2024-2025学年沪教版九年级数学上学期复习：相似三角形

专题02相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4

种题型解读）

考点侪单

★相似三角形的预备定理

❶相似三角形判定定理1

相似三角形的判定❷相似三角形判定定理2

❸相似三角形判定定理3

❹直角三角形相似判定定理

相似三角形

★定义：对应角相等，对应边成比例

❶相似三角形性质定理1

相似三角形的性质

❷相似三角形性质定理2

❸相似三角形性质定理3

【清单01】相似三角形的判定

预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形

与原三角形相似;

判定定理1:两角对应相等，两个三角形相似;

相似三角形的

判定定理2：且角相

判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似；

RtA相似的判定：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

【清单02】相似三角形的性质

'基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;

‘性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比；

、性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.

题型帐单

【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）

【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4,那么它们的对应中线的比为

A.1:16B.1:2C.1:4D.1：V2

【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1:4,然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可.

【解答】解：•.•两个相似三角形的周长比为1:4,

.•.它们的相似比为1:4.

.•.它们的对应中线的比为1:4,

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键.

【变式「1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么它们对应边之比为（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可.

【解答】解：•••两个相似三角形的周长比为1:4,

它们的对应边的比=1:4.

故选：B.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的

平方.

【变式1-2］（2023秋•黄浦区期末）已知：dABigs△4避夕2s△A3B3c3,如果△4月。|与△A&C2的

相似比为2,与△4尾。3相似比为明那么△/内。|与△4名。3的相似比为（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出44与44的比值，也就是两三角形的相似比.

【解答】解：△481Gs△422c2s△A3BG,如果△4AG与4422c2的相似比为2,△A2B2C2与4

423c3相似比为4

/.AR:A2B2=2:1,A2B2:A3B3=4:1,

设A3B3=x,贝UA2B2=4%4耳=8%,

4^1:=8：1,

.•.△4月。1与△4员。3的相似比为8.

故选：D.

【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出同月与4质的比值，也就是两三角形的相似比.

2

【变式「3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7,小三角形的周长为20cm,

大三角形的周长是cm.

【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解.

【解答】解：根据题意得，相似比为5:7,

大三角形的周长是20+：=28（cm）,

故答案为：28.

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角

形的周长比等于相似比是解题的关键.

【变式1-4]（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9,那么这两个相似三角形的

面积比为.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解.

【解答】解：•••两个相似三角形的周长比为4:9,

.•.相似比为4:9,

.,.这两个相似三角形的面积比为16:81,

故答案为：16:81

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【变式『5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要

以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是—平方分

米.

【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股

定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角

形的三边最大，面积最大，

设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是。分米，6分米，

3:6=4:a=5:6,

。=8,6=10,

.•.其他两条边的长分别是8分米，10分米，

62+82=102,

.•.做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，

.•.做出的三角形的面积为』x6x8=24（平方分米）.

2

故答案为：24.

【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与三角形框架模型的

3

边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问题的关键.

【变式1-6](2023秋•金山区期末)在A48C中，AC=6,P是48边上的一点，。为/C边上一点，直

线尸。把A43c分成面积相等的两部分，且A4PQ和A48c相似，如果这样的直线尸。有两条，那么边48长

度的取值范围是.

【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答.

【解答】解：如图，当AXPQsAASC时，

-----二(---)=—,

FBC4B2

.•.只要满足这=邈=亚，都能满足题意,

ABAC2

如图，当时，

..二尸。_（4P）2_j_

"~S^~AC—5'

.AP_AQ

AP=—AC=342,AQ=—AB,

22

vAPAB,AQAC,

4

5

AB372,—AB6,

2

3A/2AB6V2,

当N8=6=/C时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况，

/.AB,

综上所述，直线尸0把AA8C分成面积相等的两部分，且ZUP。和ZU8C相似，如果这样的直线尸。有两条,

那么边”长度的取值范围是3直AB6亚且4836.

故答案为：3夜AB6a且

【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.

【变式1-7］（2023秋•普陀区期末）如图，在AA8C中，NACB=90。，CD是N8边上的高，如果NC=5,

CD=4,那么与ACS。的相似比左=.

【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解.

【解答】解：是48边上的高，

ZADC=90°,

■：AC=5,CD=4,

AD=4AC1-DC2=3,

VZACB=90°,CD是N8边上的高，

ZADC=ZBDC=90°,

•••N4+ZACD=ZBCD+ZACD=90°,

ZA=/BCD,

:.AACDs&CBD,

AD3

z.\ACD与\CBD的相似比左二——二一.

CD4

故答案为：I.

ADB

5

【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义.

【考点题型二】相似三角形的判定（共7小题）

【例2】（2023秋•金山区期末）如图在4x1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点

为顶点的三角形称为格点三角形，A42C就是一个格点三角形，现从A42C的三个顶点中选取两个格点，再

从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与A48c相似的有（）

C.3个D.4个

【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可.

【解答】解：如图,

根据勾股定理得，AD=Vl2+12=V2,AC=732+12=V10-BC7f+F,BE=@+F=石,

CF=A/22+12=V5，

XvAB=2,CD=2,BF=1,

AD,CDAB_2=收，生="=收，"日

--=1,---=

CBAB条I~BC42CE1BF

AC=V2，

ADCD_ACABAC_BCBC_AB_AC

~CB~~AB~^4C，拓一拓―_5C-CF

...\ABC^\CDA,AABCSMCE,\ABC^\CBF,

故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键.

【变式2-1］（2023秋•奉贤区期末）如图，将A45C绕点8顺时针旋转，使得点4落在边/C上，点/、C

的对应点分别为。、E,边DE交BC于点F,联结下列两个三角形不一定相似的是（）

BC

6

A.AB4D与ABCEB.ABD尸与AECRC.NDCF与2EFD.NDBF与NDEB

［分析］根据旋转的性质得到AB=DB,/ABC=ZDBE,BC=BE,ZA=ZBDD,ZACB=ZDEB,再

根据相似三角形的判定定理判断求解即可.

【解答】解：如图，

根据旋转的性质得，\ABC=ADBE,

AB=DB,NABC=ZDBE,BC=BE,ZA=ZBDD,ZACB=NDEB,

ABDB

ZABD=ACBE,

BC~BE

NBAD^NBCE,

故N不符合题意;

ZABD=NCBE,AB=AD,BC=BE,

ZA=ABDA=ABCE=NBEC,

NBDF=ZECF,

又；ZBFD=ZEFC,

ABDFSRECF,

故8不符合题意；

NDCF=ZBEF,ZDFC=NBFE,

NDCFSABEF,

故C不符合题意；

根据题意，无法求解ADBF与NDEB相似，

故。符合题意；

故选：D.

【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是

解题的关键.

【变式2-2］（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是（）

A.两个直角三角形B.两个等腰三角形

7

C.两个等边三角形D.两个面积相等的三角形

【分析】由相似三角形的判定，即可判断.

【解答】解：4、B、。中的两个三角形不一定相似，故/、2、。不符合题意;

C、两个等边三角形相似，故。符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方

法.

【变式2-3]（2024•静安区校级模拟）如图，已知AA8C与A&DE都是等边三角形，点。在边ZC上（不

与点/、。重合），DE与48相交于点尸，那么与A5Z）厂相似的三角形是（）

A.NBEFB.NBDAC.NBDCD.M.FD

【分析】由相似三角形的判定，即可判断.

【解答】解：••,AABC与ASDE都是等边三角形,

NE=ZBDE=ZEBD=60°,ZC=ZA=ZABC.

A＞只有=尸=60。，A5E/和A5D厂不一定相似，故N不符合题意；

B、由ZBDF=ZA=60°,ZDBF=NABD,推出ABDF^ABAD,故B符合题意；

C、只有N8D尸=NC=60。，ASDb和ABCO不一定相似，故C不符合题意；

D、只有乙8。/=乙4=60。，AS。尸和A4FD不一定相似，故。不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法.

【变式2-4]（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，/、B、C、D、M、N都是格点，从/、

B、C、。四个格点中选取三个构成一个与A4MV相似的三角形，某同学得到两个三角形：①AA8C；②

AABD.关于这两个三角形，下列判断正确的是（）

A.只有①是B.只有②是C.①和②都是D.①和②都不是

8

【分析】根据勾股定理求出A43。、AABC、的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断即

可.

【解答】解：由图形可知，AM=2,AN=4,

MN="'+22=275，

AB=JzF?=2>/2,

AC=V32+32=372,

BC^yj52+12-V26,

AD=d6。+2?=2回,

BD=N『+甲=40,

AB_BD_AD_

AM~AN~MN~'

NABD^^MAN；

-A-B-w-A-C-，

AMAN

AABC与\AMN不相似，

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键.

【变式2-5]（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，ADHBC,NC与助相交于点O,点E在线

段。8上，/£的延长线与8c相交于点/，OD2=OBOE.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如果8C=8。，AE-AF=ADBF,求证：AABE^AACD.

9

【分析】（1）由已知得出丝二"，由平行线得出A4ODSAC,得出土二"，证出匕=丝，得

ODOBOCOBOCOD

出/产//CQ,即可得出结论；

RFBF

（2）由平行线得出=曲EFs'BDC,得出一=——，证出=由已知得出

BDBC

—,由平行四边形的性质得出/尸=CD,得出理=丝，由相似三角形的判定定理即可得出结论.

BFAFBEDC

【解答】（1）证明：•.•。02=。mQB,

OEOD

"~OD~~OB'

•・•AD/IBC,

/.\AOD^\COB,

OAOD

"~OC~~OB

OAOE

'~OC~~OD

AFI/CD,

四边形是平行四边形；

(2)证明：•.・4尸//CO,

/.ZAED=ZBDC,ABEFs^BDC,

BE_BF

"访一旅‘

BC=BD,

BE=BF,/BDC=/BCD,

/.ZAED=/BCD.

ZAEB=180。—ZAED,NADC=180。—/BCD,

/AEB=/ADC.

•;AE,AF=AD•BF,

AE_AD

,而-IF'

・.,四边形AFCD是平行四边形，

10

AF=CD,

AEAD

~BE~~DC'

NABE^AADC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性

质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键.

【变式2-6］（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在A4BC中，点。、E分别在边48、4C上，DE//BC,

EB平分/DEC.

AEAB

（1）求证:

EDBD

BE2AE

（2）如果——7=——，求证:\ABE^\ACB.

BC1AC

【分析】（1）根据平行线的性质得出理=W2,NBED=NCBE,则江=丝，根据角平分线定义及平行

CEBDCEBD

线的性质得到QE=4EC,则2C=CE,根据相似三角形的判定与性质得出看=笔=有，根据比

例的性质及等量代换即可得解;

（2）结合（1）及题意推出些=匹，结合NBED=NBEC,推出ABEOSACEB,根据相似三角形的性质

CEBE

得出NDBE=NBCE,结合NB4E=NC4B,即可判定.

【解答】证明：（1）•・・£>£//8C,

AEAT)

——,ABED=ZCBE,

CEBD

AEAD

二.——+1A=-----+1A,

CEBD

ACAB

CEBD

■：EB平分NDEC,

ABED=ZLBEC,

NCBE=ZBEC,

/.BC-CE,

•・•DE/IBC,

\ADE^ABC,

11

AEDE_DE

"~AC~^C~~CE'

.AEAC

'^E~~CE'

_ACAB

•瓦一访‘

.AE_AB

"法一茄；

⑵・工£BC=CE,我=①，

BC2ACACCE

BE。_DE

"~CE^~~CE'

BEDE

"~CE~~BE,

又ABED=NBEC,

ABEDsACEB,

NDBE=NBCE,

即ZABE=ZACB,

又/BAE=ZCAB,

\ABE^\ACB.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）

【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点。、E分别在A48c的两边/2、AC±,由下列哪一组条件可以推

出DE//BC()

2CE_2AD_2DE_2

AA.——AD二一,B.

BD3~AE-3~AB-3：-3

「AB3ECAB4AE_4

C.——二-9D.

AD2~AE~2~AD一5而-3

【分析】对于选项c,证明AD4ESA84C,根据相似三角形的性质得到ZADE=NN8C,根据平行线的判

定定理证明.

【解答】解：/、不能推出。E//BC,不符合题意;

B、不能推出。E//3C,不符合题意；

C..EC」

AE2

AC_3

-----=—,

AE2

AB3

.~AD~2?

12

ACAB

,,瓦―而'

•••ZA=ZA,

ADAE^ABAC,

NADE=ZABC,

DE/IBC,本选项符合题意；

D、不能推出。E//8C,不符合题意;

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关

键.

【变式3-1］（2023秋•长宁区期末）已知在A43C与中，点D、。分别在边8C、B'C上,（点D

不与点8、。重合，点。'不与点8'、。重合）.如果A4DC与△4。。相似，点/、。分别对应点4、D',

那么添加下列条件可以证明A48c与相似的是（）

①4。分别是A48C与△43'C'的角平分线；

②AD、4。分别是A43c与的中线；

③40、4。分别是AZ8C与△/®C'的高.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论.

【解答】解：如图，

13

ABAD=ACAD,ZB'A'D'=ZC'A'D',

又,:\ADC^△A'D'C,

ACAD=ZC'A'D',ZC=ZC,

:.ZBAC=ZB'A'C,

ABACs△B'A'c',

故添加条件①可以证明A4BC与^A'B'C'相似;

②AD、4。分别是A43c与△4"C’的中线,

BD=CD,B'D'=CD',

又；KADC^△A'D'C,

AD_CD

ZADC=ZA'D'C

A'D'^~CD'

ADA'D'

ZADB=ZA'D'B',

BD~Bly

AABDs△A'B'D',

ZB=ZB',

又•.•NC=/C,

ABACs△B'A'C',

故添加条件②可以证明NABC与^A'B'C相似;

③40、4。分别是AZ8C与△43C的高，NADC^△A'D'C,

D

由图形可知，AA8C与不相似，

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式3-2］（2023秋•静安区期末）在A48c中，点、D、E、尸分别在边8C、AB>AC±,联结DE、

DF,如果。E///C,DF/IAB,且/E:E2=1:2,那么4F:FC的值是（）

A.3B.-C.2D.-

32

【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可.

【解答】解：如图:

14

A

BDC

vDE//AC,AE:EB=1:2,

•CD

,^E~BD~2"

，胆=2,

CD

•・.DF//AB,

AFBDc

--=---2,

FCCD

故选：c.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键.

【变式3-3］（2023秋•金山区期末）已知点E是平行四边形的边/。上一点，联结CE和相交于

点尸，如果4E:ED=1:2,那么。尸：尸2为（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.2:5

【分析】由平行四边形的性质得NO//C3,AD=CB,由/E:EO=1:2,W—=—=-，再证明

CBAD3

ADFE^ABFC,得丝=2=4,于是得到问题的答案.

FBCB3

【解答】解：•・•四边形/5C。是平行四边形，

ADI/CB,AD=CB,

-AE:ED=1:2,

EDED_2

vED//CB,

/.\DFE^\BFC,

DFED_2

故选：C.

4——殳--7。

Bc

15

【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AD/ESA跳7c是

解题的关键.

【变式3-4]（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC三边上点£）、E、尸，满足DE//BC,EF//AB,那

么下列等式中，成立的是（)

人DEAEAD_BFDEABADBF

A.——二——O.=C.D.

EFECDBFCEFBCDBBC

【分析】由题意可证四边形AD斯是平行四边形，可得BD=EF,DE=BF,由相似三角形的性质和平行

线分线段成比例依次判断可求解.

【解答】解：•♦・OE//BC、EF//AB,

ZADE=ZB=NEFC,ZAED=ZC,

△ADEs△EFC,

DE_AEADDE

故4错误;

~CF~~EC^F~~CF

,:DE/IBC、EF/IAB,

四边形AD跖是平行四边形,

BD=EF,DE=BF.

AD_BF

故正确;

而一瓦5

AB_AD

故错误;

菸一法C

ADAE

—,故。错误,

法~CECF

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.

【变式3-5]（2023秋•徐汇区期末）如图，点。是AA5C内一点，点£在线段5。的延长线上，BE与AC

交于点。，分别联结4D、AE,CE,如果些=丝=/，那么下列结论正确的是（）

ABACBC

16

A

BD=ADC.NABE=/CBED.BO•AE=AO•BC.

【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可.

AD_AE_DE

【解答】解:

~AB~~AC~^C

\ADE^\ABC,

:.NACB=NAED,ABAC=ZDAE,

/BAD=/CAE,

NAOE=ZBOC,

:.\AOE^\BOC,

.AOBO

・,瓦―氤'

BOAE=AOBC.

二•。选项的结论正确.

_AD_AE

•~AB~^C'

ABADsACAE,

/./ABE=/ACE,

显然OE与OC不一定相等，

NACE与ZBEC不一定相等，

.•.CE与助不一定平行，

A,C不一定正确，

••・8。与4。不一定相等，

不一定正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

ARA

【变式3-6］（2022秋•虹口区期末）如图，点。分别在A4BC边45、4C上，——=——=3,且44£。=/5，

ADCE

那么丝的值为（）

AC

17

A

【分析】根据题意，可以先设45=3q,AD=Q,AE=3b,CE=b,再根据题意可以得到ATUESACZB,

然后即可得到丝的值.

AC

【解答】解：•.•丝=理=3,

ADCE

.•.设45=3。，AD=a,AE=3b,CE=b,贝！J/C=46,

•/ZAED=ZB,ZDAE=ACAB,

/.\DAE^\CAB,

AD_AE

,AC~AB，

即色=2,

4b3a

解得q=2,

b

ADa\\

-----————x2——,

AC4b42

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【变式3-7](2023秋•浦东新区校级月考)如图所示，过△/BC的顶点C作任一直线与边48及中线40分

别交于点歹和E,过点D惶DMIIFC交AB于点M.

(1)右S^AEF:S四边形MOEF=2:3,求AE:ED.

(2)试说明/£.尸8=2/尸.£7).

C

【分析】(1)利用相似三角形的性质解决问题即可.

(2)利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可.

【解答】(1)解：•••M//DM,

18

△AEFs△ADM,

,•S^AEF■$四边形AfflEF=2：3，

,AE_[2

"7D~\~5~45,

.AE41Vio+2

"DE一途-血一3

(2)证明：VDC=DB,

FM=MB=-FB,

2

•••DM//CF,

AE:ED=AF:FM,

即AE:ED=AF\-FB,

2

AE:ED=2AF:FB,

:.AEFB=2AF-ED.

【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,

所得的对应线段成比例.同时考查了比例的性质.

【变式3-8]（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在中，点。在边上，且边3c的

垂直平分线斯交边NC于点E,BE交AD于点G.

（1）求证：△BDGs△CBA；

（2）如果△/OC的面积为180,且/8=18,DG=6,求A/BG的面积.

【分析】（1）由48=/。得至1」/48。=//。8,根据线段垂直平分线的性质得到£8=EC,则NE8C=NC,

然后根据相似三角形的判定方法得到结论；

（2）由（1）知△BOGSZXCB/,可得空=丝1,而/3=18,DG=6,即可得处=1，

ABBCCD2S.ACD2

19

又Su%=180，故SEBO=90,因/G=12,-=即得S=2$=2x90=60.

△△/1DU2A3△/1DU3

【解答】（l）证明：・.・45=4D,

.*./ABD=ZADB,

•.•M垂直平分BC,

/.EB=EC,

/EBC=ZC,

•・•ZGBD=ZC,/BDG=ZCBA,

△BDGs△CBA；

（2）解：由（1）知

DGBD

•••45=18,DG=6,

BD_6

,,^C-18-3,

BD

/.---=—,

CD2

.SAABD_1

..-------——J

SArn2

.-80,

•，-SAABD=90，

vAD=AB=18fDG=6,

:.AG=12,

DG

.---=一,

AG2

c1

.^ABDG_'

..------------—―,

S^ADRICJ2

22

S.BG=§S.ABD=yx90=60.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理.

【变式3-9］（2022秋•杨浦区期末）如图，RtAABC中，ZACB=90°,。是斜边48上的中点，E是边BC

上的点，AE与CD交于点、F,且/。2=°6.圆.

（1）求证：AELCD；

（2）连接8/，如果点£是BC中点，求证：ZEBF=ZEAB.

20

【分析】（1）先根据题意得出ZUCBSA£C/,再由直角三角形的性质得出CD=/。，由NC/D+N/8C=90。

可得出ZACD+NEAC=90°,进而可得出ZAFC=90°；

（2）根据/E_LCD可得出NEFC=90。，ZACE=ZEFC,故可得出AECFsAE/C,再由点E是BC的中

点可知CE=,故些=空，根据ZBEF=ZAEB得出\BEF^\AEB,进而可得出结论.

EABE

【解答】证明：（1）VAC2=CE-CB,

ACCB

"CE~AC'

又•；NACB=NECA=9Q。

NACB^AECA,

ZABC=ZEAC.

•.•点。是N3的中点,

二.CD=AD,

:.NACD=NCAD

•・•ZCAD+ZABC=90°,

:.N4CD+NE4c=90。

ZAFC=90°,

AE1CD

(2)•/AE1CD,

/EFC=90°,

NACE=/EFC

又•・•/AEC=/CEF,

\ECF^\EAC

ECEF

…~EA~^C

・・•点£是5。的中点,

/.CE-BE,

21

BE_EF

豆一蕨

/BEF=/AEB,

\BEFs\AEB

NEBF=NEAB.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

【变式3-10](2022秋•嘉定区期末)如图，已知在A45C中，AB=AC,点D、E分别在边CB、4C的

延长线上，且NDAB=NEBC,匹的延长线交4。于点尸.

(1)求证：NDBFs'EBC；

(2)如果=求证：EC2=DFDA.

【分析】(1)先根据三角形外角的定义得到NQ=NE,即可证明bSA^BC；

(2)先证明ADBFsgAB得至"DB?=D4•DF,再根据44s证明A4QB二A8EC,即可证明.

【解答】证明：(1)=,

/.NABC=NACB.

•;/ABC、分另I」是AAD8和的外角，

:./ABC=/DAB+ND,ZACB=ZEBC+ZE,

/DAB=/EBC,

/.ND=NE.

又ZDBF=ZEBC,

M)BFSNEBC.

(2)•:/DBF=NEBC,NDAB=NEBC,

22

/DBF=ZDAB.

•・•/D=/D,

\DBF^\DAB,

DB_DF

,,~DA~~DB'

即。笈=DA-DF.

在AADB和AfiEC中，

ZD=NE

<NDAB=NEBC,

AB=BC

AADB=ABEC(AAS),

BD=EC,

EC2=DF-DA.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握

各知识点是解题的关键.

【变式3-11](2022秋•闵行区期末)己知：如图，在A48c中，AB=AC,点、D、E分别是边/C、AB

的中点，DF1AC,。9与CE相交于点尸，N歹的延长线与8。相交于点G.

(1)求证：ZABD=ZACE；

(2)求证：CD2=DGBD.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；

(2)利用线段垂直平分线的性质和(1)的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】证明：(1):点D、£分别是边NC、的中点，

AE=-AB,AD=-AC,

22

AB=AC,

23

AD=AE.

在\ADB和\AEC中，

AD=AE

<ABAD=/CAE,

AB=AC

\ADB=\AEC(SAS),

/./ABD=NACE；

(2)-DFLAC,点。是边4C的中点，

DF是AC的垂直平分线，

/.FA=FC,

NFAC=/ACE.

由(1)知：/ABD=NACE,

ZFAC=/ABD.

ZADG=ABDA,

\ADGsABDA,

AD_BD

"茄一茄’

AD2=DG•BD.

•・•点。是边的中点,

AD=-AC=CD,

2

CD2=DG,BD.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三

角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式3-12](2023秋•静安区期中)已知：如图，四边形45C。是平行四边形，在边45的延长线上截取

55=45,点尸在4E的延长线上，CE和正交于点和。方交于点N.联结50.

(1)求证：\BND^\CNM；

(2)如果NO?尸，求证：CMAB=DMCN.

24

【分析】（1）利用平行四边形的性质得”=CO,ABI/CD，再证明四边形8EC。为平行四边形得到8D//CE,

根据相似三角形的判定方法，由CMHDB可判断ASNDsACNM；

（2）先利用AD?=."尸可证明MDB^MFD,则Zl=ZF,再根据平行线的性质得ZF=Z4,Z2=Z3,

所以/3=/4,力口上/NA/C=/CM）,于是可判断AWCsAMCD,所以MC=CN:CO,然后利用

CD=AB和比例的性质即可得到结论.

【解答】证明：（1）•.•四边形/BCD是平行四边形，

AB=CD,AB//CD,

而BE=AB,

BE=CD,

而BE11CD,

二.四边形为平行四边形，

BD/ICE,

•••CM//DB,

:ZNDs'CNM；

（2）AD2=AB-AF,

AD:AB=AF:AD,

而ZDAB=ZFAD,

,AADB^AAFD,

N1=/尸，

vCD//AF,BD/ICE,

/.NF=N4,Z2=Z3,

/3=/4,

而ZNMC=ZCMD,