2024-2025人教版高二年级数学上册期中模拟检测卷三（新高考专用）解析版

2024-2025高二上期中模拟检测三

检测范围：选择性必修一第一章、第二章、第三章

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（23-24高三上•重庆南岸•阶段练习）已知直线《：2x+2y-l=012：4x+3+3=0,/3：侬+6〉-1=0,若

且乙皿3,则%+〃的值为（）

A.-10B.10C.-2D.2

2.（2023・江苏•模拟预测）中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中

外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆C,其长轴长度约为212m,短轴长度约为144m.若直

线/平行于长轴且C的中心到/的距离是24m,则/被C截得的线段长度约为（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

3.（24-25高二下•全国•随堂练习）已知A,B,C三点不共线，。是平面ABC外任意一点，若由

—.1—.2—•—■，

。尸=1。4+§。8+2。。（几€11）确定的一点尸与人，B,C三点共面，则彳的值为（）

4.（24-25高二上・江苏南京•阶段练习）已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=9,直线/：ira+y-2m-3=0.则直

线/被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2A/7B.屈C.272D.V6

5.（202牛上海,高考真题）定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取片,，Ae。，存在不全

为0的实数4，4，4,使得4加1+4配+4砒=6.已知（i,0,0）eC,贝|）（0,01）任。的充分条件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQ

C.（0」,0）e。D.（0,0,-l）eQ

22

6.（2023・四川雅安•一模）已知居,E为双曲线C:=-==l（a>0）>0）的左、右焦点，点A在C上，若

ab

忸A|=2怩A|,乙有工=30。,八4片乙的面积为66,则C的方程为（）

7.（2023・甘肃定西•模拟预测）若点（2,1）在圆/+y2-x+y+a=。的外部，则。的取值范围是（）

A.B.1啊，C.[4,；]D.（-CO,-4）UQ,+OO^

8.（21-22高二上•四川攀枝花•阶段练习）如图所示，已知抛物线6：>2=2。匹过点（2,4）,圆

22

C2:x+y-4x+3=0.过圆心C2的直线/与抛物线C,和圆C2分别交于P,Q,M,N,则1PM+4口叫的最小值

为（）

A.23B.42C.12D.13

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

2

9.（2022・广东•模拟预测）已知双曲线C：X2一£=]的左、右焦点分别为耳,乙，点尸双曲线C右支上，

若56=8,口尸片居的面积为S,则下列选项正确的是（）

A.若6=60°,贝”=46

B.若S=4,则陷|=26

C.若□尸耳鸟为锐角三角形，则Se（4,4百）

D.若口尸耳耳的重心为G,随着点P的运动，点G的轨迹方程为9产-彳=l[x>g

10.（23-24高二上•广东中山•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.已知点P（x,y）在圆C:（x-l『+（y_i）2=2上，贝l］x+y的最大值是4

B.已知直线乙-尸1=0和以M（-3,1）,N（3,2）为端点的线段相交，则实数4的取值范围为-§4%41

C.已知尸（。,3是圆V+y2=/外一点，直线/的方程是6+勿=/，则直线/与圆相离

D.若圆M:（尤-W+（y-盯=/位＞0）上恰有两点到点N（l,0）的距离为1,则r的取值范围是（4,6）

11.（22-23高二下•江苏南通,阶段练习）下面四个结论正确的是（）

A.已知向量2=（9,4,-4）范=（1,2,2）,则［在］上的投影向量为（1,2,2）

—►1—►1—►1—.

B.若对空间中任意一点0,^OP=-OA+-OB+-OC则P,A,民。四点共面

632f

C.已知｛。,反。｝是空间的一组基底，若石=£+"则｛a,4〃”也是空间的一组基底

D.若直线/的方向向量为工=。,0,3）,平面a的法向量5=1-2,0彳］,则直线/_La

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）

12.（2023•江苏无锡•三模）已如尸（3,3）,M是抛物线/=4x上的动点（异于顶点），过M作圆

C:（x-2p+y2=4的切线，切点为A,贝+的最小值为.

13.（24-25高二上•黑龙江•开学考试）如图，平行六面体ABCO-ABCI"的所有棱长均为2,AB,AD,44,两

两所成夹角均为60。，点分别在棱叫刀2上，且BE=2B］E,RF=2DF,则|而卜；直线

AG与EF所成角的余弦值为.

21

14.（22-23高二下•贵州遵义•期中）若点。,2）在直线依+力-1=0上（其中a,6都是正实数），则一+e的

a2b

最小值为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（13分）（23-24高二上•广东•阶段练习）已知直线/：x-y+l=O和圆C:x2+y*_2x+4y-4=0.

⑴判断直线/与圆C的位置关系；若相交，求直线/被圆C截得的弦长；

⑵求过点（4,-1）且与圆C相切的直线方程.

16.（15分）（2022•全国,高考真题）如图，四面体ABC。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为

AC的中点.

⑴证明：平面BED_L平面AC。；

（2）设48=8。=2,/4置=60。，点尸在8。上，当口APC的面积最小时，求CF与平面420所成的角的正

弦值.

22

17.（15分）（24-25高二上•江苏连云港,阶段练习）如图，已知椭圆C:当=l（a>b>0）过点*3,1）,

ab

焦距为4&,斜率为-;的直线/与椭圆C相交于异于点P的两点，且直线均不与x轴垂直.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若九W=而，求MN的方程;

⑶记直线PM的斜率为左，直线PN的斜率为七，证明:改色为定值.

18.（17分）（2023•全国•高考真题）如图，在正四棱柱ABCD-4蜴。自中，AB=2,AAl=4.点

A,,B2,C2,Z>2分别在棱A4,,AB],CG，DQ上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：22c2〃43；

(2)点P在棱B耳上，当二面角尸-劣。2-3为150°时，求32P.

19.(17分)(2022高三・全国•专题练习)已知动点M到直线尤+2=。的距离比到点尸(1,0)的距离大1.

(1)求动点M所在的曲线C的方程；

⑵已知点尸(1,2),A8是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直

线AB的斜率为定值，并求出这个定值；

参考答案:

题号12345678910

答案CCAACBCDACDAD

题号11

答案ABC

1.C

【分析】由两直线的平行与垂直求得〃，加值后可得结论.

4〃3

【详解】由题意不=不。一=4,2加+12=0,m=-6,

22—1

所以机+〃=-2.

故选：C.

2.C

22

【分析】建立直角坐标系，设该椭圆方程为「+2=1,a>b>0,由题意得出椭圆的方程，令1=24,

ab

即可得出答案.

【详解】设该椭圆焦点在X轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆的方程为：

22

，+与=1,a>b>0,由题意可得2。=212,2b=144,

ab

因为直线I平行于长轴且。的中心到I的距离是24m,

令y=24,得12x|==200(01),

故选：C.

3.A

12

【分析】根据点尸与A,B,C三点共面，可得点+：+4=1,从而可得答案.

【详解】因为A,B,C三点不共线，点尸与A,B,C三点共面,

—»1—►2—►—►/、

XOP=-OA+-OB+2OC（2eR）,

122

所以,+§+4=1,解得丸二百.

故选：A.

4.A

【分析】由题意可证直线/恒过的定点P(2,3)在圆内，当。尸，/时直线/被圆。截得的弦长最小，结合勾

股定理计算即可求解.

【详解】直线/：mx+y-2m-3=m(x-2)+y-3=0,

[x—2=0[x=2

令ac，解得」，所以直线/恒过定点尸色,3,

[y-3=0[y=3

圆C：(X77+仃-疗=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,

且|PC「=(2-3『+(3-4『=2<9,即尸在圆内，

当CP，/时，圆心c到直线I的距离最大为d=1Pq=V2,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为26一屋=2"

故选：A.

5.C

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当0,1),(0,1,0)时，三个向量构成空间的一个基底,

则即可分析出正确答案.

【详解】由题意知这三个向量3R,砧，砾共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(o,o,o),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(-1,0,0),(1,0,0)eQ无法推出

(0,0,1)gQ,故A错误:

对B,由空间直角坐标系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),Q,0,0)eC无法推出

(0,0,1)生。，故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知。,0,0),(0,0,1),(0』,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)电Q,

对D,由空间直角坐标系易知。,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1,0,0)e。无法推出(0,0,1)£C,故D错误.

故选：c.

6.B

【分析】先根据双曲线的定义求出优H，由山，在AAG工中，利用正弦定理求出”2耳，再根据三角形的

面积公式求出利用勾股定理可求得C?,进而可求出答案.

【详解】因为国J=2|%4],所以闺A|>内A|,

又因为点A在C上,所以国A|-®A|=2a,

即21KAi-因川=2a,所以国A卜2a,闺A|=4a,

H用H用

在片鸟中，由正弦定理得

sin/AKKsinZAF2F1

IAFIsin30°

所以sin/A用耳」।=1,

AF2

又0。<乙4鸟耳<180。,所以NAg居=90。，故。耳&O=60。,

则¥“但=局$吊60。=2//=66,所以“2=3,

贝IJ闺耳「=(2蛾=|AM-|A用2=16/_4/=]2/=36,所以0?=9,

所以/=02-6=6,

22

所以C的方程为上-匕=1.

36

故选：B.

(分析]利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.

【详解】依题意，方程/+>2—X+y+4=。可以表示圆，则(一I)?+13—4">0,得“</；

由点(2,1)在圆/+一%+>+〃=o的外部可知：2?+干一2+1+〃>0,得〃>一4.

故M一4,＜。＜一1.

2

故选：c

8.D

112

【分析】由点在抛物线上求出p,焦半径的几何性质有两+西=万，再将目标式转化为

\PF\+4\QF\-5,应用基本不等式"1"的代换求最值即可，注意等号成立条件.

【详解】由题设，16=2px2,则20=8,故抛物线的标准方程：y2=8x,则焦点尸(2,0),

1121

由直线尸。过抛物线的焦点，贝1^网+/=]=1,

圆C2：(x-2)2+丁=1圆心为(2,0),半径1,

|尸闾+4|0叫=|尸尸|—1+4（|0尸|—1）=|尸尸|+4|0尸|—5=2（|尸产|+4|。尸|）（向+血）—5

=2x用f

当且仅当I尸切=21QF|时等号成立,故|PM|+4|QN|的最小值为13.

故选：D

112

【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到网+西=彳，并将目标式转化为I尸尸I+4IQFI-5,结

合基本不等式求最值.

9.ACD

【分析】对于A,利用焦点三角形的面积公式求解，对于B,由焦点三角形的面积公式求出90。，再由

以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C,当口尸耳鸟为直角三角形时，求出临界值进行判

断，对于D,利用相关点法结合重心坐标公式求解

2

【详解】由首一匕=1,得/=i万=4,则0=—百

4

°b24

焦点三角形尸耳耳的面积公式0~8，将。=60。代入可知S=46,故A正确.

tan—tan一

〕尸团-P用=2

可得|尸局=2,故B错误.

当5=4时，0=90°由，1|P玻+附|2=国阊

当/月2区=90。时，5=4,当NP鸟片=90。时，S=4石，因为□尸耳外为锐角三角形，所以Se(4,4右)，故

C正确.

设G(x,y),P(Xo，yJ(%>l),贝lj玉；一手=1(%>1),由题设知与(一石,0),用(6,0),贝“：二；；，所以

91一?=故D正确.

故选：ACD

10.AD

【分析】利用三角代换可判断A；求出直线依-y-1=。所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距

离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D.

【详解】A选项，因为点P(x,y)在圆C:(x-l)2+(y-l)2=2上，

所以x+y=l+V2cosa+1+V2sina=2+2sin(cr+：)W4,

TT

当时，1+y取得最大值4,故A正确；

4

fx_0

B选项，由%红-。)一(>+1)=0,所以Jy=T，即直线质一yT=°过点尸(O，T)，

2

因为直线和线段相交，故只需左2/^=1或左《左加=-故B错误;

r2

C选项，圆/+产=产的圆心(o,o)到直线=/的距离=

ax+bydJ/+/

而点是圆x2+/=/外一点，所以〃2+廿〉户,

r2

所以d=/1,<一=r,所以直线与圆相交，故C错误;

+br

D选项，与点N(l,0)的距离为1的点在圆(元—l『+y2=i上，

由题意知圆M：(x—4『+(y-4『=r2(r>0)与圆+y2=1相交，

所以圆心距d=|MN|=5,满足一l<d=5<r+1,解得4<r<6,故D正确.

故选：AD

11.ABC

【分析】利用投影向量的定义判断A,利用空间四点共面，满足历=加刀+〃赤+/反，其中机+〃+，=1

判断B,根据向量基底的概念判断C,利用线面关系的向量表示判断D.

【详解】选项A：因为2=(9,4,-4)3=(1,2,2),所以2在归上的投影向量为

H'故选项A正确；

选项B：因为*^+7+7=1,故选项B正确；

632

选项C：&c｝是空间的一组基底，rn=a+c>所以｛。，瓦〃+。｝两向量之间不共线，所以｛。区耳也是空间

的一组基底，故选项C正确；.

选项D：因为直线/的方向向量为工=。,0,3),平面a的法向量1=，2,0,g1,e.«=-2+0+2=0.则直线

1〃a或lua,故选项D错误；

故选：ABC

12.3

【分析】设出点M的坐标，结合圆的切线的性质求出IK4I,再借助式子几何意义作答.

【详解】依题意，设加(%,％),%>0,有才=4%,圆C:(x-2y+y2=4的圆心C(2,0),半径7=2,

222

于是I1=VlA/C|-r=7(X0-2)+^-4=&=X。,

因此|M4|+\MP\=x0+\MP\,表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，

而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，/+|MP|取得最小值

3,

所以+刊的最小值为3.

故答案为：3.

122斤V15

315

【分析】表达出方=-丽+而一念，平方后求出而2=3，求出网求出年卜2折利

用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值.

【详解】连接A&AE,

EF=7^F-~AE=~AD+-~DD.-^B--BB,=^AB+~AD--~AA,

31313l

-----»2-----»2------,21---->2--------------2-------*----*2----*----*

EF=AB+AD+—A4t-2AB-AD+-AB-AA.--AD-AA,

47i2兀27i40

=4+4H-----2x2x2cos—I—x2x2cos--------x2x2cos—=—,

9333339

故同=等；

而=通+通+丽，

।/»2»2*2»2»•,,►•

故A。=AB+AD+A4j+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-AA1

=4+4+4+2x2x2x—F2X2X2X—F2X2X2X—=24,

222

故丽|=2",

___.(AB+AD+AA.)-\-AB+AD--AA.I

AC「EF='"3f

MM2&巫

3

------2-21-24—-—>2—1,—(■8

-AB+AD--ABAA.+-ADAA,--在

—8后-8A一15

33

故直线AG与EF所成角的余弦值为叵.

15

故答案为：名便；—

315

14.3+2V2/2V2+3

【分析】根据点在直线上可得6的关系，再利用"1"的妙用求解作答.

【详解】依题意，a+2b=\,而a>O,b>。，

工日21._..,21._4ba、。

于ZE—I---=(〃+2b)(—F—)=3-1----1-->3+2

a2ba2"ba2cb'

当且仅当竺=£,即a=2逐时取等号，由卜=2"\得q=2-叵6=立匚,

a2b[a+2b=l2

所以当a=2-血，匕=虫二^寸，2+1取得最小值为3+2血.

2a2b

故答案为：3+20

15.（1）相交，截得的弦长为2.

⑵x=4或4x+3y-13=0.

【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解;

（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.

【详解】（1）由圆C:/+y2-2x+4y-4=0可得，圆心C（l,-2）,半径厂=在+警f=3,

圆心C（l,一2）到直线/:x—y+1=0的距离为d="「I=2V2<r,

V2

所以直线/与圆C相交，

直线/被圆C截得的弦长为2厂彳=2.

（2）若过点（4,-1）的直线斜率不出在，则方程为x=4,

此时圆心C（l,-2）至lj直线x=4的距离为4一1=3=厂，满足题意;

若过点（4,-1）且与圆C相切的直线斜率存在,

贝U设切线方程为V+1=MX-4）,即依一y—4左一1=0,

|—3k+1|4

则圆心到直线依-尸44-1=。的距离为=3解得％=—],

J%2+1

所以切线方程为—4>+宁13=0,即4x+3y—13=0,

综上，过点（4,-1）且与圆。相切的直线方程为％=4或4x+3y-13=0.

16.⑴证明过程见解析

（2）3与平面A3。所成的角的正弦值为迪

7

【分析】（1）根据已知关系证明△A3。2△C3。，得到A8=C3,结合等腰三角形三线合一得到垂直关

系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

(2)根据勾股定理逆用得到BEIDE,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.

【详解】(1)因为AD=CD,E为AC的中点，所以ACLDE；

在LABD和ACBD中，因为AO=CD,NADB=ZCDB,DB=DB,

所以AABD注△CBD,所以AB=C8,又因为E为AC的中点，所以4CL8E；

又因为£>E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因为ACu平面AC。，所以平面BED_L平面AC。.

(2)连接EF,由(1)知，AC_L平面BE。，因为EFu平面BED,

所以ACLM,所以入〃0=(40£尸，

当EEL8。时，EF最小,即口APC的面积最小.

因为△A3。之△CBD,所以CB=AB=2,

又因为NACB=60。，所以AABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=/,

因为AD_LCD,所以OE=；AC=1,

在口。EB中，DE2+BE2=BD2,所以BEJ.DE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系£-孙z,

则4(1,0,0),网0,百,0),£»(0,0,1),所以莅=(-1,0,1),荏=卜1,百,0),

设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0「

则一厂，取y=G则为=9,百,3「

n•AB=-x+Y3y=0

又因为c(-l,o,o)10,一，:，所以CF=1,一,了

I44JI44J

6

cosn,CF=

所以同5

设Cf与平面ABD所成的角为“owev]

所以sin0=|cosn,Cp|=

所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为空2.

7

F

17.呜+卜

(2)y=--x-2

⑶证明见解析

【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；

（2）设直线/的方程为y=+与椭圆联立，由弦长公式求得的方程;

（3）将韦达定理代入左芯中计算结果为定值.

91,

---1---=1

/b2a=2^3

【详解】（1）由题意得・2c=4也解得■b=2

a2=b2+c25=272

故椭圆C的方程为《+2=1.

124

(2)设直线/的方程为〉=-++，"，/(%,%),"伍，%)

1

y=——x+m

3

由，22得4——6JWC+9m2—36=0,

4^/34A/3

由A=(6m)2—144(m2一勺>o,得_<m<,

3-------3

3m9mz-36

贝milJ玉+/=《-，石工2=--------

\MN\=+\+々)2-4工］/-•V16-3m2=V10，

解得m=2^m=-2

当“7=2时，直线/:y=-；x+2经过点尸（3,1）,不符合题意，舍去;

当机=一2时，直线/的方程为y=_gx_2.

(3)直线PM,PN均不与x轴垂直，所以尤1*3,々*3,贝I］相*0且初*2,

x2+m-l

所以优=且二l.Mzl

Xj—3X?—3a-3)(3-3)

2

gxz-3(根―1)(再+x2)+(m-l)

中2-3(芯+%2)+9

\_9m2-361/3m2

-------(m-1)-------F(m-l)

943、J22篝翟4为定值.

9m2-363m9m-18m3

-------------------3----------1-9

42

18.⑴证明见解析;

(2)1

【分析】