课时作业28 数列求和常用方法（教师版）

课时作业28数列求和的常用方法一、单选题1．(2024·平罗中学)已知数列的通项公式：，则它的前项和是()A． B． C． D．【答案】B【解析】，其前项和.故选：B.2(2024·全国高三专题练习)已知函数，则()A．2018 B．2019C．4036 D．4038【答案】A【解析】，，令，则，两式相加得：，.故选：.3．(2024·全国高三专题练习)设函数，利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法，求得的值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.4．(2019·江苏省前黄高级中学高二月考)设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案为：.5．(2024·宝鸡市渭滨中学高三月考)已知为等差数列，前项和为.(1)求的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)设数列的公差为d，由，得，则，所以，；(2)由(1)得，所以.6．(2024·四川成都市·高三其他模拟)已知数列是公差为的等差数列，且是的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)当时，求数列的前n项和.【答案】(1)当时，；当时，；(2).【解析】(1)是的等比中项，，即，整得，解得或，当时，，当时，；(2)由(1)知，当时，，).7．(2024·静宁县第一中学高三月考)已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，，∴当时，因为①所以②①－②得，∴.所以数列是首项为，公比为的等比数列.∴.由(1)得，∴.8．(2024·宁夏银川市·银川一中高三月考)已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设记数列的前n项和为.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，得，解得.∴an＝a1+(n﹣1)d＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1；(2)由(1)知，an＝2n﹣1.则，∴.9．(2024·全国高三月考)已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，；(2).【解析】(1)当时，；当时，若时，故，．(2)依题意，故．10．(2024·江苏南通市·高三期中)已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项的和为Tn，求Tn.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意,等差数列中，因为，可得，因为，可得，所以数列的通项公式为.(2)由(1)可得，所以.11．(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得：，因为，当时，，而，所以数列的通项公式.(2)因为，所以，所以，，.12．(2024·全国高三月考)已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)依题意，，解得，故①，而，故，故②，联立①②两式，解得，，故，；(2)依题意，，故.13．(2024·江苏镇江市·高三期中)已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：设等差数列首项为，公差为，，，得：，解得：，，；(2)，.14．(2024·湖南衡阳市一中高三期中)设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n和.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】选条件①时，(1)时，整得，所以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，(1)由于，所以①，当时，②，①②得：，，整得，所以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件③时，由于，①②①②时，，整得(常数)，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.15．(2024·商河县第二中学高三期中)已知数列前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题知，即，即，∵，∴，∴，∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴，∴；(2)由(1)知，，∴，①∴，②①②得，，∴.16．(2024·山西高三月考)已知数列中，，(1)证明：数列是等比数列(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：由，知又，∴是以为首项，3为公比的等比数列(2)解：由(1)知，∴，两式相减得∴17．(2024·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)记是正项数列的前n项和，是6和的等比中项，且.(1)求的通项公式；(2)若等比数列的公比为，且成等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为是6和的等比中项，所以，当时，，由得，化简得，即或者(舍去)，故，数列为等差数列.因为，解得或(舍去)，所以数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以.(2)由成等差数列，可得，可得，又，所以，所以.由(1)得，所以，，两式相减得，所以.18．(2024·深州长江中学高三期中)在各项均为正数的等比数列中，，，(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)记，求数列的前n项和．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)设等比数列的首项为，公比为q()，由己知得，则解得，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以(1)(2)由(1)(2)，得∴．19．(2024·广东肇庆市·高三月考)已知数列的前n项和为，．(1)求；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，数列满足，当时，可得，两式相减，可得，整得，即，当时，可得，解得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以.(2)由(1)知，则设，数列的前项和分别为，则，两式相减得，所以，又由，所以数列的前n项和.20．(2024·沙坪坝区·重庆一中高三月考)已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列.(1)证明数列等比数列；(2)已知数列前n和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.【答案】(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析.【解析】(1)由条件可知，即，∴，且∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴(2)条件①：，利用错位相减法:化简得条件②：利用错位相减法:化简得21．(2024·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知等差数列满足，数列是以1为首项，公差为1的等差数列.(1)求和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因为，所以，，，因为等差数列，所以，即，解得，所以，，．因为数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以，．(2)由(1)得，所以，①，②①-②得，所以．22．(2024·广东深圳市·福田外国语高中)已知数列的前n项和为，点在直线，上．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵点在直线上，，∴．当时，，则，当时，，．两式相减，得，所以．所以是以首项为2，公比为2等比数列，所以．(2)，，所以．23．(2024·稷山县稷山中学高三月考())已知等差数列，为其前项和，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设数列的首项为，公差为，则根据题意得：由，解得，所以.(2)，则.24．(2024·江苏无锡市)在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若________，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．【答案】(1)；(2)答案不唯一，见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意得，，解得．；(2)选条件①：，；选条件②：，，，当为正偶数时，；当为正奇数时，为偶数，.．25．(2024·全国高三专题练习)在等差数列中，已知，.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.(1)求数列的通项公式；(2)若______，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为，则，即，解得，故.(2)选①，由得，.选②，.当为偶数时，；当为奇数时，.故选③，由得，，①，②①-②得，，故.26．(2024·江苏扬州市)在等差数列中，，再从条件①､条件②设数列的前项和为，这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；(1)；(2).【解析】(1)若选①设数列公差为，由，则即，∴.若选②设数列公差为，因为，则，所以，则，.所以.(2)由题得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.27．(2024·长春市第五中学高三期中)已知数列的前项和，，数列是等差数列，且，．(1)求数列和