艺考生专题讲义36 排列组合

考点36排列组合知识梳理一．计数原理(一)分类加法计数原理1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2.特征(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的(二)分步乘法计数原理1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2.特征(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏二．排列、组合(一)排列组合定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(二)排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)精讲精练题型一排列组合数的计数【例1】(1)(2024·全国高三专题练习)若，则的值为()A．60 B．70 C．120 D．140(2)(2024·全国高三专题练习)已知，则()A．11 B．12 C．13 D．14【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，解得或(舍去)，.故选：D.(2)∵，∴，整理，得，；解得，或(不合题意，舍去)；∴的值为12.故选：B.【举一反三】1．(2024·全国高三专题练习)已知，则()A．5 B．7 C．10 D．14【答案】B【解析】，可得，即，解得.故选：.2．(2024·吉林油田第十一中学高三月考)若，则()A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因为，所以所以即，即解得故选：D3．(2024·全国高三专题练习)已知,则()A． B． C．或3 D．【答案】C【解析】当时成立；当时也成立；故选C.题型二排队问题【例2】(2024·全国高三专题练习)3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(4)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？【答案】(1)4320；(2)14400；(3)20160；(4)30960.【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，因此，共有种不同排法；(2)(插空法)先排5名男生，有种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有种不同排法；(3)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为；(4)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置，法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法，甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种不同排法，由分类加法计数原理知，共有种不同排法；法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有种排法，余下7个位置全排，有种排法，但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有种排法；法三(间接法)：8名学生全排列，共种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，因此共有种排法．【方法总结】【方法总结】排列问题常用方法直接法：把符合条件的排列数直接列式计算优先法：优先安排特殊元素或特殊位置3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列4.插空法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列6.间接法：正难则反、等价转化的方法【举一反三】1．(2024·河北张家口市·高三期末)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为()A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C2．(2024·上海高三专题练习)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24【答案】D【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种3．(2024·全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有()A．72种 B．144种 C．360种 D．720种【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B.4．(2024·江苏南通市·高三月考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________．【答案】192【解析】(1)当“乐”课程排在第2，5，6周时，；(2)当“乐”课程排在第3或4周时，，所有可能的排法种数为192.5.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【答案】(1)2520种(2)5040种(3)3600种(4)576种(5)1440种【解析】(1)从7人中选5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq\o\al(2,6)种排法，其他有Aeq\o\al(5,5)种排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．题型三排数问题【例3】(2024·全国高三专题练习)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【答案】(1)648；(2)156；(3)2296；(4)1140；(5)1013【解析】(1)由题意，无重复的三位数共有个；(2)当百位为1时，共有个数；当百位为2时，共有个数；当百位为3时，共有个数，所以315是第个数；(3)无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；(4)当选出的偶数为0时，共有个数，当选出的偶数不为0时，共有个数，所以这样的四位数共有个数；(5)当挑出两个数时，渐减数共有个，当挑出三个数时，渐减数共有个，，当挑出十个数时，渐减数共有个，所以这样的数共有个.【举一反三】1．(2024·湖南株洲市·高三一模)由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是()A．24 B．12 C．10 D．6【答案】C【解析】当个位数是0时，有个，当个位数是5时，有个，所以能被5整除的个数是10，故选：C2．(2024·全国高三专题练习)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有3×24=72个；②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有2×24=48个.共有72+48=120个．故选：B3．(2024·龙港市第二高级中学高三开学考试)用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.【答案】72【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；故符合条件的有；故答案为：．4．(2024·浙江金华市·高三其他模拟)用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为_________.【答案】【解析】1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数的个数共有个其中1，2相邻的六位数的个数共有个5，0相邻的六位数的个数共有个1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有个即满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为故答案为：题型四染色问题【例4】(2024·安徽省六安中学)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为()A．360 B．400 C．420 D．480【答案】C【解析】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E,如图，分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：C【举一反三】1．(2024·江苏高三专题练习)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有________.【答案】4320【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理.2．(2024·江苏)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从开始涂色，有4种方法，有3种方法，①若与涂色相同，则共有种涂色方法；②若与涂色不相同，则有2种涂色方法，当涂色相同时，有3种涂色方法；当涂色不相同时，有2种涂法，有2种涂色方法.共有种涂色方法.故答案为：240.3．(2024·四川省眉山车城中学)西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．【答案】420【解析】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×(2×2+1×3)＝420种方法．故答案为420.4．(2024·全国高三专题练习)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.(用数字作答)【答案】120【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；所以共有种栽种方法.故答案为：120题型五分组分配问题【例5】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】(1)60；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90.【解析】(1)先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法．(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种．(3)从6本书中选择2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．所以分配方式共有种(4)由(3)可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种(5)从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了所以总共有种(6)由(5)可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种．【方法总结】【方法总结】分组、分配问题1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”【举一反三】1．(2024·全国高三专题练习)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．【答案】．【解析】将这张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有种分组办法，再分给人的不同分法有种．故答案为：．2．(2024·全国高三专题练习)在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种(用数字作答)；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为____________.【答案】625【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案种，其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案种，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为故答案为：3.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为。【答案】1500【解析】分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共Ceq\o\al(3,5)种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种情况.故选择情况数为Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)＝1500(种).4．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全