课时作业43 椭圆（教师版）

课时作业43椭圆1．(2024·江西高三其他模拟())如图，是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点且，，则()A．2 B． C．3 D．4【答案】A【解析】由可得：因为，所以点是线段的中点，设椭圆的右焦点为，则是的中点，所以，由椭圆的定义可知：，所以，故选：A.2．(2024·全国课时练习)已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝()A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3【答案】C【解析】由＝1可知，，所以，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，∴可设P(2，y)，把P(2，y)代入椭圆，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故选：C3．(2024·上海市莘庄中学)平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和，且为常数)成立是定值．若动点到两定点的距离之和，且为常数)，当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．4．(2024·重庆)已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点是椭圆上位于第一象限的点，，所以，为锐角，因为是顶角为的等腰三角形，但，故，所以，，由余弦定可得，由椭圆定可得，故.故选：A.5．(2024·江苏南通市)设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在轴上，，则，椭圆上存在点满足，如图所示，则，即，所以，即，得；若焦点在轴上，，则，则，即，所以，即，得；所以的取值范围是.故选：C.6．(2024·江西高三其他模拟())若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为()A．9 B．6 C．4 D．1【答案】C【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以，，所以，所以，解得.故选：C7．(2024·福建龙岩市)已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】解：椭圆的一个焦点为，，，，椭圆方程为．故选：．8．(2024·江西赣州市)已知椭圆的右焦点为，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为右焦点为，故焦点在轴上且，故，故选：C.9．(2024·广西百色市)“”是“方程表示焦点在轴的椭圆”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得；又由当则必有，但若则不一定有成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B．10．(2024·河南郑州市)设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为()A． B． C． D．【答案】D【解析】在椭圆中，，，则，所以，，设点，则，可得，，解得，，因此，的面积为.故选：D.11．(2024·全国高三专题练习)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，，即，，.故选：A.12．(2024·江苏)若椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：，即，由椭圆的离心率，解得：，∴椭圆的标准方程：故选：B13．(2024·全国课时练习)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且，因此椭圆的方程是.故选：C14．(多选)(2024·山东滨州市·高三一模)已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是()A．B．直线与直线的斜率之积为C．存在点满足D．若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【解析】由题意，，，，，短轴一个顶点，，A错；设，则，，所以，B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，，，则，，D正确．故选：BD．15．(多选)(2024·武冈市第二中学)已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为()A． B． C． D．【答案】AC【解析】∵在直线上，所以,即,解得或,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,故选:AC.16．(多选)(2024·山东聊城市)已知五个数1，，，，16成等比数列，则曲线的离心率可以是()A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意，，，曲线方程为或，方程为时，离心率为，方程为，离心率为．故选：AC．17．(2024·陕西西安市·高三月考())已知椭圆左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．【答案】【解析】如下图所示：由已知条件可知，在中，，，，则，由椭圆的定义可得，即，.故答案为：.18．(2024·安徽芜湖市·)已知F1，F2为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.【答案】【解析】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，所以，解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，故答案为：19．(2024·上海市西南位育中学)已知Р为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则_____【答案】【解析】由椭圆，可得、由条件可得由余弦定可得所以，即所以故答案为：20．(2024·江苏南通市)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.【答案】1【解析】由已知得，，因为，所以，所以，所以当三点共线时，最小，即.故答案为：1.21．(2024·广西百色市)已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则，．在直角三角形中，令，则由椭圆定义得椭圆的离心率．故答案为：．22．(2024·内蒙古赤峰市·高三期末())已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．【答案】【解析】由已知得，所以，由椭圆定义得，由余弦定得，即，，则的面积为.故答案为：.23．(2024·广东梅州市)已知过点的椭圆C的焦点分别为，，则椭圆C的标准方程是___________.【答案】【解析】由题意，，所以,

所以椭圆方程为．故答案为：．24．(2024·安徽省临泉第一中学)椭圆的离心率等于______.【答案】【解析】由题意，所以，离心率为．故答案为：．25．(2024·湖南常德市一中高三月考)写一个离心率是椭圆的离心率4倍且焦点在轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知，，则，所以椭圆的离心率，则双曲线的离心率，则双曲线中，即，得，令，则，所以满足条件的一个双曲线方程是.故答案为：(答案不唯一)26．(2024·全国高三专题练习)过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为__________．【答案】【解析】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线经过圆的圆心，故直线的斜率；故答案为：．27．(2024·六安市裕安区新安中学)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆定义知，，所以，所以，所求椭圆标准方程为．(2)设直线与椭圆的交点为，，联立方程，得，得，．设的中点坐标为，则，，所以中点坐标为．28．(2024·河南高三月考())已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】解：(1)因为椭圆C过点，所以．①又椭圆C的离心率为，所以，故．②联立①②得解得故椭圆C的标准方程为．(2)当直线l的斜率不存在时，，所以，故直线l的斜率存在，设直线．联立消去y并整得，则．，同．因为，解得，所以，又因为，所以．29．(2024·吉林长春市·高三二模())已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)设椭圆半焦距为由题意可知，由离心率有，所以椭圆方程为，(2)设直线，联立方程组，消去得，设