课时作业46 定点、定值、定直线（教师版）

课时作业46三定问题(定点、定值、定直线)1．(2024·江苏常州市·高三一模)已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.(1)过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；(2)已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)设过点的直线为交于椭圆联立消去y得又因为以线段为直径的圆经过原点，则则所求直线方程(2)已知椭圆的离心率为，右准线直线n的方程为，因为直线上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为，所以直线与椭圆相切，设直线的方程为，联立消去y得到：①联立点N坐标为得到,由①2(2024·山西临汾市·高三一模())已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明由．【答案】(1)；(2)存在点，使得平分．【解析】(1)由题意可得，双曲线的焦点为，渐近线方程为：，则焦点到渐近线的距离为，所以，则椭圆的标准方程为；(2)存在点使得平分，由题知，直线的斜率存在且不为0，又直线过点，则设直线的方程为，，，，联立方程，消去整可得：，所以，，因为，，，所以，即，因为，所以，即，则，化简可得，因为，所以，综上，存在点，使得平分．3．(2024·漠河市高级中学高三月考())已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明由.【答案】(1)；(2)存在，定点为.【解析】(1)由题意，抛物线，可得焦点为，所以，又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，可得，解得，即椭圆的标准方程为.(2)由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，设点､，则点，联立直线与椭圆的方程，整得，由恒成立，且，，由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，故假设存在定点，使得､､三点共线，则，即，可得.故存在定点，使得､､三点共线.4．(2024·山东烟台市·高三一模)已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明由.【答案】(1)；(2)是定值，定值为.【解析】(1)由为直角三角形，故，又，可得解得所以，所以椭圆的方程为；(2)当切线的斜率不存在时，其方程为将代入，得，不妨设，，又所以同当时，也有.当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切，所以即，将代入，得，所以又，又，将代入上式，得，综上，.6．(2024·四川遂宁市·高三二模())如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.(1)求的值；(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明由.【答案】(1)；(2)过定点，定点为.【解析】(1)设，则，由题意得焦点为所以，.当时，有.联立得，，从而.将代入，得，即，所以或(舍)，故.(2)由(1)知，，椭圆：.设：，代入椭圆：，消去并整得，所以，而，所以，由韦达定得，所以.同：，即，，所以，所以，于是.所以直线：.令，得，将代入得，所以经过定点.7．(2024·广东汕头市·高三一模)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．(1)求动点的轨迹方程；(2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．②求四边形面积的最小值．【答案】(1)；(2)①证明见解析，定点坐标为；②.【解析】(1)设点，依题意，，所以动点的轨迹为椭圆(左、右顶点除外)，则，，，动点的轨迹方程是；(2)①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线的方程为，则直线的方程为，直线、均过椭圆的焦点(椭圆内一点)，、与椭圆必有交点．设、，由，由韦达定可得，则，所以点的坐标为，同可得点，直线的斜率为，直线的方程是，即，当时，直线的方程为，直线过定点．综上，直线过定点；②由①可得，，，同可得，所以，四边形的面积为，当且仅当取等号．因此，四边形的面积的最小值为.8．(2024·河南平顶山市·高三二模())已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．(1)求椭圆的方程；(2)在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明由．【答案】(1)；(2)存在点，满足为定值．.【解析】(1)由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组得．则，所以．所以．所以椭圆的方程为．(2)当直线不与轴重合时，设，联立方程组得．设，，，则有，．于是，若为定值，则有，得，．此时：当直线与轴重合时，，，也有．综上，存在点，满足为定值．9．(2024·北京平谷区·高三一模)已知椭圆的离心率为，并且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】(1)由已知解得所以椭圆：．(2)证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设直线的方程为，，，则，由得，所以，，，，所以，即，直线的方程为，令得所以，令由得所以，所以=.10．(2024·河南新乡市·高三二模())已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.(1)求的方程；(2)为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明由.【答案】(1)；(2)是定值，.【解析】(1)设，则，故，∴，又，由题意知：，解得，∴椭圆的方程为.(2)根据椭圆的