2024-2025学年广东省深圳市某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市翠园中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知直线珀勺倾斜角为120。，在y轴上的截距是3,则直线/的方程为（）

A.y=平x+3B.y=一收久-3C.y=-yj^x+3D.y=V^x-3

2.圆Ci：（久+2）2+（y—2）2=4和圆C2：（久一2）2+（y—5）2=16的位置关系是（）

A.内切B.相离C.相交D.外切

3.设机为实数，若方程三+恶=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数小的取值范围是（）

333

A.-<m<2B.m>-C.1<m<2D.1<m<-

4.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如

图1）,把三片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体

的棱长为1,则点力到平面QGC的距离是（）

电器PZ_zN,

图1图2图3

11

AjB.~C-TD-T

5.如图，空间四边形。力BC中，04=a,OS=b,沆=K点”在04上，且加=会?

小

点N为BC中点，则而等于（）

AA.-I-a*+।-D--c

2-1-1.B

B--3a+2b+2C

C.~2C-L+—2D^——1C-

CD.—2C-L+—2D^——1C-

6.已知Q为直线Lx+2y+1=。上的动点，点P满足评=（1,一3）,记P的轨迹为E,贝"（）

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A.E是一个半径为巡的圆B.E是一条与I相交的直线

C.E上的点到I的距离均为此D.E是两条平行直线

7.台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心30避fon内的地区为危险地区，城市

N在M地正西方向60Qn处，则城市N处于危险区内的时长为()

A.lhB.C.2/1D.3%

8.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线PC与平面P4B所成角的正

弦值是()

A.孚B.乎C.*D.1

3322

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.给出下列命题，其中是真命题的是()

A.若Z=(-1,1,一2)是直线/的方向向量，3=(-2,-1,今是直线7H的方向向量，则/与771垂直

B.若2=(1,1,—1)是直线I的方向向量，宕=(0,—1,—1)是平面a的法向量，则3a

C.若正=(1,0,3),正=(0,1,2)分别为平面a,S的法向量，则a1£

D.若'=(1,0,3)工2=(0,1,2)分别为平面a,0的法向量，则平面a,S交线的方向向量可以是(3,2,-1)

10.已知直线：kx-y-k+1=0,圆M：炉+丫2+。%+防/+4=0的圆心坐标为(3,2),则下列说法正确

的是()

A.直线Z恒过点(1,1)

B.D=6,E=4

C.直线/被圆M截得的最短弦长为4

D.当卜=3寸，圆M上存在无数对点关于直线/对称

11.已知正方体的棱长为4,点P为平面ABCD内一动点，则下列说法正确的是()

A.若点P在棱4。上运动，财41P+PC的最小值为4+4"

B.若点P是棱力。的中点，则平面PBCi截正方体所得截面的周长为4巡+6企

C.若点P满足P/%1DCi，则动点P的轨迹是一条直线

D.若点P在直线2C上运动，贝中到直线BQ的最小距离为竽

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.椭圆。的长轴长为6,且与椭圆春+与=1有相同的焦点，则椭圆C的标准方程为―.

13.已知向量之=(-1,3-2)5=(2,-1,3),c=(4,3即)，若值薪｝不能构成空间的一个基底，则实数机的值为

14.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角N4QB的一边QAA

上的两点，试在QB边上找一点P,使得4MPN最大如图，其结论是：点P为

过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问

M,NQBQBM(7/

题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,3),N(2,6),点P在x轴上移J

QpB

动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)

已知空间三点力(1,2,2),8(2,1,2),C(3,2,l).

(1)若向量而分别与同，前垂直，且|布|=2击，求向量记的坐标；

(2)求点C到直线力B的距离.

16.(本小题15分)

己知圆C与y轴相切，圆心在直线x+y-l=。上，且被x轴截得的弦长为2避.

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线/过点(1,-3),圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1,求直线的勺方程.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD是正方形，侧棱PD1底面4BCD,PD=DC,E是PC的中点，作

EF1PB交PB于点F.

(1)求证：PB1平面EFD；

⑵求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

18.(本小题15分)

已知椭圆C：苴+j|=l(a>6>0)过点(0,8)，且离心率为《设4B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上

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异于4B的一点，直线4P,BP分别与直线八久=4相交于M,N两点,且直线MB与椭圆C交于另一点儿

①求椭圆C的标准方程；

(II)求证：直线力P与BP的斜率之积为定值；

(皿)判断三点4H,N是否共线，并证明你的结论.

19.(本小题17分)

在空间直角坐标系。盯z中，过点PQo，yo，zo)且以工=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为宁=$=

^-p-{abcH0)；过点P(%o，yo，zo)且以］=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为a久+by+cz=ax0+by0+c

(1)在四面体。ABC中，点。为坐标原点，点4在平面KOy内，平面。48以帚=(1,—3,2)为法向量，平面2BC

的方程为3x-y+z=8,求点力的坐标；

(2)若直线3与l=y-2=芋与%：早=丫-2=m都在平面a内，求平面a的方程；

(3)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体。的各个面，求。的体积和相邻两个面

所在平面的夹角的余弦值.

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参考答案

1.C

2.C

3.0

4.C

5.B

6.C

7.C

8.A

9.AD

IQ.ACD

11.BCD

12卷+白1

13.5

14.2

15.解：(1)荏=(1,-1,0),通=(2,0,-1),

设m=(x,y,z~),•••m1AB,m1AC,

m-AB=0,m-AC=0.

｛跚z==°0,整理得｛汇黑

V|m|=y%2+y2+z2=^6^2_2^/6,.-.%=+2,

•••m=(2,2,4)或m=(-2,-2,-4)；

(2)取K=缁=(¥，—#,0),a=AC=(2,0-1),

则a•u=W，a=5.

c到直线ZB的距离为了不%尸=付2=B

16.解：(1)设圆C的标准方程为(久-a)2+(y-6)2=＞。),

•••圆心C在直线x+y-1=0上，

CL+b-1=0(T),

・•,圆C与y轴相切，

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r=\a\@,

又•••圆C被无轴截得的弦长为2避，

b2+3=r2@,

联立①②③解得，a=2,b=-1,r=2,

圆。的方程为(x—2)2+(y+1)2=4.

(2)•；圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1,

・•・圆心C到直线1的距离d=r—1=1.

当直线I斜率不存在时，直线/的方程为x=l,

圆心C(2,—1)到直线I的距离为1,符合题意；

当直线/斜率不存在时，设直线/的方程为y+3=fc(x-l),

即々％—y—k—3=0,

•••圆心c到直线I的距离d="苗+[迎==1，

解之得，k=p

•・•直线/的方程为3x-4y-15=0.

综上，所求直线1的方程为％=1或3x-4y-15=0.

17.(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

设DC=L依题意得。(0,0,0),8(1,1,0),

11

P(0,0,l),C(0,l,0),E(o,翡)，

所以丽=(1,1,-1),丽=(0若■),

则而•反=0+＞六0,所以PB1DE,

由已知EF1PB,且EFnDE=E,EF,DEu平面EFD,

所以PB1平面EFD；

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(2)解:已知PB1EF,由(1)可知PB_L平面EFD,

又DFu平面所以P81DF,

故NEFD即为平面CPB与平面PBD的夹角，

设点F的坐标为O，y,z),则而=(x,y,z-l),

设而=k而，则有(久,y,z-l)=/c(l,l,-l),

即x=k,y=k,z—1—k,

设丽•赤=0,则有丽=k+k—l+k=3k—l=0,解得k=],

则点尸的坐标为舄|),即而=

又点E的坐标为(0,翡)，所以前=,

丽•丽(*)X(*)+"(*)+(4)>(一|)1

所以cos<FE,FD>=一£

I国同I63

又NEFD为锐角，所以NEFD=60°,

即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60。.

力=4'a=2

C_1,解得力=避

18.解：①根据题意可知a~2

a2=h2Q+co2c=1.

所以椭圆c的方程q+9=1；

4D

(n)根据题意，直线AP,BP的斜率都存在且不为零，2(-2,0),8(2,0),

设PQWo)，则竽+券=1(-2<=<2).

则kap-kBP=久0v2-^2=

因为点P在椭圆上，则苧+券=1,所以，羽=3(1—苧)=义守，

gr-p,.>济氯4一底)3

所以膜「4"=百=方丁=-4'

所以直线2P与BP的斜率之积为定值-楙；

(in)三点4、H、N共线.证明如下：

设直线4P的方程为y=k(K+2)(fc*0),由(II)得直线8P的方程为y=-^(x-2),

所以M(4,6k),N(4「书,k=-^-=3k,

Z/tBM4,—Z

设直线HM：y=3k(x—2),

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y=3fc(x—2)

联立方程组名+e=1，消去y整理得，(1+12/c2)x2-48fc2%+48fc2-4=0,J>0,

,43

设”(孙月)，贝侬1=苏符言，

所以“1=鬻言，%=3做久1-2)=费

耳匚【、[]"24k2—212k

朋+「12H+/

o___3_i

因为4(—2,0)、N(4,等,厩—襄，

Z>A.N=¥6=T'A.

12k

i_______12M+i___1

KAH=24F—2।1二一薪，

12k2+1

所％N=kAH，所以三点4H,N共线.

19.解：(1)根据题意,设点4(a力,0),则瓦？=(a,b,0),

因为平面。力B以方=(1,一3,2)为法向量，

则ni•。4=a—36=0,①

又因为点4在平面A8C内，则3a—b=8,②

联立①②：｛g/?=(.可得a=3,b=1,

故点2的坐标为(3,1,0).

(2)由题意可知，直线人的一个方向向量为工=(2,1,3),直线L的一个方向向量为兀=(3,1,2),

设平面a的法向量为五=Oi，yi，zD，

则后1近则件&=2打+%+3如=0

AJ