艺考生专题讲义09 函数的周期性与对称性

考点09函数的单调性与奇偶性知识梳理一．函数的周期性1.周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．二．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．精讲精练题型一对称性【例1】已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.【举一反三】1.已知函数，且，则下列不等式中成立的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由得图象的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，故选：C.2.函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵在上是增函数，∴在上是增函数，由函数是偶函数，知：在上是减函数，而，由，∴.故选：B题型二周期性【例2】已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函数，∴，又，∴是周期函数，周期为4．∴．故选：A．【举一反三】1．已知定义在R上的奇函数满足，若，则()A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是周期函数，周期为4所以故选：B2．已知是R上的奇函数且，当时，，()A． B．2 C． D．98【答案】A【解析】，是以4为周期的函数，，是R上的奇函数，，.故选：A.3．若在上是奇函数，且有，当时，则()A．242 B．-242 C．2 D．-2【答案】D【解析】由是定义在上的奇函数，得，又时，，所以，因为对任意都有，所以4为的周期，所以故选：．题型三函数性质的综合运用【例3】已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．【答案】1【解析】因为，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.所以,,,所以原式等于故答案为：【举一反三】1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=()A．0 B．−a C．a D．3a【答案】B【解析】因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(−1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1−x)可得f(x+1)=f(1−x)=−f(x−1)，所以f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(−1)+f(0)=−f(1)=−a.故选B2．定义在上的函数满足，且，则=__________。【答案】-1【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以3.已知定义域的奇函数的图像关于直线对称