2024-2025学年初中数学专项突破：探照灯模型（解析版）

大招探照灯模型

词H模型介绍

定角定高模型：如图，直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），

/BAC为定角，则AD有最小值，即AABC的面积有最小值.定角夹定高也叫探

照灯模型.

回模型剖析

如何确定aABC面积的最小值呢？

首先我们连接OAQBQC.过O点作OHXBC于H点.（如右上图）

显然OA+OH2AD,当且仅当A,O,D三点共线时取"=".由于/BAC的大

小是一个定值，而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角/AOB的度数，

也是一个定值.

因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，

有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHNAD,就可以求得圆O半

径的最小值.

简证：OA+OH>AD,

...四边形OEDH为矩形，.-.OH=ED,

在Rtz^AOE中，AO>AE,J.AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD

国步骤指引

1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及

底边长；

2.根据“半径+弦心距之定高”，求r的取值范围；

3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.

□

例题精讲

【例1].如图，在△ABC中，ZBAC=60,AOLBC于点。，且AZ)=4,H

的最小值为应2.

—3―

A

BD0

解：作△A3C的外接圆。0,连接04,OI3,0C,过点。作OE_LBC于点E,

、♦

VZBAC=60°,

：.ZBOC=120°,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=30°,

BE=J^-OB=^-r,

设。。的半径为r,则OE=、OB=L,

2222

：.BC=y/3r,

'：OA+OE^AD,

/.r+—r^4,

2

解得：「力反，

3

3

S=|BC'AD>2x8^X4=

AABC-----,

3

•••AABC的面积的最小值为独巨，

3

故答案为：应a.

3

A变式训练

【变式17].如图，在矩形A2C£>中，AB=2,BC=12,点、E,尸均在A。上，且NA8E+

解：将△OC尸向左平移，使。C与重合，点尸的对应点为点G,

AZGBE=90°,

作的外接圆O,连接OB,

贝ljOB^AB,

当点。与点A重合时，02取得最小值，最小值为2,

；.GE的最小值为4,

.•.△32£1的面积最小=工*3»42=上又4义2=4,

22

四边形矩形ABC。的面积-LABE的面积-ACDF的面积=矩形A2CD的面

积-AGBE的面积，

当4GBE的面积最小时，四边形BCFE的面积有最大值，

.,•四边形BCFE最大=2X12-4=20,

四边形8CFE面积的最大值为20.

故答案为：20.

【变式1-2].如图，在四边形ABC。中，AB=A£>=CO=4,AD//BC,NB=60°,点E、

厂分别为边BC、CD上的两个动点，且/EAP=60°,则的面积的最小值是」

由旋转得：BM=DF,AM=AF,ZABM=ZD=120°,ZMAB=ZFAD,

VZABC=60°,

ZABM+ZABC=18Q°,

：.M,B、E共线，

ZMAE=ZMAB+ZBAE=ZFAD+ZBAE=60°,

60°,AE^AE,

：./\FAE^/\MAE(SAS),

ZMEA=ZFEA,

过A作AH_LBC于H,作AKJ_EF于K,

/.AH—AK—AB,sin60°=2j§,

作的外接圆O。，连接。4、OE、OF,

过。作ONLEF于N,

VZ£AF=60°,

：.ZEOF=120°,

；.NNOF=60°,

设所=2x,则NF=x,

RtzXONP中，。囚=近无，。尸=2巨x,

33

ON+OA=OF+ON=Mx，

•；OA+ON^AK,

.,.百注26

*••SAAEF=-1-£FMX-=y.2x'2V3=2«在4料，

.♦.△AEP面积的最小值是4百.

【例2].如图，已知在四边形ABC。中，ZABC=60°,连接AC、BD交于点E,EC=2AE

=4,若BE=2ED,则8。的最大值为.

解：如图，作△ABC的外接圆O。，连接02,OA,OC,OE,过点。作OH,AC于"

VZAOC=2ZABC,ZABC=60°,

；./AOC=120°,

\'EC=2AE=4,：.AE=2,

；.AC=AE+EC=6,

\"OA=OC,OH±AC,：.AH=HC=3,EH=AH-AE=1,

；/OAC=NOC4=30。，/.(?H=AH*tan30o=«,

E=22

°VOH+EH=V(Vs)2+12=2,OA=2OH=2Vs>

OB=OA=2M，

:BEWOB+OE,.•.8EW2+2我，」.BE的最大值为2+2«,

：8E=2QE,；.OE的最大值为1+/目，二夕。的最大值为3+3«.故答案为3+3百.

A变式训练

【变式2-1].已知点0为直线外一点，点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点，

且/AO8=30°

则△ABO的面积最小值为64-16y.

解：如图，过点。作直线/'〃直线/,则直线/与直线/'之间的距离为4,作点8关于直

线/'的对称点夕，连接。8'，AB',AB'交直线/'于点T,连接87,过点A作AH_L

BT于H,过点T作TW±AB于W.

在RtZiABB'中，2-BB'2=VAB'2-64）

AAB,的值最小时，AB的值最小，

：OA+OB=OA+OB',

...当A,O,B'共线时，AB'的值最小，此时AB的值最小,

•••直线/垂直平分线段8夕，

:.TB=TB',

：.ZTBB'=/TB'B,

'：ZTBA+ZTBB'=90°,ZTAB+ZTB'8=90°,

:.NTAB=NTBA,

：.TA=TB,

:cosZAOB=cosZATB=近，

2

.TH_V3

••--,

TA2

可以假设AT=TB=2k,

：.BH=TB-TH=（2-我）k,

:.AH=k,

•'-AB=VAH2+BH2=Vk2+[（2-V3）k]2=2注4-f%'

,：S^TAB=-"AB-TW=1--TB-AH,

22

.•.1X244-愿"X4=』X2"X«

22

解得k=4<4-愿，

△ABO的面积最小值为=；.工X2V4-V3X4V4-V3X4=6416a,

2

故答案为：64-16A/3.

实战演练

1.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,点。是线段BC上一动点，连

接A。，以A。为边作△AOE,使△ADEs^ABC,则△ADE面积的最小值为_』也_.

解：VZBAC=90°,AB=3,BC=5,

'-AC=I/BC2-AB2=V25-9=4,

•'•S^ABC=—XAB,AC=6,

2

:△ADEs^ABC,

.SAADE_(、AD)2,

^AABC杷

.•.当AO_LBC时，A。有最小值，即△AOE面积有最小值,

止匕时，AD=22£§.=£,

55

12

.,.△ADE面积的最小值=6X(_§_)2=因，

325

故答案为：的.

25

2.如图，ZAOB=45°,在边。4,。2上分别有两个动点C、D.连接C。，以C。为直角

边作等腰直角三角形CDE,当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是

Vw±V2_.

0DB

解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角△CD尸，则。、F、E三点共

线时0E的值最大，

:△CZ)/和△COE是等腰直角三角形，

：.ZCDF=ZCDE=45°,

:.NEDF=90°,

,:CD=2,

:.DE=2近,DF=M，

由勾股定理得：EF=7DF2+DE2=V(V2)2+(2V2)2=J而1

0E=OF+£F=V2+VT0，

OE的最大值是a+国，

故答案为：A/2+VTO-

3.如图，已知△ABC中，ZBAC=60°,平分NBAC,交.BC于D,且A£>=4,贝!laABC

面积的最小值为西巨.

—3―

解：如图，过点。作于点E,作。足LAC于点尸,

VZBAC=6Q°,AD平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD=3O°,

设AB=c,AC=b,

在RtZXADE中，DE^AD-sinZBAD=4sin30°=2,

在RtZ\ACG中，CG=AC・sin/BAC=6・sin60°=^-b,

2

平分/8AC,DELAB,DFLAC,

：.DE=DF=2,

*.*SMBC=SMBD+SMCD,

...AAB«CG=—AB'DE+—AC'DF,

222

即：JLCX返i>=」XcX2+」XZ>X2,

2222

'.c+b=^-^-bc,

4

：（五-五）220,

:.c+l注2瓜当且仅当6=c时取等号，

:.®bc》2瓜,

4

解得：儿》21,

3

4433

故答案为：应.

3

BDC

4.如图，四边形ABCD中，ZBAD=135",ZB=60°,Z£)=120°,AD=5,AB=6,

△AEF面积的最小值当巨

E、P分别为边BC及射线C。上的动点，/瓦1尸=45°,

—4—

D

，

BEC

解：如图，过点4作AM_LBC于M,过点E作EH_LA/于H,ANLCD,交CO的延长

线于N,

：.ZBAM=30°,

・・・5M=3,AM=3«,

VZADC=120°,

ZADN=60°,

AZNAD=30°,

：.DN=-AD=^~,

222

VZBAD=135°,ZEAF=45°,ZBAM=30°,

：.ZMAE+ZDAF=60°,

又・.・/4£^=/。71/+/。物=60°,

：.ZMAE=ZAFDf

又•：/AME=/N=9U°,

・•・&AFNs丛EAM,

•・•-AE二ME,

AFAN

设ME=x,则AE=｛皿2+虹2=痴+乂2,

.——AE・AN=5yX、27+x2

MEa'

VZEAF=45°,HE.LAF,

"E哼但隼义标0,

.♦.△AEP面积(27+x2)=^-/Ax(-2L

28x8x

•・,当m。为正数时，(〃-。)22o,

■+序>2ab,

：.ZVIEF面积一5遥x(27+X)25%X2义庐^二,

8x8Vx

AA£F面积的最小值为应2,

4

故答案为竿.

5.已知点D(2,°)为直线y=--lx+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋

转，保持两直角边始终交无轴于A、8两点，C(0,-1)为y轴上一点，连接AC,BC,

则四边形ACBD面积的最小值为/

取AB的中点尸，连接。尸，

VZADB=90°,

：.AB=2DF

•.•点D(2,o)为直线y=--l.r+3上一点，

.,.a=--X2+3=2,

2

：.D(2,2),

过点D作DELAB于E,

：.DE=2,E(2,0),

,S四边形(OC+DE)=—AB=3DF,

2222

要四边形ACBD的面积最小，即DR最小，

;点D(2,2),点F在x轴上,

当。尸,尤轴时，。尸最小，最小值为。E=2,

••S四边形ACBD最小=3X2=6,

故答案为6.

V

6.如图，在Rt^ABC中，NA=90°,AB^AC,点。在A3上，点E在AC上,且4。=

CE,连接。E,求些的最小值.

CD

解：设AB=AC=1,

VZA=90°,AB=AC,

.♦.△ABC是等腰直角三角形，ZB=45°,

:.BC=®AB=®

设AD=CE=x,

.".AE=BD=1-x,

过点。作DFL2C于R如图所示:

则LBDF是等腰直角三角形,

：.BF=DF=^1BD='^-

2

(l-x),OE=^AD2AE2=“+(bX)2=72-2X+1,

22+

CF=BC-BF=®-叵(1-x)=亚(x+1),

22

2

=2(x+1)]2=V2+l)

CDVDF4CF-x)]+x

.DE_V2X2-2X+1_

2竽

F&+ix*+l

设“，+l-=y,整理得：yx1-2x+y-1=0,

x2+l

为实数,

，△=(-2)2-4y(y-1)20,即：y2-y-1^0,

2.2

，y最大值为1啖,

7.边长为为常数)的正方形A5CD中，动点E、尸分别在边CD和边3。上，且NEA尸

=45°

(1)线段跖的最小值;

(2)SAECF的最大值;

(3)SZXECV的最小值.

解：(1)设CE=x,CF=y,

(x-y)220,

.•・/+/22孙，

VEF2=X2+/,

.•.EF最小时，x1+y2=2xy,

即(x-y)2=0,

.\x=y,即CE—CF,

：.EFLAC,EG=FG,

・・・AC垂直平分ER

：.AE=AF,ZEAG=ZFAG,

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC=D=AD,ADLCD,AB±BC,ZBAD=90°,ZBAC=ZDAC=45°,

:・DE=BF,

VZEAF=45°,

・•・ZDAE=ZCAE=ZCAF=NBAF,

；.DE=GE=GF=BF,丛ECG和△/CG是等腰直角三角形，

设OE=GE=x,贝UEF=2x,

■:DE+CE=CD=a,

；・x+^f^x=a,

解得：x=(A/2-1)〃，

：.EF=2x=(2V2-2)a；

即EF的最小值为(272-2)〃；

(2)当CE=CF=y[^(5/2-1)a=(2-y[2)a时，S^ECF最大,

.”△£。尸的最大值=/小乂。/=』(2-V2)aX(2-V2)a=(3-272)a2.

(3)当E尸与CQ或BC重合时，EF=a,边EF上的高为0,

SAECF的最小值=1。义0=0.

8.如图，在正方形ABC。中，AB=4,点E是C£＞边上一点，将△ADE沿AE折叠，得到

△APE,点。的对应点，为点P,连接EP并延长，交BC于点F,连接AF、CP.

(1)求证：Z£AF=45°；

(2)当A尸〃CP时，求。E的长；

(3)试探究△AEP的面积是否存在最小值，若存在，求出△&£尸面积的最小值；若不存

在，请说明理由.

(1)证明：I•将△ADE沿AE折叠，得到△人2£1,

：.AD=AP,ZD=ZAPE=90°,ZDAE=APAE,DE=PE,

：.ZB=ZAPF=90°,AP=AD^AB,

又：AP=AR

.•.RtAABF^RtAAPF(HL),

：.ZBAF=ZFAF,

：.ZEAF^ZFAF+ZR\E^—ZBAD^45°；

2

(2)解：,/RtAABF^RtAAPF,

/.ZAFB=ZAFP,BF=PF,

'：AF//CP,

：.ZAFP=ZFPC,ZAFB=ZFCP,

：.ZFPC=ZFCP,

：.PF=CF,

：.PF=CF=BF=—BC=2,

2

V£F2=CF2+C£2,

(2+D£)2=4+(4-DE)2,

.-.DE=A；

3

(3)解：如图，作尸的外接圆O。，连接AO,EO,FO,过点。作。HLEE于H,

设OO的半径r,

,：ZEOF=2ZEAF=90°,OE=OF=r,OHLEF,

:.EF=4^OE=®r,08=2■所=亚广，

22

'：AO+OH^AP,

.〉+亚厂24,

2

.•.r28-4&,

当点A,点O,点H三点共线时，，有最小值为8-4&,

此时，取最小值为8a-8,

...△AEP面积的最小值=!XE"AP=!X4X(8&-8)=1672-16,

22

...△4所面积的最小值为16&-16.

9.如图，平面直角坐标系中，。为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB

的两条外角平分线交于点P，尸在反比例函数y=9的图象上.以的延长线交x轴于点C,

X

总的延长线交y轴于点。，连接CD

(1)求NP的度数及点尸的坐标；

(2)求△OCD的面积；

(3)AAOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由.

：.ZPMA=ZPHA=90°,

VZPAM=APAH,B4=B4,

/./\PAM^^\PAH(AAS),

：・PM=PH,NAPM=NAPH,

同理可证：△BPN”ABPH,

：・PH=PN,/BPN=/BPH,

:・PM=PN,

VZPMO=ZMON=ZPNO=90°,

J四边形PMON是矩形，

AZMPN=90°,

/.ZAPB=ZAPH+ZBPH=-Q/MPH+/NPH)=45°,

2

•：PM=PN,

・••可以假设P(m,m),

VP(m,m)在y=9上，

x

/.m2=9,

Vm>0,

/.m=3,

：.P(3,3).

(2)设OA=〃，OB=b,贝(|AA/=AH=3-〃，BN=BH=3-b,

.\AB=6-a-b,

VAB2=(9A2+(?B2,

/.a2+b2=(6-a-b)2,

可得ab=6a+6b-18,

3«+3Z?-9=—ab,

2

U：PM//OC,

.CO=OA

，ePMAM，

•.•一OC-_■a，

33-a

.•.OC=2-,同法可得oz)=①

3-a3-b

•*.SACOD=--OC'DO=—,—-------------------=—,-------------------=—,—,"b——=

2■「2(3-a)(3-b)29-3a-3b+ab2.Aab+ab

解法二：连接。尸.

•；NPOA=NPOB=ZCP£>=45°,

：.ZCOP=ZPOD==135°,

VZPOB=ZPCO+ZOPC=45°,ZAPO+ZOPD=45°,

:.NPCO=NOPD,

：./\COP^/\POD,

：.OC-OD=OP2=18,可求△CO£)的面积等于9.

(3)设OA=a,OB=b,贝UAM=AH=3-a,BN=BH=3-b,

".AB—6-a-b,

：.OA+OB+AB=6,

a+b+Va2+b2=6>

*e•2Vab+72abW6，

(2+A/2)«abW6,

Vab^3(2-&),

••."W54-36^2»

：.S^AOB=—ab^Zl-1872，

2

：.^AOB的面积的最大值为27-1872.

10.在四边形ABCQ中，点E在BC边上(不与8、C重合).

(1)如图(1),若四边形是正方形，AE±EF,AE=EF,连C尸.

①求NBC尸的大小；

②如图(2),点G是C尸的中点，连。G、ED,若。石=6,求。G的长；

(2)如图(3),若四边形ABCD是矩形，点M在4。边上，ZA£M=60°,CD=9,求

线段AM的最小值.

BE

BEBE

图（1）图(2)图(3)

解：(1)①如图(1),在A2上取一上点使A8=CE,连接EH,

斗、'

〜_•*********_1/

BEC

图⑴

•・•四边形A5CO是正方形,

：.AB=BC,N5=90°,

:・BE=BH,

；./BHE=45°,

AZAHE=135°,

VZAEF=90°,

AZAEB+ZCEF=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

:・NBAE=NCEF,

•；AE=EF,

：./\AHE^/\ECF(SAS),

：.ZBCF=ZAH£=135°；

②如图(2),在AB上取一上点H使A〃=CE,连接EX,BD,

图(2)

由①知：AAHEq/\ECF,

：.EH=CF,

设8E=2x,则£H=CP=2&x,

是CP的中点，

CG=&x,

..图=^=&,

CGV2x

•..四边形A8C。是正方形，

：.BD=y/2CD,

：ZDBE=ZDCG=45°,

ADBEs^DCG,

..DE=BD

DGCD

:DE=6,

\DG=3®；

(2)如图(3),作△AEM的外接圆O,过点。作ONLUf于N,连接OA,OE,OM,

VZAEM=60°,

AZAOM=120°,

*.•ONLAM,

:,AN=MN,ZAON=ZNOM=60°,

AZOAN=ZOMN=30°,

设ON=a,则OA=2a,AN=y/~3a,

贝！JOE+ON'AB,

即当E,O,N三点共线时，。最小，此时AM最小,

/.〃+2〃=9,

.•.4=3,

的最小值是6V3-

11.如图，在RtZXABC中，AC=8愿，/BAC=90°,ZC=30°,AO_LBC于点。，点E、

厂分别在A3、AC边上，且/即尸=120°,连接EK

(1)如图①，当。E_LAB时，求。尸的长；

(2)如图②，过点。作DGLOE交AC于点G.连接EG.

①求证：EG//DF-,

②求△。£尸面积的最小值.

图①

图②

(1)解：VZBAC=90°,/C=30°,

/.ZB=60°,

"：DE.LAB,

；.NEDB=30°,

:NEDF=120°,

AZF£)C=180°-30°-120°=30°,

：.ZFDC=ZC=30°,

:,FD=FC,

U：AD±BC,

：.ZDAC=ZFDC=60°,

：.FA=FD=FC=4y/3；

(2)①证明：如图②中，EG的中点。，连接04,OD.

图②

VDGXDE,

：.ZEDG=ZEAG=90°,

♦：E0=0G,

：・0A=0G=0E=0D,

・・・A,E,D,G四点共圆，

：.ZEGD=ZBAD=30°,

,：ZEDF=12O°,NEDG=90°,

；・NFDG=NEGD=30°,

：.EG//DF；

②解：如图③中，过点。作。HLAC于点H,作△OG/的外接圆OO,连接OG,OF,

0D,过点。作0TLic于点■

图③

,:EG〃DF,

/.S^DEF=S/\DFG=—•FG・DH,

2

VZADC=90°,AC=8«,ZC=30°,

：.AD=^AC=4yf3>

：.CD=y/3AD=12,

：.DH=—CD=6,

2

S丛DEF=3GF,

设FG=x,

ZGOF=2ZGDF=60°,OF=OG,

•••△O厂G是等边三角形，

：.OD=OG=OF=FG=x,OT=^-x,

2

:OD+OT^DH,

返x26,

2

：.x^24-12A/3>

：.FG的最小值为24-12«,

:ADEF的面积的最小值为72-36V3.

12.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=2,过点8作直线机〃AC,^AABC

绕点C顺时针旋转得到△>!'B'C(点A,B的对应点分别为A,B'),射线CA',CB'

分别交直线加于点P,Q.

(1)如图1,当尸与A'重合时，求NACA'的度数；

(2)如图2,设A'B'与BC的交点为当M为A'B'的中点时，求线段P。的长；

(3)在旋转过程中，当点P,。分别在CA',C8'的延长线上时，试探究四边形以,夕

。的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形B'Q的最小面积；若不存在，请

说明理由.

解：（1）由旋转可得：AC=AC=2,

VZACB=90°,AB=47,AC=2,

:.BC=M，

VZACB=90°,m//AC,

ZA'BC=90°,

cosZA'CB==返，

A'C2

ZA'CB=30°,

AZAC4'=60°；

（2）为48的中点，

ZA'CM=ZMA'C,

由旋转可得，ZMA'C=ZA,

：.ZA=ZA'CM,

tanZPCB=tanZA=,

2

：.PB=^3-BC=—,

22

'：ZPCQ=ZPBC^90°,

ZBQC+ZBPC=ZBCP+ZBPC=90°,

:./BQC=NBCP=NA,

tan/BQC=tanNA=，

：.BQ=BCX^=-=2,

V3

:.PQ=PB+BQ=三;

（3）,:S四边形24归，Q=S△尸C。一SAA'CB1—S^PCQ-Vs>

***S四边形PA'B'。最小，即S^PCQ最小，

/.S^PCQ^—PQXBC=叵PQ,

22

法一：（几何法）取PQ的中点G,

VZPCe=90°,

：.CG=^PQ,BPPQ=2CG,

2

当CG最小时，PQ最小，

：.CG±PQ,即CG与CB重合时，CG最小，

CGmin=y[3，PQmin=2^^3，

S^PCQ的最小值=3,S四边形以,⑶Q=3-V3；

法二（代数法）设尸3=x,BQ=y,

由射影定理得：孙=3,

**•当PQ最小时，x+y最小，

/.（x+y）2=x2+2xy-i-y2=x2+6+y22xy+6=12,

当％=y=愿时，"=”成立，

•••尸。=«+百=2«，

SAPCQ的最小值=3,S四边形0=3-V3.

13.辅助圆之定角定高求解探究

（1）如图①，已知线段A2,以A2为斜边，在图中画出一个直角三角形；

（2）如图②，在△ABC中，ZACB=60°,CO为A8边上的高，若C£>=4,试判断AB

是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形

ABCDZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6&,点E、尸分别为AB、AD±.

的点，若保持CELCF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面

积的最大值，若不存在，请说明理由.

A---------------------------B/

ADBAEB

图①图②图③

解：（1）如图①中，△ABC即为所求.

图①

（2）如图②中，作△ABC的外接圆O。，连接。4,OB,OC,作OELAB于E.设。4

=0C=2x.

C

3

(3)如图③中，连接AC,延长BC交的延长线于G,将△(；£)尸顺时针旋转得到△

CBH,作△CE"的外接圆。。

VZADC=ZABC^9Q°,AC^AC,CD=CB,

：.RtAACD^RtAACB(HL),

S^ACD=SAACB,

VZDAB=45°,

：.ZDCB=135°

/.ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6近,

：.CG=®CD=12,

AB=GB=12+65/2，

由(2)可知，当△CEH的外接圆的圆心。在线段BC上时，△EC#的面积最小，此时

四边形AFCE的面积最大，

设OC=OE=r,易知OB=EB==r,

2

+支，=6M,

2

.36&(2-扬，

:.EH=Hr=12(2-&),

四边形AFCE的面积的最大值=2X4X(12+6A/2)X6A/2-4X12(2-V2)X6加

=144.

14.问题提出

(1)如图①，点。是等边△ABC的内心，连接03、0C,则/BOC的大小为120。；

问题探究

(2)如图②，在RtZkABC中，NA=90°，点。、£分别在边A3、AC上，5.DE//BC,

点M、N分别是。E、8c的中点，连接MN.若BD=8,CE=6,求MN的长；

问题解决

(3)如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABC。，根据设计要

求，在四边形A8C。中，AD//BC,且8C=2A。，AO与8C之间的距离为40加，ZA+

/。=225°.试求四边形花园ABC。面积的最小值.

解：(1):点。是等边△ABC的内心，

：.BO,C。分别平分/ABC、ZACB,ZABC=60°,ZACB=60°,

.•./O2C=/OCB=30°,

：.ZBOC=1SO°-ZOBC-ZOCB=120°；

(2)如图：过点M分别作M/〃AB交BC于点尸，MG〃AC交BC于点G,

BFNGC

又■:DE//BC,

：.四边形DBFM、MGCE都是平行四边形，

：.DM=BF,ME=CG,MF=BD=8,MG=CE=6,

'：MF//AB交BC于点F,MG//AC,

：.ZB=ZMFG,NC=/MGF,

VZA=90°,

：.ZB+ZC=90°,

：.ZMFG+ZMGF^90°,

...△M/G是直角三角形，即八7=10,

又：点M、N分别是DE、BC的中点，

：.DM=ME=BF=CG,BN=CN,

：.BN-BF=CN-CG,即FN=NG,

MN是直角三角形MFG斜边的中线，

:.MN=、FG=5；

2

(3)如图：过点A作于点H,则AH=40,

取BC的中点E,连接AE,

:.BC=2EC.

；BC=2AD,AD//BC,

J.AD//EC,AD=EC,

四边形AECD是平行四边形,

：.AE//CD,

：.ZEAD+ZD=1SO°,

又•；NA4Z)+Nr>=225°,

/.ZBAE=45°,

作△ABE的外接圆。。，连接。4、OE、0B,过点。作于点

则/30£=2/氏4£=90°,ZBOM=ZEOM=45a,

设。。的半径为r,则OM=J^r=BM=ME,BE=42r,

2

OA+OM^AH,

.•.厂+亚厂240,

2

解得：r280-40a,

/.当A、0、M三点共线时，r取得最小值80-40A/2.此时BE取得最小值80&-801

四边形ABCD=Lx40x(AD+BC)=20(AD+BC)=30BC=60BE,

2

•**S四边形ABCD最小—60X(80A/2-80)=480072-4800,

，四边形花园ABC。面积的最小值为(48007历-4800)总.

15.问题探究

(1)如图①，已知在△ABC中，N2=/C=30°,BC=6,则S.BC=3F.

(2)如图②，已知四边形ABCZ)中，ZABC+ZADC=180°,AD=DC,BD=4、叵,请

求出四边形ABCD面积的最大值.

问题解决

(3)如图③，某小区有一个四边形花坛ABC。，AD//BC,AB=AD^CD^15m,/B=

NC=60°.为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造

型设计要求，点£、