

i=l

所以ZJ%；-1-J(%1_西+1)2—1+《X；-1+•••+

z=l'

当且仅当玉=%=…=々.I时等号成立，

所以九2"-1.

综上所述，几的最小值为n-1.

6.（2024•江西南昌•一模）对于各项均不为零的数列｛c,J,我们定义：数列［于］为数列｛%｝

的""比分数列”.已知数列&｝,｛〃｝满足4=a=1,且｛4｝的分-比分数列〃与也｝的"2-比

分数列”是同一个数列.

（1）若｛〃｝是公比为2的等比数列，求数列｛4｝的前"项和S“；

（2）若也｝是公差为2的等差数列，求凡.

【答案】（1电=3（4"一1）；

（2）a„=1x（4«2-l）.

【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前”项和即可.

（2）利用累乘法求通项公式即可.

（2b

【详解】（1）由题意知」包=资，

因为4=1,且也｝是公比为2的等比数列，所以如=4,

an

因为q=i,所以数列｛凡｝首项为1,公比为4的等比数列，

而21x0-4"）1..

所以s=—----i=-Lx（4"-lV

（2）因为4=1,且｛，｝是公差为2的等差数列，所以2=2〃-1,

4+12+2一2"+3

所以一一丁一^一T，

a„b,2n-l

pj-pia”_2"+1a”7_2"-1."_5

加以丁一2a-3,初—2〃-5".‘…4―1'

所以&=（2"+?（:T）,因为［=1,

q3x1

所以4=gx（4/一1）.

7.（2024•黑龙江•二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称

这个数列为"G型数列

（1）若数列｛%｝满足2%=5“+1,判断｛q｝是否为"G型数列"，并说明理由；

⑵已知正项数列｛%｝为"G型数列"，4=1,数列也｝满足包=4+2,〃eN*,也｝是等比

数列，公比为正整数，且不是"G型数列"，求数列｛风｝的通项公式.

【答案】⑴不是"G型数列"，理由见解析；

⑵%=3"-2

【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；

（2）利用｛叫为"G型数歹1J”和也｝是等比数列,且不是"G型数列"可求得也｝的公比为3,

即可求出数列也,｝的通项公式为4=3"-2.

【详解】（1）易知当〃=1时，可得2%=H+1=4+1,即〃1=1；

而当〃=2时，2a2=S2+1=q+%+1,可得%=2；

止匕时&=；=2<3,不满足"G型数列"定义，

猜想：数列｛%｝不是"G型数列"，

证明如下：

由2。“=5“+1可得，当”22时，2%=50_[+1,

两式相减可得2。"-2a,i=Sn-=an,可得an=2an_x,

此时从第二项起，每一项与它前一项的比为2=2<3,因此｛凡｝不是“G型数列〃；

an-\

（2）设数列也｝的公比为4,易知qeN*,

又因为数列也｝不是"G型数列"，可得

从口+2

可得黄=个7=4,即得％=W“+2”2；

24+2

又数列｛%｝为"G型数列"，可得叽=4+"2〉3.

易知"G型数列"为递增数列，因此当〃趋近于正无穷大时，q+--趋近于心即可得“23；

%

综上可得4=3,即%+i=3%+4,可得a*]+2=3（4+2）；

所以数列｛%+2｝是以％+2=3为首项，公比为3的等比数列；

即可得见+2=3X3"T=3"可得4=3"-2；

所以数列｛凡｝的通项公式为““=30-2.

8.（2015高二・全国•竞赛）设数列｛凡｝满足：①4=1;②所有项々"©N*；③

1=4<出<…<4<4+1<….设集合4=｛n]an<m,meN*j,将集合4,中的元素的最大值

记为鬣.换句话说，粼是数列｛4｝中满足不等式巴的所有项的项数的最大值.我们称数列

也｝为数列｛凡｝的伴随数列.例如，数列1，3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

⑴请写出数列1，4,7的伴随数列；

⑵设册=3-，求数列｛凡｝的伴随数列也｝的前20之和；

⑶若数列｛q｝的前"项和S“=1+。（其中c常数），求数列｛4｝的伴随数列｛0｝的前机项和

【答案】⑴1,1,1,2,2,2,3

(2)50

2

m+17)z、

4,(m=2r-l,reN*)

⑶T,"=*

一'——-eN*)

【分析】（1）由数列的新定义直接写出即可;

（2）由数列的新定义结合对数的运算求出即可;

（3）先由S,,求出与，再由数列新定义求出力，再分机为奇数和偶数时分别求出答.

【详解】（1）数列L4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,（后面加3算对）

(2)由a"=3"T4〃z,<l+log3m(meN*)

团当1工加工2,相£^^*时，bx=b2=l

【答案】⑴2,5,8,11,8,5,2

（2）答案见解析

【分析】（1）由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；

（2）由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.

【详解】（1）设仍,｝的公差为d,则a=4+31=2+31=11,解得d=3,

，数歹!]也,｝为2,5,8,11,8,5,2.

（2）若1,2,22,.,2皿一依次是该数列中连续的项，且是对称数歹U，

则至少有1+2（