2023年中考数学必刷题分类专练：新定义与阅读理解创新型问题【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题31新定义与阅读理解创新型问题

一.选择题（共3小题）

1.（2022•娄底）若1C=N,则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.

例如：1。2=如0,则2=伙100；10°=1,则0=/gl.

对数运算满足：当M>0,N>0时，lgM+lgN=lg（MN）.

例如：/g3+/g5=/gl5,贝U（Zg5）?+/g5X/g2+/g2的值为（）

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解.

【解析】原式=加53g5+/g2）+lg2

=lg5Xlg（5X2）+lg2

=lg5lglQ+lg2

=lg5+lg2

=/gio

=1.

故选：C.

2.（2022•重庆）在多项式尤-y-z-m-w中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺

序重新运算，称此为"加算操作例如：（x-y）-（z-m-n）~y~z+m+n,尤-y-（z--n

=x-y-z+m-n,….

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x-y加括号时，和原式相等；因为不改变无，y的运算

符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x-y-z-S-〃中，可通

过加括号改变Z,7"，"的符号，因为Z,”中只有加减两种运算，求出即可.

【解析】①（尤-y）-z-m-n=x-y-z-m-n,与原式相等，

故①正确；

②,在多项式x-y-z-根-〃中，可通过加括号改变z,〃的符号，无法改变尤，y的符号，

故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

故②正确；

③在多项式X-y-Z-"2-W中，可通过加括号改变Z,"3〃的符号，加括号后只有加减两种运算，

.\2X2X2=8种,

所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果.

故选：D.

3.（2022•常德）我们发现：V6+3=3,16+V6+3=3,«=3,…，6+V6+^6+,"+,76+/6+3

=3,一般地，对于正整数a,b,如果满足Jb+4b+4b+…+Vb+>G+5=。时，称（。，b）为一组完美

方根数对.如上面（3,6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4,12）是完美方根数对；②（9,

91）是完美方根数对；③若（a,380）是完美方根数对，则a=20；④若（x,y）是完美方根数对，则点

P（x,y）在抛物线〉=/-天上，其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】将（4,12）,（9,91）代入验证即可判断①②；将（a,380）代入公式，建立方程可得出结论；

若（x,y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论.

【解析】将（4,12）代入412+4=4,V12+V12+4=4,412+J12W12+4=%…，

（4,12）是完美方根数对；故①正确；

将（9,91）代入"91+9=1029,V91+V91+9=7101-

（9,91）不是完美方根数对，故②错误；

③；Cm380）是完美方根数对，

...将（a,380）代入公式，j380+a=a，V380+^^80+a=a,

解得〃=20或〃=-19（舍去），故③正确；

④若（x,y）是完美方根数对，则"y+x=x,[y+Jy+x=%，

整理得y=7-x,

点尸（x,y）在抛物线y=/-%上，故④正确;

故选：c.

填空题（共1小题）

4.（2022•内江）对于非零实数a,b,规定a㊉/?=1-[■.若（2x-l）㊉2=1,则x的值为—n

ab6

【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论.

【解析】由题意得：

--------=1,

2x-l2

解得：X=l.

6

经检验，彳=5是原方程的根，

6

•*.x=—.

6

故答案为：5.

6

三.解答题（共23小题）

5.（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y=a?+6x+c（其中abWO）与抛物线y=6/+ar+c称为“关联抛物

线”.例如：抛物线y=27+3尤+1的“关联抛物线”为：y=37+2x+l.已知抛物线Ci：y=4ajr+cuc+4a-

3（aW0）的“关联抛物线”为C2.

（1）写出C2的解析式（用含。的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a>0,过x轴上一点P,作无轴的垂线分别交抛物线Ci,C2于点M,N.

①当脑V=6a时，求点P的坐标；

②当a-4WxWa-2时，C2的最大值与最小值的差为2“，求a的值.

【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出

C2的顶点坐标；

（2）①设点P的横坐标为e则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列

出方程，可求出点尸的坐标；

②分情况讨论，当。-4在-2・。-2时，当-2・。-4・。-2时，当a-4Wa-2W-2时，分别得出C2

的最大值和最小值，进而列出方程，可求出。的值.

【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：>=/+4办+4。-3,

,.,y=ar2+4ar+4a-3—a（x+2）2-3,

；.C2的顶点坐标为（-2,-3）；

(2)①设点P的横坐标为加，

・・•过点尸作x轴的垂线分别交抛物线G,C2于点M,N,

•\M(m,4〃渥+GH+4〃-3),NQm,am-^-4am+4a-3),

2

/.MN=|44zm+<2m+4tz-3-(an^+^am+^a-3)|=|3〃/-3am\f

■:MN=6a,

/.\3am-3am\=6a,

解得m=-1或m=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②YCz的解析式为：y=a(x+2)2-3,

，当x=-2时，y=-3,

当x=〃-4时，y=aCa-4+2)2-3=a(a-2)2-3,

当x—a-2时，y—a(a-2+2)2-3=/-3,

根据题意可知，需要分三种情况讨论，

I、当"-4W-2Wa-2时，0<〃W2,

且当OVaWl时，函数的最大值为〃(〃-2)2-3；函数的最小值为-3,

•二〃([-2)2-3-(-3)—2a9解得a—2-或tz—2+*\/^(舍)；

当时，函数的最大值为1-3；函数的最小值为-3,

a3-3-(-3)=2a,解得4=/^或〃=-(舍)；

II、当-2Wa-4W〃-2时，〃22,

函数的最大值为1-3,函数的最小值为a(〃-2)2-3；

•-3~[a(a-2)2-3]=2〃，

解得。=旦(舍)；

2

III>当4-4Wa-2W-2时，〃W0,不符合题意，舍去；

综上，。的值为2-或

6.(2022•长沙)若关于x的函数y,当l」WxWf+工时，函数y的最大值为最小值为N,令函数〃=

22

掾，我们不妨把函数场称之为函数y的“共同体函数”.

(1)①若函数y=4044x,当f=l时，求函数y的“共同体函数”力的值；

②若函数〉=依+&(左WO,k,b为常数)，求函数y的“共同体函数”〃的解析式；

（2）若函数y=2（尤＞1）,求函数y的“共同体函数”人的最大值；

X

（3）若函数y=-7+4尤+左，是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最

小值.若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)①由题意求出M=6066,N=2Q22,再由定义可求/?的值；

②分两种情况讨论：②当人>0时，M=kt+l-k+b,N=kt-1.k+b,h=k；当％VO时，M=kt-L+b,有

222

N=kt+—k+b,h=--k-,

22

(2)由题意L上21,M=--,N=---,贝U/i=——,所以/z有最大值上；

2」l4t2-12

x2xt+2

(3)分四种情况讨论：①当2Wf-工时，M=-(t-」-2)2+4+k,N=-(r+A-2)2+4+k,h^t-2；

222

②当时，N=-G-2-2)2+4+/,M=-(z+1-2)2+4+k,h=2-t,；③当即

2222

N=-(z+A-2)2+4+k,M=4+k,h=—(?-―)2；④当f<2Wf+小，N=-(r-A-2)

222222

2+4+%,M=4+k,h=l.(L§)2,画出/7的函数图象，结合图象可得_1=4+上解得左=-2L

2288

【解析】(1)①•L=1,

函数y=4044x,

函数的最大值M=6066,函数的最小值N=2022,

：.h=2022；

②当人＞0时，函数y=Ax+b在r-■有最大值左+b,有最小值N=公-工■k+b,

2222

.".h=A，k；

2

当人＜0时，函数y=kx+b在f-工有最大值Af=Q-2左+6,有最小值N=A/+上A+b,

2222

.,.h=--k；

2

综上所述：h=\—k\；

2

(2)L即。旦,

22

函数y=2(x》l)最大值M=—27，最小值N=-2-

Xt-tJ

x2x2

:.h=--1--，

4t2-1

当片区时，/i有最大值」;

22

(3)存在实数上使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“力的最小值，理由如下:

''"y—~x1+^x+k--(x-2)2+4+左，

；•函数的对称轴为直线x=2,y的最大值为4+匕

①当2Wf-工时，HP

22

此时M=-2+4+总N=-(r+A-2)2+4+k,

22

••h~~t~2,

此时h的最小值为』；

2

②当时，即

22

止匕时N=-(z-A-2)2+4+上M=-(f+A-2)2+4+%,

22

•»/z^2-t,

此时h的最小值为工；

2

③当即2WfW$,

22

此时N=-(f+工-2)2+4+AM=4+k,

2

(r-3)2,

22

④当/<2Wf+工，即3wf<2,

22

止匕时N=-(?---2)2+A+k,M=4+k,

2

%的函数图象如图所示：//的最小值为

8

由题意可得工=4+%,

8

解得k=-31；

8

综上所述：%的值为一2L

8

7.(2022•重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和机

整除，则称N是根的“和倍数”.

例如：；247+(2+4+7)=247+13=19,，247是13的''和倍数”.

又如：V2144-(2+1+4)=2144-7=30...4,；.214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

(2)三位数A是12的“和倍数”，a,b,c分别是数A其中一个数位上的数字，且°>6>c.在a,b,

c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(A),最小的两位数记为G(A),若F(A)%(A)

16

为整数，求出满足条件的所有数人

【分析】(1)根据“和倍数”的定义依次判断即可；

(2)设A=I^(a+6+c=12,a>b>c\根据“和倍数”的定义表示尸(A)和G(A),代入F〔A)%(A)

16

中，根据Hal及⑴_为整数可解答.

16

【解析】(1)V3574-(3+5+7)=357+15=23...12,

•••357不是“和倍数”；

V4414-(4+4+1)=441+9=49,

.••441是9的“和倍数”;

(2)设4=@1>©(。+。+。=12,a>b>c),

由题意得：F(A)—ab，G(A)=cb>

・F(A)与(A)=ab+cb=10a+b+10c+b=10(a+c)+2b

"^6161616-

\-a+c=12-b,F(A)—(A)为整数,

16

•F(A)>(A)=10(12-b)+2b=120-8b=112+8-8b=加1

"^616-16?

'：l<b<9,

：.b=?>,5,7,

・・〃+c=9,7,5,

'a=8(a=7

①当6=3,a+c=9时，•b=3(舍)，<b=3，

c=lc=2

则A=732或372；

‘a=6

②当6=5,a+c=7时，,b=5，

c=l

则A=156或516；

③当b=7,q+c=5时，此种情况没有符合的值;

综上，满足条件的所有数4为：732或372或156或516.

8.（2022•常州）第十四届国际数学教育大会UCME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了

我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是

以8作为进位基数的数字系统，有0〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3X83+7X

82+4X81+5X8°=2O21,表示/CME-14的举办年份.

（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；

（2）小华设计了一个“进制数143,换算成十进制数是120,求〃的值.

【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以8°,81,82,83,再把所得结果

相加即可得解；

（2）根据,7进制数和十进制数的计算方法得到关于〃的方程，解方程即可求解.

【解析】（1）3746=3X83+7X82+4X81+6X8°

=1536+448+32+6

=2022.

故八进制数字3746换算成十进制是2022.

故答案为：2022；

（2）依题意有："2+4X〃1+3X〃°=120,

解得m=9,H2=-13（舍去）.

故〃的值是9.

9.（2022•盐城）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心

圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为无轴，过点。且垂直于横线的直

线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示.当所描的点在半径为

5的同心圆上时，其坐标为（-3,4）或（3,4）.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（0,机），机为正整数，以OP为直径画OM,是否存在所描的点在上.若存

在，求相的值；若不存在，说明理由.

【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4,利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而

可得出点的坐标；

【解决问题】设所描的点在半径为〃(〃为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为利用勾股

定理可得出该点的坐标为(-42n-l，1)或®2n-l，w-1),结合点横、纵坐标间的关系，可得

出该点在二次函数y=/2,方的图象上，进而可证出小明的猜想正确；

【深度思考】设该点的坐标为(土而工，…),结合的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n

的代数式表示出机的值，再结合m，w均为正整数，即可得出小，〃的值.

【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标＞=5-1=4,

横坐标尤=±^52-42=±3,

点的坐标为(-3,4)或(3,4).

【解决问题】证明：设所描的点在半径为〃(w为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(«-1),

该点的横坐标为土Vn2-(n-1)2=土V2n-1，

...该点的坐标为(-V2n-1，〃-1)或(V2n-1，n-1).

•;(±V2n-l)2=2”-1,w-i=2n-l-l,

2

.,.该点在二次函数(x2-1)=_1针-的图象上，

’222

二小明的猜想正确.

【深度思考】解：设该点的坐标为(±J2n-1，"-1)，的圆心坐标为(0,—in),

2

(±V2n-1-0)2+(n-1—^-m)2=-^m,

222

•n(n-1+1)(n-1)+2(n-1)+1_]4_94_1

n-ln-ln-1n-1

又,：m,〃均为正整数，

An-1=1,

/.m=1+2+1=4,

・•・存在所描的点在。M上，机的值为4.

10.（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例

如（-1,1）,（2022,-2022）都是“黎点”.

（1）求双曲线丫=二乡上的“黎点”；

X

（2）若抛物线y=o?-7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围.

【分析】（1）设双曲线＞=二9上的“黎点”为（m,-m）,构建方程求解即可；

X

（2）抛物线y=--7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程--7x+c=-x有且只有

一个解，即ax?-6x+c=0,A=36-4ac=0,可得结论.

【解析】（1）设双曲线＞=二？上的“黎点”为Cm,-m）,

X

则有-m=—,

m

・"=±3,

经检验，加=±3的分式方程的解，

・・・双曲线》=二9上的“黎点”为（3,-3）或（-3,3）；

x

（2）・・,抛物线y=a/-7x+c（〃、。为常数）上有且只有一个“黎点”，

J方程以2一7%+。=-x有且只有一个解，

即ax2-6x+c=0,A=36-4〃c=0,

••ac=9,

•〃一9

'：a＞l,

A0<c<9.

11.（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a,b）是第一象限内一点，给出如下定义：内=包和4=电两

ba

个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”人.

（1）求点尸（6,2）的“倾斜系数”上的值；

（2）①若点PQ,b）的“倾斜系数”上=2,请写出a和6的数量关系，并说明理由；

②若点尸（a,b）的"倾斜系数”左=2,且a+b=3,求。P的长；

（3）如图，边长为2的正方形A8CD沿直线AC：y=x运动，P（a,b）是正方形ABC。上任意一点，

【分析】（1）根据“倾斜系数”上的定义直接计算即可；

（2）①根据“倾斜系数”G的的定义分情况得出结论即可；

②根据“倾斜系数”上的的定义求出P点坐标，进而求出。尸的值即可;

（3）根据Z的取值，分情况求出。的取值范围即可.

【解析】（1）由题意知，左=旦=3,

2

即点P（6,2）的“倾斜系数”々的值为3；

（2）①...点尸（a,b）的''倾斜系数”上=2,

；.2=2或2_=2,

ba

即a=2b或b=2af

.•.4和b的数量关系为a=2b或b=2a；

②由①知，a=2b或b=2a

*.>a+6=3,

OP=yj+22=y/^,；

(3)由题意知，当P点与。点重合时，且左=正时，。有最小临界值，如下图:

连接。£),延长ZM交x轴于E,

a

则包

a

解得a=M+1：

当P点与2点重合时，且左=百时，a有最大临界值，如下图:

连接。8,延长CB交x轴于R

此时包=我，

b

则」_=心

a-2

解得a=3+M，

综上所述，若点尸的“倾斜系数”上<«,则E+l<a<3+«.

12.(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.

对于点P给出如下定义：将点尸向右QNO)或向左(«<0)平移⑷个单位长度，再向上(620)或向

下(b<0)平移|例个单位长度，得到点P',点P'关于点N的对称点为。，称点。为点P的“对应点”.

(1)如图，点M(l,1),点N在线段0M的延长线上.若点P(-2,0),点。为点尸的“对应点”.

①在图中画出点Q-,

②连接P。，交线段ON于点T,求证：NT=/OM；

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段0M上，且ON=r(■!</<1),若尸为。。外一

2

点，点。为点P的“对应点”，连接尸。.当点M在OO上运动时，直接写出尸。长的最大值与最小值的

差(用含f的式子表示).

N

/

/M

i

P0

【分析】(1)①根据定义，先求出P的坐标，从而得出。的位置；

②连接PP,利用三角形中位线定理得NT=JLPP,从而证明结论；

2

(2)连接尸。，并延长至S,使OP=OS,延长S。至IJT,使ST=OM,由题意知，PP1//OM,PPi=OM,

P1N=NQ,利用三角形中位线定理得。7的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS-QS<PS+QS,则

PS的最小值为PS-QS,PS的最大值为PS+QS,从而解决问题.

【解析】(1)①由题意知，P(-2+1,0+1),

”(-1,1),

如图，点。即为所求;

②连接pp,

9：ZP'PO=ZMOx=45

：.PP'//ON,

,:P'N=QN,

：.PT=QT,

，NT=UP,

2

':PP'=OM,

：.NT=^OM；

2

由题意知，PP1//0M.PPi=OM,P\N=NQ,

:・TQ=2MN,

"：MN=OM-ON=1-t,

：.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=1-(2-2f)=2t-1,

在△PQS中，PS-QS<PS+QS,

：.PS的最小值为PS-QS,PS的最大值为PS+QS,

长的最大值与最小值的差为(PS+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2.

13.(2022•青岛)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△ABC中，AD,A。'分别是8c和8C边上的高线，且AD=A。、则△ABC

和△ABC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用&ABC,分别表示△ABC和△&'B'C'的面积,

则SAABC=」8C・AZ),SAA'B'C-=^-B'C-A'D',

22

VAD=A,D'

S^ABC：S^AB,C1=BC：B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边8C上的一点.若8。=3,DC=4,则S^ADC=3：4；

(2)如图③，在△A8C中，D,E分别是8C和边上的点.若BE：AB=1：2,CD：BC=1：3,5A

ABC—1,贝！ISABEC——,SACDE——;

一2一—6一

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=1：m,CD：BC=1：mSA

ABC—a,贝！IS^CDE—_

【分析】(1)根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案;

(2)同(1)的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案.

【解析】（1）,:BD=3,DC=4,

**•S/\ABD：S/^ADC=BD：DC=3：4,

故答案为：3：4；

(2)'：BE：A3=l：2,

SABEC：SAABC=BE：AB=1：2,

VSAABC=L

•e•SABEC——；

2

VCD：BC=L3,

SACDE：SABEC=CD：BC=1：3,

SACDE=—SABEC=—X—=—；

3326

故答案为：1,1;

26

(3)；BE：AB=1：m,

••S/\BEC*S^ABC=BE：A,B=1：rn,

***S/\ABC=Clf

・1z

••S/\BEC=—S/\ABC=—；

mm

VCD：BC=1：几,

・・S丛CDE:S/\BEC=CD:BC=1:几,

-'^S/\CDE=—S^BEC=—,——-^-,

nnmmn

故答案为：_2_.

inn

14.(2022•常州)在四边形ABC。中，。是边BC上的一点.若△OAB四△OCZ),则点。叫做该四边形的

“等形点”.

(1)正方形不存在“等形点”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如图，在四边形A8CD中，边8C上的点。是四边形A8CQ的“等形点已知Cr>=4&,OA=

5,8c=12,连接AC,求AC的长；

(3)在四边形跖GH中，EH//FG.若边FG上的点。是四边形EFG8的“等形点”，求史的值.

0G

B0C

【分析】(1)根据“等形点”的定义可知△OAB四△OCQ,则NOAB=/C=90°,而。是边BC上的

一点.从而得出正方形不存在“等形点”；

(2)作于H,由△OABgZkOC。，得AB=CZ)=4a,OA=OC=5,设OH=x,贝。8H=7-x,

由勾股定理得，(4加)2-(7-x)2=52-^,求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；

(3)根据“等形点”的定义可得则NE。尸=N80G,OE=OG,ZOGH=ZOEF,再

由平行线性质得。E=OH,从而推出OE=O〃=OG,从而解决问题.

【解析】(1):四边形ABC。是正方形，

；.ZC=90°,

"：/\OAB^/\OCD,

：.ZOAB=ZC=90°,

是边BC上的一点.

正方形不存在“等形点”，

故答案为：不存在；

(2)作AH_LBO于X,

BH0C

・・,边5C上的点。是四边形A3CD的“等形点”，

:・AOAB"AOCD,

：.AB=CD=4-J2^OA=OC=5,

U：BC=12,

：.BO=7f

设OH=x,贝!)3H=7-x,

由勾股定理得，(4加)2-(7-x)2=52-?,

解得，x=3,

：・OH=3,

：.AH=4,

ACH=8,

在Rt2\CHA中，AC*AH2yH2=山2+82=4病;

(3)如图，•・•边尸G上的点。是四边形MGH的“等形点”,

:•△OEFQAOGH,

:・NEOF=/HOG,OE=OG,ZOGH=ZOEF,

■:EH//FG,

:・/HEO=/EOF,/EHO=/HOG,

：./HEO=NEHO,

：・OE=OH,

：,OH=OG,

：・OE=OF,

.0F=1

OG

15.(2022•青海)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起

来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1,若△A8C和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD=CE-,

(2)解决问题：

如图2,若△ACB和△£>(7£均为等腰直角三角形，NAC2=/OCE=90°,点A,D,E在同一条直线上，

CM为△£>(五中OE边上的高，连接BE,请判断NAEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并

说明理由.

A

【分析】(1)根据AABC和△AOE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABO丝ZXACE(&4S),即可得8。

=CE；

(2)根据△ACB和△OCE均为等腰直角三角形，可得△ACD2ABCE(SAS),即有AD=BE,ZADC

=ZBEC,从而可得NBEC=/AOC=135°,即知/AEB=/BEC-NCE£>=90°,由CD=CE,CM±

DE,ZDCE=90°,可得£)M=Af£=CM,故4£=4。+£)石=2£+26.

【解答】(1)证明：•.'△ABC和△AOE是顶角相等的等腰三角形，

：.AB^AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,即ZBAD=ZCAE,

:.AABD2AACE(SAS),

:.BD=CE；

(2)解：ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下:

如图:

c

・・・AACB和△DCE均为等腰直角三角形，

：.AC=BC,DC=EC,NACB=90°=/DCE,

：.ZACD=ZBCE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE,NADC=/BEC,

,/△CDE是等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZCED=45°,

AZADC=180°-ZC£>E=135°,

：.ZBEC=ZADC=135°,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°,

•:CD=CE,CM±DEf

:・DM=ME,

\9ZDCE=90°,

:・DM=ME=CM,

：・DE=2CM,

：.AE=AD+DE=BE+2cM.

16.(2022•嘉兴)小东在做九上课本123页习题：“1：&也是一个很有趣的比.已知线段A5(如图1),

用直尺和圆规作A3上的一点尸，使AP：AB=1：加.”小东的作法是：如图2,以AB为斜边作等腰直

角三角形ABC,再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段于点尸，点尸即为所求作的点.小东称

点尸为线段A5的“趣点”.

(1)你赞同他的作法吗？请说明理由.

(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结。尸，点。为线段AC上的动点，点E在的上方，

构造△。尸E,使得△DPES^CPB.

①如图3,当点。运动到点A时，求NCPE的度数.

②如图4,DE分别交。尸，于点M,N,当点。为线段AC的“趣点”时(CDVA。)，猜想：点N是

否为线段ME的“趣点”？并说明理由.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明至』，再利用AC=AP,即可得出结论；

ABV2

（2）①由题意可得：NC4B=NB=45°,NACB=90°,AC=AP=BC,再求解NACP=NAPC=67.5°,

ZCPB=112.5°,证明NQPE=/CPB=112.5°,从而可得答案；

②先证明△ADPs/wcB,可得NAPO=45°，DP//CB,再证明AfP=Att)=MC=MV,ZEMP=45°,

/MPE=90°,从而可得出结论.

【解析】（1）赞同，理由如下:

VAABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,ZA=ZB=45°,

；.cos45。=AC_=2/2,=1,

AB2V2

'：AC=AP,

•AP1

••-~~-=-9

ABV2

点P为线段AB的“趣点”.

(2)①由题意得：NCA2=/B=45°,

ZACB=90°,AC=AP=BC,

•'-ZACP=ZAPC-1-X(180°-45°)=67.5°,

：.ZBCP=90°-67.5°=22.5°,

：.ZCPB=180°-45°-22.5°=112.5°,

,:△DPEs/\CPB,D,A重合，

AZDPE=ZCPB=112.5°,

：.ZCPE=ZDPE-^-ZCPB-180°=45°；

②点N是线段河石的趣点，理由如下：

当点。为线段AC的趣点时（C£><A。），

•AD1

..记近

"：AC=AP,

•••AD=~~1~=-,

APV2

AC=£,ZA=ZA,

ABV2

/.XADPsXACB,

：.ZADP=ZACB=90°,

ZAPD=45°,DP//CB,

：.ZDPC=ZPCB=22.5°=NPDE,

:・DM=PM,

：.ZMDC=ZMCD=90°-22.5°=67.5°,

：.MD=MC,

同理可得MC=MN,

:.MP=MD=MC=MN,

■:/MDP=/MPD=22.5°,/E=NB=45°,

：.ZEMP=45°,ZMPE=90°,

・MP=1=MN,

・■运ME,

.,.点N是线段ME的“趣点”.

17.（2022•兰州）如图，在RtZ\A8C中，ZAC/?=90°,AC=3cm,BC=4cm,M为A8边上一动点，BN

LCM,垂足为N.设A,Af两点间的距离为xcTW（0WxW5）,B,N两点间的距离为yon（当点A/和B

点重合时，B,N两点间的距离为0）.

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量尤的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

（1）列表：下表的已知数据是根据A,M两点间的距离尤进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的

几组对应值：

x/cm00.511.51.822.533.544.55

y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

请你通过计算，补全表格：。=3.2；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（尤，y）,并画出函数y关于x

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：y随尤的增大而减小

（4）解决问题：当时，AM的长度大约是1.67cm.（结果保留两位小数）

B

CA

【分析】（1）先求出边上的高，进而求出AM1,判断出点M与M重合，即可得出答案;

(2)先描点，再连线，即可画出图象；

(3)根据图象直接得出结论；

(4)利用表格和图象估算出AM的长度.

【解析】(1)如图，

在中，AC=3,BC=4,根据勾股定理得，AC=5,

过点C作于

&ABC=AAC.2C=AA2.CM,

22

.・.CAf=£

5

在RtZXACAf中，根据勾股定理得，AM=VAC2-CM/2=1-8,

当x=1.8时，点M与点M重合,

CMLAB,

"：BN±CM,

点M,N重合，

：.a=BN=BM=AB-AM=3.2,

故答案为：3.2；

(2)如图所示,

(3)由图象知，y随尤的增大而减小,

故答案为：y随x的增大而减小；

(3)借助表格和图象得，当BN=2AM时，AM的长度大约是1.67c小，

故答案为：1.67.

18.(2022•深圳)二次函数y=2f,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面

直角坐标系上.

尸212y=2(x-3)2+6

(0,0)(3,m)

(1,2)(4,8)

(2,8)(5,14)

(-1,2)(2,8)

(-2,8)(1,14)

(1)机的值为6；

(2)在坐标系中画出平移后的图象并写出y=-上炉+5与＞=1丁2的交点坐标；

22

(3)点尸Cxi,yi),Q(3，＞2)在新的函数图象上，且P,。两点均在对称轴同一侧，若声＞＞2,则

XI＜或＞X2.(填不等号)

1————।-7-T-r-।———i-i"T"r"i————1

1......................