2024-2025学年初中数学专项突破：射影定理模型（原卷版）

a百©m模型介绍

1.射影定理定义

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

2.如图在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜边8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

rim

目自例题精讲

【例1】.在矩形A8C。中，8£，47交4。于点£,G为垂足.若CG=C£)=1,则AC的长

【例2】.如图：二次函数y=a?+fot+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若

C.-1D.-2

【例3】.将BC沿弦8c折叠，交直径AB于点。，若AO=4,DB=5,则8c的长是（)

C.V65D,2^15

A变式训练

【变式1]如图，在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,DELAC,则AC'EC的值是.

【变式2].如图所示，在矩形ABC。中，AELBD于点E,对角线AC,BD交于0,且BE：

ED=1：3,AD=6cm,贝！JAE=cm.

【变式3】.如图，若抛物线y=o?+a+c（a#0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,

若/。1C=NOCB.则ac的值为（）

A.-1B.-2C.」D.」

23

【变式4】.如图，正方形ABC。中，E为A3上一点，于点R已知。歹=5所=5,

过C、。、尸的。O与边AD交于点G,则DG=.

【变式5】.如图，在△ABC中，以AC边为直径的。。交BC于点。，过点2作8GLAC

交。。于点E、H,连A。、ED、EC.若BD=8,DC=6,则CE的长为.

【变式6】.如图，四边形ABC。是平行四边形，过点A作AELBC交BC于点E,点尸在

BC的延长线上，且CP=BE,连接。足

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接AC,若NAC£)=90°，A£=4,CF=2,求EC和AC的长.

BECF

实战演练

1.冢度「在矩形48。中，DELAC,垂足为点E.sinZAZ)E=A,A£)=4,则A8的长

为(

2.如图，在矩形ABCD中，BD=2M.对角线AC与3。相交于点。，过点。作AC的垂

线，交AC于点E,AE=3CE.则。E?的值为()

B.2MD.473

3.如图，在正方形A8C。内，以。点为圆心，长为半径的弧与以8C为直径的半圆交

于点P,延长CP、AP交AB、8C于点M、N.若AB=2,则A尸等于()

D

B2^c.喑

-5D・华

4.如图，点P是。。的直径54延长线上一点，PC与。。相切于点C,CDLAB,垂足为

D,连接AC、BC、OC,那么下列结论中：①PC2=B4・PB；@PC-OC=OP-CD；③

=OD-OP；®OA(CP-CD)=AP'CD,正确的结论有()个.

5.如图，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC=8遍，点E为AC的中点，点尸在底边

BC上，S.FE±BE,贝I|C「长.

6.如图，在矩形ABCZ)中，点E在边A。上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△G3E,BG

的延长线交C。于点?尸为C。的中点，连结CG,若点E,G,C在同一条直线上，FG

=1,则C。的长为,

cos/QEC的值为.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=fcc+l分别交x轴，y轴于点A,B,过点B作8c

交x轴于点C,过点C作C£)J_BC交y轴于点过点。作交x轴于点E,

过点E作EFLOE交y轴于点尸.已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段“'的长

8.如图，在菱形ABC。中，过点。作。交对角线AC于点E,连接BE,点尸是线

段BE上一动点，作尸关于直线的对称点P,点。是AC上一动点，连接尸。，DQ.若

AE=14,CE=18,则。。-P。的最大值为.

B

9.在矩形ABC。中，点E为射线BC上一动点，连接AE.

(1)当点E在8C边上时,将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点尸处，

AE交BD于点G.

①如图1,若BC=、RAB,求/AFD的度数；

②如图2,当AB=4,且EF=EC时，求BC的长.

(2)在②所得矩形ABC。中，将矩形ABC。沿AE进行翻折，点C的对应点为C,当点

E,C,。三点共线时，求8E的长.

图I图2备用图

10.如图，已知。。的半径为2,A8为直径，CD为弦,A2与CD交于点M,将弧C£)沿

着C。翻折后，点A与圆心。重合，延长。4至P,使AP=O4,连接尸C.

(1)求证：PC是的切线；

(2)点G为弧AD8的中点，在PC延长线上有一动点。，连接QG交A8于点E,交弧

BC于点与8、C不重合).问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不

是，请说明理由.

11.如图1,在正方形A3C。中，点石是边上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连

接CE,过点B作BFVCE于点G,交AD于点F.

(1)求证：△ABF四△BCE；

(2)如图2,当点E运动到A2中点时，连接。G,求证：DC=DG；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作CMLDG于点H,分别交AD,8尸于点

12.在平面直角坐标系中，己知A(-4