2024-2025学年北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似（B卷·培优卷 单元重点综合测试）（解析版）

第四章图形的相似（B卷•培优卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

A卷（共100分）

第I卷（选择题，共32分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.如图，四边形A8CD与四边形EFGH位似，位似中心是O,若且四边形A3C。的周长为

4,则四边形EFG8的周长为（）

C.20D.24

【答案】A

【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1：3,即可得解.

【详解】解：由题知：OA:OE=l3

3CADCB=CRGFE=3X4=12,

故选4.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键.

2.如图，直线乙〃4〃4,直线。，b与直线4,k，4分别交于点A,B,C和点O,E,尸，若AB：3c=2：3,

)

C.7D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到部=分，据此代

BCEF

值计算即可.

【详解】解：・・・4〃/2〃/3,

.AB_DE

VAB：BC=2：3,EF=9,

・DE_2

••=一,

93

DE=6,

故选B.

3.如图，点£是：ABCD的边AD的中点，班平分—ABC交AC于点后下列结论不正确的是（

A.BF=3EFB.CD=DEC.CF=2AFD.S,=2S

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质得出AD〃5C,进而得到△但w，得出B等F=表BC=与CF，结合线

段中点性质即可判断A,C选项；再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质即可判断B选项；最后根据

△AM和AAEF中，底边防和石尸上的高相等，比较底边即可判断D选项.

【详解】解：・.•四边形ABC。是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,AB=CD,

:・AAEFS&CBF,ZAEB=ZCBE,

.BFBCCF

•・而一直一耘’

TE是AZ＞的中点，

・・・AE=DE=-AD=-BC,

22

BFBCCF

***=——=~■—=2,即卸三Z£F,CF=2AF,故A选项错误，C选项正确；

EFEAAF

BE平方NABC,

；・ZABE=NCBE,

JZABE=ZAEB,

/.AB=AE,

：.CD=DE,故B选项正确；

;在和AAEF中，底边防和肝上的高相等，BF=2EF

SABF=2SAEF,故D选项正确;

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质

与判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

4.如图，把菱形ABCD沿着它的对角线AC方向平移1cm,得到菱形EFG",若AC=4cm,则图中阴影部

分的面积与四边形的面积之比为（）

A.14:9B.3:2C.4:3D.17:9

【答案】A

【分析】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决

MFS9

问题，属于中考常考题型.首先得出△MFCs△以c,则笠=等，进而得出产”=之,即可得出答

ACAD16

案.

【详解】ME//AD,

:.Z\MEC^/\DAC,

.ECME

,AC-An，

，菱形ABCD的对角线AC=4cm,把菱形ABCD沿着它的对角线AC方向平移1cm,得到菱形印GH,

EC3

/.AE=1cm,EC=3cm,/.-----=一,

AC4

.°qACME_Qy

SfDC16

•••图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：::=/=£.

9+9189

故选：A.

5.如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点0,E为AD三等分点且他＞DE,连接CE交3D于点尸,

若.DEF的面积为1,则ABCD的面积为（）

【答案】C

【分析】证明△国4CFB,由相似三角形的性质得出品=器，A=（器＞=:，得出沁=]

求出三角形3。的面积，则可得出答案.

【详解】:四边形A5CD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,OB=OD,

：.ZDEF=/BCF,ZEDF=ZFBC,

:・4EFDACFB,

.EDDF

**BC-BF?

,/E为AD三等分点且

.EDDF_1

**BC-BF-3?

・・・BF=3DF,

,SEFD_（W_J_

SCFB-BF-9'

,-qCFD_1

:J）EF的面积为1,JS^BCF=9,

,・,uqCFD~-）3，

•**SBCD=SCFD+SCFB=3+9=12，

*e•SABCD=25BCD=2x12=24.故选：C.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解本题的关键.

6.如图，直线。〃）〃c〃d〃e,每相邻两条直线之间的距离均相等，点A,B,。分别在直线〃，c,e上，

A5交万于点。，BC交d于点E,C4分别交直线儿。于点G,F.若四边形D£FG的面积为2,贝UVABC

的面积为（）

b

ft

【答案】C

【分析】根据。〃以及每相邻两条直线之间的距离均相等，得到DE,尸分别为各边中点，G

为AF中点，即可证明△BDESABAC,可得沁=；,同理得到#=：,沁=：,再推出

%BACq,△CBA4^^ABF今

S/\ADG=T^/XABF=G^AABC，可*禾U用^AABC=^ABDE+^AC£F+^AADG+^DEFG得到方程，解之可得S.ABC•

4o

【详解】解：a//b//c//d//e,每相邻两条直线之间的距离均相等，

:.D,E,尸分别为各边中点，G为AF中点，

DE//AC,

/\BDE^Z\BAC,

.Sa/B叫1

,•S&BACUsJ4'

同理：.CEFs.CBA,△ADGS^ABF,

SCF

■^EF.fYJS._1

'SACBAUcJ4'S△.一［AB)-“

•,^AABF=S&CBF=5，

**SAADG=S^BF=g^^ABC，

•,^/XABC=S八BDE+S/\cEF+/\ADG+^DEFG

=WS/\ABC+W8AAec+g8AAec+SDEFG=W^AABC+2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理,解题关键是分析出平行于三角形一边的直线截其他两

边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

7.如图，在梯形ABC3中，AD//BC,ZBAD=9(）,AD=1,BC=2,对角线AC、BD交于点E.当边

4B的长度发生变化时，下列说法中正确的是（）

A.点E到边4B的距离不变B.点E到边BC的距离不变

C.点E到边CD的距离不变D.点E1到边D4的距离不变

【答案】A

【分析】先证△EWsAECB得EC=2E4,EB=2ED,贝UAC=3AE,DB=3DE,过点E1作EF_LAB于点

F,过点E作EH/BC,HE的延长线交AD于K,EP_LCD于P,过点。作。。，以？于。，证明

22

△BEFs^BAD得EF=],由此可对选项A进行判断；证明一。石"s,C4B得EH=§A3,由此可对选项3进

行判断；根据KH=AB，得EK=：AB,由止匕可对选项。进行判断；设=贝1」£"=等，EK",

贝|JZ)Q=AB=Q,CQ=1,进而得CD=+1，根据SE4B+S+SEBC+S,EC0=S梯形LCD可得"=2"；+1,由

3/+3

此可对选项。进行判断.

【详解】解：,•四边形ABCD为梯形，AD//BC,AD=l,BC=2,

EAD^ECB,

EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2,

:.EC=2EA,EB=2ED,

:.AC=EA+EC=3AE,DB=ED+EB=3DE,

过点Er作EF_LAB于点F,过点E作班1的延长线交A。于K,£P_LCD于P,过点。作

:.ABEF^ABAD,

EF:AD=EB:DB,

即EF:1=2ED:3DE.

.,•点E到边A3的距离不变，

故选项A正确，符合题意；

QZBAD=90°,AD//BC,

:.ZABC=90°,

又QEHBC,HE1的延长线交AD于K,

四边形为矩形，

:.HK〃AB,HK=AB,

CEH^CAB,

:.EH:AB=EC:AC,

即EH:AB=2EA:3AE,

:.EH=-AB,

3

.,・当边AB的长度发生变化时，E"随A3的变化而变化，

故选项B不正确，不符合题意；

2

KH=AB,EH=-AB,

.-.EK=HK-EH=AB--AB=-AB,

33

•••当边AB的长度发生变化时，EK随AB的变化而变化，

故选项D不正确，不符合题意；

设=则即=彳，EK=%,

ZBAD=ZABC=90°,DQLBC,

二四边形A3QD为矩形，

/.BQ=AD=1,DQ=AB=a,

.\CQ=BC-BQ=2-1=1,

在Rt^OQC中，由勾股定理得：0=7^+CQ2=7771,

SEAB+SEAD+SEBC+SECD=S梯形"8，

：.-ABEF+-ADEK+-BCEH+-CDEP=-(AD+BC)AB,

22222

:.ABEF+ADEK+BCEH+CDEP=(AD+BC)AB,

BP<7X-1+1X-|-+2X-^-+EP-\ja2+1=(1+2)a,

当边AB的长度发生变化时，EP随AB的变化而变化，

故选项C不正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直

线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.

8.如图，在矩形ABCD中，点E在A。上，若4EC=45。且AE=2,ED=1,则AB的长为（）

【答案】A

【分析】分别以A3,为直角边作等腰RtABF和等腰RtADCG,判定,BEF~ECG,即可得到A3的

长.

【详解】解：如图，分别以A3，8为直角边作等腰Rt/供和等腰RtADCG,

依题意得/b=NG=ZBEC=45°,

NFBE+NBEF=NCEG+NBEF=135°,

:.NFBE=NCEG,

BEFs、ECG,

FB_GE

,,近一女’

NNCABI+AB

即-------=~f=

AB+242AB

解得：人3=2±姮

（负值舍去）,

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，作辅助线构造等腰

直角三角形以及相似三角形是解决问题的关键.

第团卷（非选择题，共68分）

二'填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9.如图，在口ABC。中，对角线AC,2D相交于点。，在8A的延长线上取一点E,连接OE交于点R若

CD=5,8c=8,AE=2,贝!|AF=

【答案】y

【分析】过。点作求出AM和M。的长，利用得到关于A尸的比例式，求出

A尸的长即可.

【详解】解：过。点作0M

:四边形ABCO是平行四边形，。8=。。,

・・・0河是4A5O的中位线，

151

AM=BM=-AB=-,OM=-BC=4.

222

'：AF/7OM,

：.AAEF^AMEO,

.AE_AF

•・昂一而‘

2_AF

A2+-4，

2

故答案为：号.

【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题.

10.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心、AC长为半径画弧，交于

点、D,再分别以2、。为圆心，大于二8。的长为半径画弧，两弧交于N,作直线MN,分别交A3、BC

于点E、F,则线段E尸的长为—.

3

【答案】

【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到BE的长，再根据△ABCsaFBE,即可得

至I」EF的长.

【详解】解：:RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

...由勾股定理得，42=后+8?=10,

由题可得，AD=AC—6,

.•.80=10-6=4,

由题可得，垂直平分

：.BE=2,ZBEF=ZACB=9Q°,

又,：

：.△ABCs^FBE,

.EFBE

"~CA~~BC'

2

解得EF

2

3

故答案为：—

【点睛】题主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图

形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点、O,OECD交BC于点、E,连接AE交3D于点孔

【分析】设OE=a,证明0E是△■BCD的中位线，得8=AB=2OE=2A,再证明ABFs-EOF得BF=2OF,

BF

进而得08=8尸+OF=3OF,BD=2OB=6OF,由此可得——的值.

BD

【详解】解：设OE=a,

:四边形ABC。为矩形，对角线AC、BD交于点0,

：.AB=CD,AB//CD,OB^OD=OC=OA=-BD,NDCB=90°,

2

；OECD,则OE_L3C,

BE=CE,则OE是ABCD的中位线，

CD=AB=2OE=2a,

VAB//CD,OECD,

AB//OE,

：..ABFSBEOF,

BF:OF=AB:OE=2a:a=2,

JBF=2OF,

：.OB=BF+OF=3OF,

：.BD=2OB=6OF,

.BF2OF_1

**BD-6OF-3*

故答案为：g.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三线合一，相似三角形的判定和性质，理解

矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.

12.如图，在VABC中，平分/ABC,AFLBF于点F,。为A3的中点，连接叱延长交AC于点E.若

AB=8,BC=10,则线段族的长为.

【答案】1

【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到AD=BD=DF=^AB=4,结合角平分线推出ZDFB=ZCBF,

得到£>E〃3C,进而证得DE是VA3C的中位线，求出。E=ggC=5即可.

【详解】解：尸平分,ABC,

/.ZABF=ZCBF,

；AF_L^'于点尸，。为AB的中点，

/.AD=BD=DF=~AB=4,

2

ZABF=ZDFB,

：.ZDFB=ZCBF,

：.DE//BC,：.AADE^AABC,

.ADAE

.・--=--=1A,

BDCE

・・・DE是VABC的中位线，

DE=-BC=5

2f

：.EF=DE-DF=5-4=1f

故答案为：1.

【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的应用，正确

理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键.

13.如图，NACB=90。,AC=JBC,A。，C瓦JBE，CE垂足分别是Z),瓦AB与EC交于点H,A。=3,8E=l,则

EH的长为.

【答案】；

【分析】先证明△ACDtACBE,得到CE=AD=3,CD=BE=1,求出DE=2,再证明△ADHs/VBEH,利用

DHAD…।

——=—=3求出EH.

EHBE

【详解】・・,NAa=90。,

ZACD+ZBCE=90°,

・.,AD上CE,BE上CE,

：.NADC=NE=90。，

・・・ZDAC+ZACD=90°,

:.ZDAC=ZBCE,

VAC=BC,

AAACD^ACBE,

・・・CE=AD=3,CD=BE=1,

：.DE=2,

VAD±CE,BE.LCEf.,.AD〃BE,

.,.△ADH^ABEH,

.DHAD

•・宙一瓦—’

・・.EH=L

2

故答案为：

2

【点睛】此题考查全等三角形的性质及判定定理，相似三角形的判定及性质定理，正确理解题意，证得

△ACD^ACBE,求出DE=2是解题的关键.

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C,。都在格点上.

B

:C:D::::4

图1图2图3

(1)在图1中，PC:PB=；

(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

①如图2,在4B上找点P,使得AP:PB=1:3；

②如图3,在8C上找点P,使得一

【答案】(1)1:2

⑵①见解析；②见解析

【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键

是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型.

(1)根据网格性质可得AB〃CD,进而可得“APBsDPC,即得PC:P3=AB:CD；

(2)①仿照(1)的图形构造相似比为1:3的相似三角形即可；

②利用对称，即可图形转化为(1)的形式.

【详解】(1)解：；AB//CD,

:._APBs.DPC,

：.PC:PB=CD:AB,

'：AB=2CD,

：.PC:PB=1:2.

(2)①如图中，点P即为所求；

②如图中，点P即为所求;

15.如图，在锐角三角形ABC中，CENAB于点E,点。在边AC上，连接8。交CE于点八且

EFFC^FBDF.

⑴求证：BDLAC-,

(2)求证：AEC^FEB-

⑶连接AF,已知EF:3E=3:5,求AG3c.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)3:5

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键.

(1)证明△BEFsaCDF,得到B£F=NCDP=90。，即可证明结论；

(2)由可得，即可证明相似；

AFEF

(3)根据相似三角形的性质，证明△的s△曲，得至ij=即可求解.

BCBE

【详解】(1)证明：EFFC=FBDF,

.EF_BF

•,而一衣'

/EFB=NDFC,

,△BEFs/\CDF,

:.BEF=/CDF,

CE1AB,

・•./BEF=9伊,

.\ZCDF=90°,

:.BD±AC

（2）证明：由（1）得△BEFs'DF,

:./EBF=ZDCF,

又ZBEF=ZAEC=90°,

AECs/EB；

（3）解：由（2）得/AECsFEB,

.AEEC

,•商一前’

.AEEF

'~CE~~BE'

ZAEF=ZCEB=90°,

:.AAEFSMEB,

.AFEF

EF:BE=3:5

AF:BC=3:5.

16.如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》"大风起兮云飞扬，威加

海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境.小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度A5,

如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着BC的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶

端A的像，小华的眼睛到地面的距离OE=1.6米，CE=1.2米；然后，同一时刻大风阁在阳光下的影子顶端

在〃处，同时，晓丽测得小华身高的影长EG=Q9米，小华的身高麻=1.8米，MC=15.8米，已知

ABLBG,EF1BG,点、B、M、C、E、G在同一水平直线上，点、E、D、尸在一条直线上，请求出大风阁A3

的高度.（平面镜大小、厚度忽略不计）

【答案】大风阁的高度A3为23.7米.

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决

实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问

题转化为数学问题.根据题意得到：ZABC=NFEC=NFEG=90。,ZAMB=NFGE,ZACB=ZDCE,由

此推知AABC^ADEC,所以由相似三角形对应边成比例求得线段A3的长度即可.

【详解】解：由题可得：ZABC=ZFEC=ZFEG=90°,ZAMB=ZFGE,ZACB=ZDCE,

ABMs-FEG,AABC^ADEC.

.ABBMABBC

"~EF^~EG'

,AB_BMAB_BM+15.S

"TS~~0^9'L6-L2--

解得AB=23.7.

大风阁的高度AB为23.7米.

17.在平面直角坐标系中，已知。4=10cm,03=5cm,点尸从点。开始沿Q4边向点A以2cm/s的速度移动；

点。从点2开始沿80边向点。以lcm/s的速度移动.如果尸、。同时出发，用《S)表示移动的时间(0MY5),

⑴用含/的代数式表示：线段PO=_cm；0Q=cm.

(2)当f为何值时△P。。的面积为6cm2?

(3)当△尸。。与VAO8相似时，求出f的值.

【答案】⑴2M5-。

⑵当f=2或3时，三角形P。。的面积为6cm2

⑶当f=1或1时，△尸。。与VAQB相似

【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质，

（1）由运动知，0P=2/cm,OQ=（5—r）cm,得出结论；

（2）根据△尸。。的面积为6cmt建立方程6=gx2/x（5T）,解方程即可求出答案；

（3）分△POQS^AOB或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案.

【详解】（1）由运动知，OP=2rcm,OQ=（5-Z）cm,

故答案为：2M5一）；

（2）由（1）知，OP=2rcm,OQ=（5-r）cm,

POQ的面积为6cm2，

6=ex2/x（5-1）,

.二，=2或3,

.•・当％=2或3时，三角形尸。。的面积为6cm2.

（3）POQ与NAOB相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

POQsAOB或APOQS^BOA,

OPOQ—OPOQ

,OAOBOBOA

当”=①，则且==

OAOB105

5

t=一,

2

当濠胃时，呜*，

当f=』或1时，△POQ与VAO3相似.

2

18.如图所示，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿砂折叠，使点D落在A3边上的点G处，点C落在点X

处，GH交BC于点、K,连接DG交取于点O,DG=2EF.

H

⑴求证：DEDA^DODG；

(2)探索A3与BC的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)BC=2AB,理由见解析

【分析】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据矩形的性质和折叠的性质得出角相等，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；

(2)根据相似三角形的判定和性质和矩形的判定和性质解答即可.

【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，

/.ZDAG=90°,

由折叠性质得：DGLEF,

：.ZDAG=ZEOD=90°,

,/ZGDA^ZEDO,

,.DADG

・・AAADG00△AODE，・・-----=------，

DODE

:.DEDA=DODG；

(2)解：BC=2AB,理由如下：

过点E1作RV_L3c于N,

H

由折叠性质得：DG±EF,

：.ZEOG=ZENF=ZDAG=90°,

・・・NOEN+NDEO=90°,NDEO+/EDO=90。,

:・NOEN=/EDO,即NNEF=/EDO,

*.ADGA^AEFN,

DADGc

-----=------=2则AD=2EN,

ENEF

・・ZAEN=ZA=ZABC=90°,

••四边形ABA石是矩形,

•・EN=AB,

AD=2AB,

：BC=AD,

,・BC=2AB.

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19.如图垂足分别为BQ,42=2,8=4,30=3.若在直线MN上存在点尸,能使与"CD

相似，贝UPB=

【答案】3或1或1±典

2

【分析】分三种情形①延长CA交MN于Pi,此时△PiABs/\PiCD.②当点P2在BD上时.③当点P3在

BD的延长线时,分别列出方程即可即可.

【详解】如图，

AB1MN,CD1MN,

AB〃CD

△PiAB^APiCD,

PXBAB

而一而一万，

・・・PiB=BD=3.

②当点P2在BD上时，设P2B=X,若^ABP2s4CDP2则有而二请，

.2_x

••一，

43-x

x=l,

AP2B=1,

Y2

若ZkABP2s△PzDC,则有：=—,方程无解.

43-x

③当点P3在BD的延长线时，•.,△P3AB^ACP3D,

.P3BAB

.尤_2

,々一尤-3'

，x=史巫或主巫（舍弃）

22

；.P3B=3+屈,

2

综上所述，满足条件的PB的长为3或1或巴亘.

2

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、一元一次方程、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用

分类讨论的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型.

20.如图，在正方形ABCD中，E是边2C的中点，连接AE,过点8作防，AE于点延长跖交0c于

点G,连接则DF勺的值为.

【分析】此题主要考查了正方形得到性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的

判定和性质，理解正方形得到性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质是解决问题的关键.延长BG与的延长线交于点证4的£和，3。6全等得跖=。6,

再根据点E是边BC的中点得CG=DG,由此可证A3CG和△WDG全等，^\\BC=DH=AD,进而得

DF=AD=DH,设BF=a,再证&ABE和△AFB相似得AB:A尸=BEV据此得AF=2a,在RtABF中由

DF

勾股定理得小则小=3岛，由此可得寿值.

【详解】解：延长8G与的延长线交于点如图所示:

四边形A5CD为正方形,

.\AB=BC=CD=AD,ZABC=ZC=ZCDA=90°,

.-.Z2+Z3=90°,

BF±AE,

/.Zl+Z3=90°,

「.N1=N2,

在后和i3CG中,

21=Z2

<AB=BC,

ZABC=ZC=90°

/.ABE^BCG(ASA),

:.BE=CG,

石是边5C的中点，

BE=-BC=—CD,AB=2BE,

22

/.CG=-CD,

2

:.CG=DG,

在/5CG和△HDG中，

ZC=ZHDG=90°

<CG=DG,

NBGC=ZHGD

BCG沿HDG(ASA),

:.BC=DH=AD,

即点。为AH的中点，

BF^AE,

.\DF=AD=DH，

设5尸=〃，

ZABE=ZAFB=90°,Z1=Z1,

:.AABE^AAFB.

:.AB:AF=BE:BFf

2BE:AF=BE:a,

:.AF=2a,

在RtABF中，AF=2a,BF=a,

由勾股定理得：AB=^AF2+BF2=y[5a

DF=AD=y/5a,

.DF岛非

一~AF~~2a~~2'

故答案为：4-

2

21.如图，在矩形ABC。中，AD=10,A3=8,将A3沿AE翻折，使点2落在&处，AE为折痕，再将EC

沿EF翻折，使点C恰好落在线段E9上的点C处，跖为折痕，连接AC,若CF=3,则ZAEF=度，

AC'=.

【分析】根据翻折的性质即可求出N/回=90。，再证.AB'E~/ECF(AA),可求出CE的长，利用勾股定理即

可求出AC'的长.

【详解】解：由翻折性质可得：ZAEB=ZAEB,ZCEF=ZCEF,

'：ZAEB+ZAEB+ZCEF+ZCEF=180°,

，ZAEB+ZCEF=90°,

即NAEF=90°；

ZCFE+ZCEF=90°,

ZAEB=ZCFE,

,A5Z~N£CW（AA）,

,ABBE

••-；—-—；-f

CECF

：.^CE=x,

・・・4）=10,AB=8,四边形ABC。是矩形，

・•・BC=10,

：.BE=10-x,

由翻折性质得：BE=BE=10-x,CE=CE=x,AB=AB=8^CF=3,

.8_10—x

■"x-

解得：x=6或4,

BC=BE-C'E=W-2x,

••.B'C'=2或一2（舍），

在RtAS'C'中，由勾股定理得：AB+BC'=AC,

AC=2^fn,

故答案为：90,2而

【点睛】本题主要考查了翻折性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键.

22.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E是2C边上一动点，连接AE.将./睡沿AE翻折得到

AAFE,延长跖与直线AD相交于点G.当点A,F,C三点共线时，线段AG的长为.

【答案】v

4

【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、翻折的性质、相似三角形的性质和判定，本题利用勾股定理算

出AC,利用翻折得到NAFG="=9O。，证明AbGs,仞。，利用相似三角形的性质建立等式求解，即

可解题.熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题.

【详解】解：当点A,F,C三点共线时，如图，

AGD

四边形ABC。是矩形,

/.ZB=ZD=90°,AD=BC,

在RtZWBC中,

AB=3,BC=4,

•••由勾股定理，AC=YIAB2+BC2=5,

「将.ABE沿AE翻折得到AAFE,

AF=AB=3,ZAFE=ZB=90°,

ZAFG=ZD=90°,

又'ZFAG=ZDAC,

.AFG^ADC,

AGAFAG3

——=——，即Rn——=一,

ACAD54

解得AG=f,

4

故答案为：—.

4

23.如图矩形ABCD中，BC=6,点、E,歹分别在AB,BC边上，且=BF=CF,连

ED,EC,AF.AF与ED,EC分别交于点G,H.则AG:GH:HF=.

【答案】42:24:11

31

【分析】作E/〃BC,得到多个相似三角形，由尸得出A/=[AE"=[AF,再由一£7Gs_ZMG得

出AG=^AF,最后由,ETHSOH得出=

所以可计算出AG:GH:HF=^AF:^AF:^AF=42:24:11.

【详解】解：作口〃3c交A/于点/,则.AE/S.AB尸,

BFC

・・•四边形ABC。是矩形，

ADA=BC=6,DABC,

：.EI//DA,

BF=CF=-BC=-x6=3,

*.*AE=3BE,

：.AB^AE+BE=3BE+BE=4BE,

.AI_EIAE_3

**AF-BF-AB-4，

33931

EI=-BF=-x3=-,AI=-AF,FI=-AF,

44444

V..EIG^DAG,

9

・・.IG=E/J=3,

AG~DA~6~8

AG=——AI=—

•.・EI//CF,

EIH^CFH,

9

.,・势=旦=a=3

HF~CF~3~4

：.GH=AF--AF--AF=-AF,

6777

，AG:GH:HF=­AF:—AF:-AF=42-.24:U,

11777

故答案为：42:24:11.

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质将线段

AG.GH、都用AF表示出来，从而求解.

二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

24.如图，VA5c是一块锐角三角形余料，iiBC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件尸QMN,

使一边在2C上，其余两个顶点分别在边4B、AC上，尸。交ZD于H点.

(2)若矩形PNMQ的周长为220mm,求出PN的长度.

【答案】⑴60

(2)20mm

【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；

(1)由-APQS..ABC,得到坐=空=代入即可求解，

BCAB2

(2)根据尸。〃3C,得到APQ^ABC,得到对应高之比等于相似比，丝=坐，从而得到PN的长,

ADDC

【详解】(1)解：・・,［为AB中点,

.AP_1

••=一,

AB2

・・,在矩形PQMN中，PQ//BC,

：.ZAPQ=ZABC,ZAQP=ZACB,

：.^APQ^^ABC,

.P2=

••茄一花—2'

PQ=gBC=60mm.

故答案为：60.

(2)解：,・,四边形尸NMQ为矩形，

・・・PQ//BC,

,:ADJ.BC,

：.PQLAD,

：.PN=DH

AHAD-DH^80-PN.

•.四边形尸NMQ为矩形，

PQ=MN,DH=PN,

.•矩形PNMQ的周长为220mm

•.PQ=U0-PN,

：PQ//BC,

\APQ^ABC,

,AHPQ

‘益一疏’

.80-PN11。—PN

--80---120-'

\PN=20（mm）.

25.已知正方形ABC。与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

图I

图3备用图

DE

⑴如图1,连接3G、DE,很明显△ABG/,从而我们可以得出笑的值为

DCJ

求北的值;

(2)如图2,连接3G、CF,

(3)当正方形用G旋转至图3位置时，连接CF、BE,分别取CF、3E的中点M、N,连接MN,试探究:

与BE的关系，并说明理由;

(4)连接3区BF,分别取BE、B尸的中点MQ,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

【答案】(DAADE，1

⑵0

G)BE=2MN,MN1BE

(4)9JI

【分析】(1)利用正方形的性质、旋转的性质可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE,可得AABG^AADE,

根据全等三角形的性质可得皆=奖=1.

CFl

(2)通过证明CAF^,BAG,可得。=a.

BG

(3)连接ME,过C点作CF/〃EF,交直线ME于点连接3”,设CF与AD交于点P,CP与AG交

于点R,证明，,CMH段,.FME,得CH=EF.HM=EM,AE=CH,根据CW〃EF〃AG得NHCF=NCRA,

证明ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+,根据ZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°得

ZBAE=NBCH,利用3C=,证明△3C”也△&!£1,可得BH=BE,NCBH=NABE,

ZHBE=ZCBA=90°,根据MH=ME1，点N是BE的中点可得8"=2MN,MN〃8”，最终可得

BE=2MN,MN±BE.

(4)取AB中点。，连接ON,OQ,A/"根据A£=6,三角形中位线定理可得AF=60,。。=30,ON=3,

点。在以点。为圆心，3正为半径的圆上运动，点N在以。为圆心，3为半径的圆上运动，可得线段。N扫

过的面积为兀x(3忘A-兀x(3y=9兀.

【详解】(1)解：根据正方形的性质、旋转的性质可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE

AABG当AADE

DEAB,

.BGAD

(2)解：如图，连接AF、AC

四边形ASCD和四边形AEFG都是正方形

:.AC=®AB,AF=®AG，^CAB=ZGAF=45°,ABAD=90°

ArAF

ZCAF=ZBAG,—二

AB~AG

:.ACAF^ABAG

;.史=生=及

BGAB

(3)解：如图，连接“石，过。点作CH/EF,交直线M石于点H,连接5”,设C尸与AD交于点P,CF

与AG交于点R，

CH//EF

:.ZFCH=ZCFE

「点M是。尸的中点

:.CM=MF

又・ZCMH=ZFME

:△CMHBAFME(ASA)

:.CH=EF,ME=HM

:.AE=CH

CH//EF,AG//EF

:.CH//AG

:.ZHCF=ZCRA

AD\BC

:.ZBCF=ZAPR

/.ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+ZARC

/DAG+ZAPR+ZARC=180°,/BAE+ZDAG=180°

:.ZBAE=ZBCH

又.BC=AB,CH=AE

/.△BCH^ABAE(SAS)

/.BH=BE,ZCBH=ZABE

.\ZHBE=ZCBA=90°

=1，点N是班的中点

:.BH=2MN,MN//BH

;.BE=2MN,MN【BE

(4)解：如图，取A5中点。，连接ON,OQ,A/

AE=6

AF=6^2

，点N是跖的中点，点。是正的中点，点。是AB的中点

:.OQ=；AF=3®QN=*AE=3

点。在以点。为圆心，30为半径的圆上运动，点N在以。为圆心，3为半径的圆上运动

2

二线段QN扫过的面积=TIX（3后）-7tx3=9K

【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位线定理、正方形的性质等，熟练掌握相关知识

点，利用数形结合的思想是解题的关键.

26.【问题初探】

⑴在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1,正方形ABCD中，点E是线段BC上