2024-2025学年初中数学专项突破：圆幂定理（原卷版）

大招

圆赛定理

D

模型探究

1.弦切角定理

（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.

如图所示，直线PT切圆。于点C,BC、AC为圆。的弦，则有（/PC4为

弦切角）.

2、相交弦定理

【结论1】如图，中，弦AB、CD相交于点P,半径为r,则

①AP•BP=CP•DP,

②AP•BP=CP•DP=r2-OP2-

3、切割线定理

【结论2】如图，PBC是。。的一条割线，PA是。。的一条切线，切

点为A,半径为r,则①PA?=PB•PC,②PA?=PB•PC=PO2-r2

D

c

4、割线定理

【结论3】如图，PAB、PCD是。。的两条割线，半径为r,则

①PA•PB=PC・PD

②PA•PB=PC・PD=OP2-r2

国口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等

例题精讲

考点一：相交弦定理

【例1].己知：如图弦A2经过。。的半径0c的中点P,且AP=2,PB=3,则是O。的

C.272D.276

A变式训练

【变式17].如图，。。的弦A3、CQ相交于点E,若CE：BE=2：3,贝UAE：DE=

【变式1-2].如图，在。。的内接四边形ABC。中，AC±BD,CA=CB,过点A作AC的

垂线交CD的延长线于点E,连结3E.若cos/AC2=g，则理的值为

5CE一

考点二：弦切角定理

【例2】.如图，割线必2过圆心。，PD切。0于D,C是BD上一点，ZPDA=20°,则

/C的度数是度.

A变式训练

【变式2-1].如图，已知NP=45°,角的一边与。。相切于A点，另一边交。。于2、C

两点，OO的半径为百5,AC=2A历，则AB的长度为（

D.5

【变式2-2].如图，3尸是。。的切线，弦。C与过切点的直径AB交于点E,0c的延长线

和切线交于点P,连接AD,BC.若DE=DA=处良，BC=2,则线段CP的长为.

3-

A

考点三：切割线定理

【例3].如图，直线抬过半圆的圆心O,交半圆于A,8两点，PC切半圆与点C,已知

PC=3,PB=L则该半圆的半径为.

A变式训练

【变式3-1].如图，Rtz\ABC中，ZC=90°,。为AB上一点，以。为圆心，0A为半径

作圆。与BC相切于点。，分别交AC、A8于E、F,若CD=2CE=4,则。。的直径为

ED

A.1040C.5D.12

I"

【变式3-2].如图，在四边形ABC。中，以AB为直径的半圆。经过点C,D.AC与BD

相交于点E,CD2^CE-CA,分别延长AB,OC相交于点尸，PB=BO,8=2、历.则

BO的长是.

【变式3-3].如图，在RtaABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于点E,点。在

AB±.,DELEB.

(1)求证：AC是△BDE1的外接圆的切线；

(2)若AD=2%，AE=6圾，求3。的长.

考点四：割线定理

【例4].如图，过点尸作。。的两条割线分别交。。于点A、8和点C、D,已知外=3,

AB=PC=2,则PD的长是()

A变式训练

【变式4-1].如图，P是圆。外的一点，点8、£）在圆上，尸8、分别交圆。于点A、C,

【变式4-2].已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过8、

D两点作圆，与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE-BF的值为.

1.如图，四边形ABCD内接于AB为。。的直径，CM切。。于点C,ZBCM=60°,

则NB的正切值是（）

C.返D.V3

2

2.如图，从圆外一点P引圆的切线E4,点A为切点，割线尸。2交O。于点。、B.已知

B4=12,PD=8,则S“8P：SADAP=

3.如图，在△ABC中，AB=ACfZC=72°,。0过AB两点且与5C切于3,与AC交于

D,连接8。，若8C=遥-1,则AC=.

4.如图，O。的直径42=8,将弧2C沿弦BC折叠后与NABC的角平分线相切，贝^△48。

的面积为.

5.如图，OO是△ABC的外接圆，/3AC=45°,AO_L8C于点。，延长AD交。。于点E,

若BD=4,CD=1,则。E的长是

A

6.如图，已知AC=AB,AD=5,DB=4,ZA=2ZE.贝UC2>£)E=

7.如图：BE切O。于点B,CE交O。于C,D两点，且交直径于AB于点P,OXLCD于

H,OH=5,连接BC、OD,且BC=BE,NC=40°,劣弧2。的长是_.

8.如图，在平面直角坐标系中，。。经过点A(4,3),点8与点C在y轴上，点8与原

点。重合，且A8=AC,AC与。。交于点。，延长AO与OO交于点£,连接CE、DE

与了轴分别交于点G、F,则tan/Z)FO=,tan/A=

9.如图，在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，C。是。。的切线，C为切点,

且CD=CB,连接AD,与O。交于点E.

(1)求证AD=AB；

(2)若AE=5,BC=6,求。。的半径.

10.如图，△ABC是。。的内接三角形，C£>是。。的直径，ABLCZ)于点E,过点A作。。

的切线交O的延长线于点E连接EB.

(1)求证：EB是OO的切线.

(2)若AC=4返，tanNAC£>=4，求。0的半径.

2

11.如图，正方形ABC。内接于OO,点E为A8的中点，连接CE交8。于点孔延长CE

交。。于点G,连接8G.

(1)求证：FB?=FE・FG；

(2)若AB=6,求尸8和EG的长.

12.如图，。。的割线P8A交。。于A、B,PE切OO于E,NAPE的平分线和AE、BE

分别交于C、D,PE=4&,PB=4,ZAEB=6Qa.

(1)求证：APDESAPCA；

(2)试求以E4、PB的长为根的一元二次方程；

(3)求。。的面积.(答案保留it)

13.如图，圆。上有A,B,C三点，AC是直径，点。是AB的中点，连接CD交AB于点E,

点尸在A8延长线上，且FC=FE.

(1)求证：CF是圆。的切线；

14.如图，AB为。。的直径，点P在AB的延长线上，点C在O。上，且

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)已知PC=20,尸8=10,点£)是金的中点，DE1AC,垂足为E,DE交AB于点、F,

求斯的长.

15.已知：如图，尸尸是O。的切线，PE=PF,A是O。上一点，直线AE、AP分别交O。

于2、D,直线。E交O。于C,连接8C,

(1)求证：PE//BC；

(2)将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在OO上另选一点A,如图2.其

他条件不变，在图2中画出完整的图形.此时尸£与3c是否仍然平行？证明你的结论.

图1图2

16.已知AABC是。。的内接三角形，/BAC的平分线与。。相交于点。，连接。8.

(1)如图①，设NABC的平分线与A。相交于点/,求证：BD=DI；

(2)如图②，过点。作直线Z)E〃BC,求证：OE是。。的切线；

(3)如图③，设弦BO,AC延长后交。。外一点凡过厂作AD的平行线交8c的延长

线于点G,过G作。。的切线G8(切点为X),求证：FG=HG.

图①图②图③

17.【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶

点不在圆心）的角命名为圆内角.如图1中，ZAEC,即就是圆内角，所对的分别

是々、BD,那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？

【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步

解决问题：

解：连接BC,OA,OC,OB,0D.

如图2,在△BCE中，ZAEC=ZEBC+ZECB

,：ZEBC=