初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题04一次函数实际问题的五种考法含答案及解析

专题04一次函数实际问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、费用最少问题 2类型二、利润最大问题 3类型三、最佳方案问题 4类型四、行程问题 6类型五、分段函数问题 8压轴能力测评 91.根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题;②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化：有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.2.一次函数的应用(1)分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际;(2)函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数(3)概括整合①简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用②理清题意是采用分段函数解决问题的关键.类型一、费用最少问题先将费用的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大的问题。例．2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．【变式训练1】．为锻炼身体，增强体质，某户外俱乐部组织队员去效游，需要购买雨伞和保温杯．已知购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元．(1)求购买1把雨伞和1个保温杯各需多少元；(2)若购买雨伞和保温杯的总数为30，总费用不少于479元且不多于502元，则有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【变式训练2】．某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？(2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【变式训练3】．五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元．(1)求每个足球和足球锥形桶的单价；(2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．类型二、利润最大问题先将利润的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大问题。例．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？【变式训练1】．“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？【变式训练2】．为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张．(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱．【变式训练3】．某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多23(1)求甲、乙两种水果每件的进货价格；(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．类型三、最佳方案问题例．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元．（1）当时，①求关于的函数关系式．②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案．（2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值．【变式训练1】．某酒店新装修，计划购买，，三种型号的餐桌共套．已知一套型餐桌（一桌四椅）需600元，一套型餐桌（一桌六椅）需800元，一套型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求购买型餐桌的套数是型餐桌的2倍，设购买套型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元．（1）当时，①求关于的函数关系式．②若购买的型餐桌套数与型餐桌套数的差不超过12桌，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案．（2）已知学校实际购买三种餐桌的总费用为16万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值．（直接写出答案）【变式训练2】．某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校参加这项活动的教师有5名，学生有x名．（1）设购票付款为y元，请写出y与x的关系式．（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？【变式训练3】．康乐公司在两地分别有同型号的机器台和台，现要运往甲地台，乙地台，从两地运往甲、乙两地的费用如下表：甲地（元／台）乙地（元／台）地地（1）如果从地运往甲地台，求完成以上调运所需总费用（元）与（台）之间的函数关系式；（2）请你为康乐公司设计一种最佳调运方案，使总费用最少，并说明理由类型四、行程问题（1）速度路程时间；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）结合情况，分类讨论。例．甲和乙平时的耐力与速度相差无几，某日体育课上，老师设计了一个赛跑方案，让甲从起跑就全速前进，而让乙留着后劲儿，跑到一半时再用尽全力向前冲，并跟踪记录了赛跑的全过程，赛跑的全过程如图所示．

(1)求甲此次比赛中的平均速度；(2)当时，求乙跑过的路程与时间的函数表达式；(3)直接写出两人相距10米的时间．【变式训练1】．某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中方案一收费方式对应，方案二的收费方式对应．

(1)求方案一和方案二的函数关系式；(2)①请说出图中点A的实际意义，②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km，那么小明选择哪个方案最省钱？请说明理由；(3)请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离．【变式训练2】．甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．(1)A、B两地的距离为；(2)求乙的速度；(3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)直接写出两车相距时的行驶时间．【变式训练3】．甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往B地，他们的行驶路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时间）．(1)甲、乙两人，先到达B地；甲在充电之前的速度为千米/时；(2)若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？(3)在（2）的条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时相距30千米？类型五、分段函数问题求函数解析式时，在自变量的范围内求出各自的函数解析式，自变量不同，解析式一般也不一样。再根据题意，求解其它问题。例．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：(1)分别求出当和时，与的函数关系式；(2)若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？(3)若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？【变式训练1】．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．(1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；(2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度?【变式训练2】．为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费。每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图3所示．

(1)求与之间的函数表达式；(2)若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量．【变式训练3】．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某用户居民每月应交水费（元）是用户量（方）的函数，其图像如图所示，根据图像回答下列问题：(1)分别求出和时，与的函数关系式；(2)自来水公司的收费标准是什么？(3)若某户居民交水费9元，该月用水多少方？1．某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票；若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a＝_______，b＝_______；（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，求甲团人数与乙团人数．2．曹州牡丹园售票处规定：入园门票每张80元．非节假日的票价打6折售票；节假日根据团队人数实行分段售票：不超过10人，则按原票价购买；超过10人，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原票价打8折购买．某旅行社带团x人到牡丹园游览，设非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元．求：（1）当x＞10时，y1、y2与x的函数关系式；（2）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到牡丹园游览，甲、乙两个团各25人，请问乙团比甲团便宜多少元？3．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用，问：学校应如何购买，花费资金最少，最少资金是多少？4．为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．(1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？(2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．5．某公司准备组织20辆汽车将三种水果共100吨运往外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：水果品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨水果获利（元）140015001200(1)设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，求与之间的函数关系式；(2)如果装运每种水果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时的最大利润．6．2020年“新冠肺炎”疫情中，某药房从市场得知如下信息：A型口罩B型口罩进价（元/个）售价（元/个）该药房计划用4.4万元资金一次性购进这两种型号口罩共10000个，设该药房购进A型口罩x个，这两种型号口罩全部销售完后获得利润为y元．(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)怎样进货，该药房可获利最大？最大利润是多少元？7．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后才乘上缆车，缆车的平均速度为．设小亮出发后行走的路程为，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．(1)小亮行走的总路程是m，他途中休息了；(2)①当时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？8．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题．(1)小王骑自行车的速度为______；(2)求的函数表达式；(3)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的取值范围．9．温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：）与摄氏度（单位：），已知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，如表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏温度x（）…0…35…100…华氏温度y（）…32…95…212…(1)选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；(2)有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当天漠河的气温．10．某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同．(1)求甲、乙两种文创产品的单价；(2)若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案．

专题04一次函数实际问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、费用最少问题 2类型二、利润最大问题 6类型三、最佳方案问题 10类型四、行程问题 14类型五、分段函数问题 21压轴能力测评 251.根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题;②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化：有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.2.一次函数的应用(1)分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际;(2)函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数(3)概括整合①简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用②理清题意是采用分段函数解决问题的关键.类型一、费用最少问题先将费用的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大的问题。例．2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；(2)当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关键．（1）设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）中单价，由费用=单价×数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可．【详解】（1）解：设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，根据题意，得，解得，答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；（2）解：根据题意，得，∵，，∴W随m的增大而增大，∴当时，W有最小值，最小值为，（盆），答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元．【变式训练1】．为锻炼身体，增强体质，某户外俱乐部组织队员去效游，需要购买雨伞和保温杯．已知购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元．(1)求购买1把雨伞和1个保温杯各需多少元；(2)若购买雨伞和保温杯的总数为30，总费用不少于479元且不多于502元，则有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元(2)有五种购买方案(3)购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程和不等式．（1）设购买1把雨伞需元，购买1个保温杯需元，根据购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元，列出方程组，解方程组即可；（2）设购买雨伞把，则购买保温杯把，根据总费用不少于479元且不多于502元，列出不等式组，解不等式组即可；（3）设总费用为元，列出w关于x的函数解析式，根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：设购买1把雨伞需元，购买1个保温杯需元，根据题意，得：，解得：，答：购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元．（2）解：设购买雨伞把，则购买保温杯把，根据题意，得：，解得：，为整数，可取20，21，22，23，24，有五种购买方案．（3）解：设总费用为元，根据题意，得：，，随的增大而减小，当时，，答：购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元．【变式训练2】．某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？(2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元(2)购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键．（1）设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得解；（2）设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．【详解】（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，由题意得：，

解得．

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，由题意得：，解得，

，即：，

，随m的增大而增大．当时，w取得最小值780，

．

答：购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【变式训练3】．五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元．(1)求每个足球和足球锥形桶的单价；(2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元(2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识．（1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解；（2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解．【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元．依题意，得，解得：，答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元；（2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，则，由题意得：，∴，∵，∴W随a的增大而增大，∴当时，，（个）．答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元．类型二、利润最大问题先将利润的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大问题。例．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元(2)该商店共有7种进货方案(3)该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，元【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程或不等式是解题的关键．（1）设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据购买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可；（2）设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套，根据条件中的不相等关系建立不等式组求出其解即可；（3）设总利润为元，根据总利润种纪念品的利润种纪念品的利润就可以表示出与的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，则：，解得：．答：进种纪念品每件需要80元，购进种纪念品每件需要50元；（2）解：设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套，由题意得，解得：．为整数，，68，69，70，71，72，73．该商店共有7种进货方案；（3）解：设总利润为元，由题意，得，，随的增大而增大，该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，（元），答：该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，最大利润是2730元．【变式训练1】．“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元(2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键．（1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可．【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元．根据题意，得，解得，甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元．（2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个．根据题意，得，，随的增大而增大，，当时，取最大值，，此时（个，购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元．【变式训练2】．为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张．(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱．【答案】(1)弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元；(2)购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用．【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题．（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张”列分式方程解答即可；（2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得：解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元；（2）解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，由题意得：，解得；设购买休闲椅所需的费用为元，则，即，，随的增大而增大，当时，有最小值，；答：购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用【变式训练3】．某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多23(1)求甲、乙两种水果每件的进货价格；(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．【答案】(1)甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元(2)利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元【分析】此题考查一次函数的应用和分式方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的求解是解题的关键．（1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元，利用数量总价单价，结合花元购进甲种水果的件数比花元购进乙种水果的件数少5件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙种水果每件的进货单价，再将其代入中，即可求出甲种水果每件的进货单价；（2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润每件的销售利润销售数量（进货数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元，根据题意得：，解得：x=30，经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，∴．答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元；（2）解：设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件，根据题意得：，解得：，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，则，即，∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w取得最大值，最大值，此时，∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元．类型三、最佳方案问题例．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元．（1）当时，①求关于的函数关系式．②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案．（2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值．【答案】（1）①，②A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套，169200元；（2），m=1144【分析】（1）①根据“总费用=A型餐桌的费用+B型餐桌的费用+C型餐桌的费用”即可求解；②根据题意列出不等式组，求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解；（2）根据总费用为180000元，列出方程，解方程求得，再由求得，根据题意求得m与n的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得当时，．【详解】（1）①由题意可知．②∵，．∵，∴y随的增大而增大，∵为整数，∴当时，（元），此时具体的购买方案为：A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套．（2）由题意可知，．∴，∵，∴，又由，∵，∴随的增大而减小，∴当时，．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确列出函数的解析式及求得自变量的取值范围是解决问题的关键．【变式训练1】．某酒店新装修，计划购买，，三种型号的餐桌共套．已知一套型餐桌（一桌四椅）需600元，一套型餐桌（一桌六椅）需800元，一套型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求购买型餐桌的套数是型餐桌的2倍，设购买套型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元．（1）当时，①求关于的函数关系式．②若购买的型餐桌套数与型餐桌套数的差不超过12桌，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案．（2）已知学校实际购买三种餐桌的总费用为16万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值．（直接写出答案）【答案】（1）①；②最小为（元），此时具体的购买方案是：，，三种型号的餐桌分别购买30套、70套、60套；（2），．【分析】（1）①根据总费用是三种费用之和列出函数关系式，然后把n=160代入即可；②根据“购买的B型餐桌套数与C型餐桌套数的差不超过12套”列出不等式，求出n的最小值，然后再求出总费用即可；（2）先用x的代数式表示出m，再求出n的最小值，最后求出m的值．【详解】解：（1）①由题意，得，∴．②由题意，得，解得，又∵为整数，，随的增大而增大，∴当时，最小，为（元），此时具体的购买方案是：，，三种型号的餐桌分别购买30套、70套、60套．（2）由题意得：，化简得，又，∴，即，，∵为正整数，∴的最小值为185，，可见，越小，和都越大，∴当时，．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，将实际问题转化为数学问题成为解答本题的关键．【变式训练2】．某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校参加这项活动的教师有5名，学生有x名．（1）设购票付款为y元，请写出y与x的关系式．（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？【答案】（1）第一种方案：y＝78x+500，第二种方案：y＝80x+400；（2）当学生人数少于50人时，按方案二购买，当学生人数为50人时，两种方案一样，当学生人数超过50人时，按方案一购买．【分析】（1）根据两种不同的付款方案分别列出两种y与x的关系式；（2）根据两种方案中其中之一更便宜可以得到不等式，解此不等式可知根据夏令营的学生人数选择购票付款的最佳方案．【详解】解：（1）由题意可得，第一种方案中：y＝5×100+100x×78%＝78x+500，第二种方案中：y＝100（x+5）×80%＝80x+400；（2）如果第一种方案更便宜，则有，78x+500＜80x+400，解得，x＞50，如果第二种方案更便宜，则有，78x+500＞80x+400，解得，x＜50，如果两种方案价格一样，则有，78x+500=80x+400，解得，x=50，∴当学生人数少于50人时，按方案二购买，当学生人数为50人时，两种方案一样，当学生人数超过50人时，按方案一购买．【点睛】本题主要考查一次函数在实际中的应用，根据人数、价格和优惠方案找出等量关系，列出一次函数关系式．【变式训练3】．康乐公司在两地分别有同型号的机器台和台，现要运往甲地台，乙地台，从两地运往甲、乙两地的费用如下表：甲地（元／台）乙地（元／台）地地（1）如果从地运往甲地台，求完成以上调运所需总费用（元）与（台）之间的函数关系式；（2）请你为康乐公司设计一种最佳调运方案，使总费用最少，并说明理由【答案】（1）（2）最佳方案是：由地调3台至甲地，14台至乙地，由地调15台至甲地【详解】解：（1）2分（2）由（1）知：总运费．，又，……………3分随的增大，也增大，当时，（元）．……………4分该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由地调3台至甲地，14台至乙地，由地调15台至甲地．

……………5分类型四、行程问题（1）速度路程时间；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）结合情况，分类讨论。例．甲和乙平时的耐力与速度相差无几，某日体育课上，老师设计了一个赛跑方案，让甲从起跑就全速前进，而让乙留着后劲儿，跑到一半时再用尽全力向前冲，并跟踪记录了赛跑的全过程，赛跑的全过程如图所示．

(1)求甲此次比赛中的平均速度；(2)当时，求乙跑过的路程与时间的函数表达式；(3)直接写出两人相距10米的时间．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据速度路程时间求解即可；（2）利用待定系数法求函数解析式即可；（3）结合图象，分情况讨论：在这段时间，两人相距；在这段时间，乙追上甲之前两人相距；在这段时间，乙超过甲；在这段时间，相距，分别求解即可．【详解】（1）解：，答：甲此次比赛中的平均速度是；（2）设当时，乙跑过的路程与时间的函数表达式，点和在该函数图象上，，解得，当时，乙跑过的路程与时间的函数表达式；（3）由图象可知，当时，乙的平均速度是，在这段时间，两人相距，此时，解得；在这段时间，乙追上甲之前两人相距，，解得；在这段时间，乙超过甲，，解得；在这段时间内，，解得（不合题意，舍去）；综上所述，当或或时，两人相距．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．【变式训练1】．某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中方案一收费方式对应，方案二的收费方式对应．

(1)求方案一和方案二的函数关系式；(2)①请说出图中点A的实际意义，②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km，那么小明选择哪个方案最省钱？请说明理由；(3)请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离．【答案】(1)；(2)①当行驶距离为时，两种方案收费相同，均为12元；②小明选择方案二更省钱(3)行驶距离在和时，两种方案相差3元【分析】此题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，读懂图象，数形结合是解题的关键．（1）由图象可知所经过的点，用待定系数法求解即可；（2）点的实际意义为当行驶距离为时，两种方案收费相同；由图象可知，当行驶距离超过时，，即方案二更省钱.（3）两种收费相差3元，分前和后两种情况分别计算即可得到答案．【详解】（1）方案一：设，把点代入中，得，，即，方案二：由图象可知，当时，，当时，设，把点和点代入中，得：，解得：，，；（2）①点的实际意义为当行驶距离为时，两种方案收费相同，均为12元；②由图象可知，当行驶距离超过时，，即方案二更省钱.小明选择方案二更省钱；（3）当时两种收费相同，两种收费相差3元，分前和后两种情况，①当时，离越近收费相差的越少，当时，，，，要使两种收费相差3元，应小于2，，解得：；②当时，，解得：.行驶距离在和时，两种方案相差3元.【变式训练2】．甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．(1)A、B两地的距离为；(2)求乙的速度；(3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)直接写出两车相距时的行驶时间．【答案】(1)(2)(3)(4)两车相距时行驶时间为小时或小时【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的应用．（1）直接根据图象和题意即可得到答案；（2）根据路程及行驶时间列方程并解方程即可求出答案；（3）利用待定系数法求出函数解析式即可；（4）分两车相向而行和两车各自返回两种情况，分别列方程并解方程即可求出答案．【详解】（1）解：由题意，根据函数图象可知，A、B两地的距离为，故答案为：（2）解：设乙的速度为，则，解得，答：乙的速度为；（3）解：设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，把点，代入得，解得，，∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为；（4）两车相距分两种情况：①设两车相向而行时，两车相距时行驶时间为t小时，则，解得，②设两车各自返回时，两车相距时行驶时间为n小时，则解得，答：两车相距时行驶时间为小时或小时．【变式训练3】．甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往B地，他们的行驶路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时间）．(1)甲、乙两人，先到达B地；甲在充电之前的速度为千米/时；(2)若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？(3)在（2）的条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时相距30千米？【答案】(1)甲，50(2)2小时(3)当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握从函数图象获取信息和待定系数法求一次函数解析式是关键．（1）依据题意，由图象可得，甲先到达地；再设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，结合过，，求出乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，再令，则，结合图象可得甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过，再设甲在充电前的函数为，求出关系式即可判断得解；（2）依据题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时），进而可以判断得解；（3）依据题意，设甲在充电后的函数关系式为，又过，，进而求出甲在充电后的函数关系式为，再结合图象当时，甲乙首次距距离相等，然后联列，求出的横坐标为5.5，又行驶小时，两人相距30千米，从而分当时、当时、当时和当时进行讨论计算可以得解．【详解】（1）解：由图象可得，甲先到达地．由题意，设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，又过，，．．乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为．令，则．甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过，又设甲在充电前的函数为，．．甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为．甲在充电前的速度为（千米小时）．故答案为：甲；50．（2）解：由题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时）．（3）解：由题意，设甲在充电后的函数关系式为，又过，，．．甲在充电后的函数关系式为．又结合图象当时，甲乙首次距距离相等．联列，．的横坐标为5.5．设行驶小时，两人相距30千米，①当时，．．②当时，．．③当时，．．④当时，．．综上，当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米．类型五、分段函数问题求函数解析式时，在自变量的范围内求出各自的函数解析式，自变量不同，解析式一般也不一样。再根据题意，求解其它问题。例．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：(1)分别求出当和时，与的函数关系式；(2)若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？(3)若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？【答案】(1)当时，；当时，(2)应缴费元(3)该用户该月用了度电【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，通过一次函数的图象获取有用的信息是解答本题的关键．（1）当时，设与的函数关系式是，把代入求解，得到与的函数关系式，当时，设与的函数关系式是，把，代入求解，即得答案；（2）当时，代入计算即得答案；（3）因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度，将代入计算即得答案，

．【详解】（1）当时，设与的函数关系式是，则有，解得，与的函数关系式是；当时，设与的函数关系式是，则有，解得，与的函数关系式；（2）当时，（元），该用户某月用了度电，应缴费元；（3）该用户某月缴费元，该用户该月用电量超过度，将代入，得，解得，该用户该月用了度电．【变式训练1】．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．(1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；(2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度?【答案】(1)当时，；时，(2)小明家12月份用电260度【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后代值计算即可．（1）根据题意可直接列出函数关系式；（2）由（1）可直接代值计算求解．【详解】（1）解：当时，y与x的函数解析式是；当时，y与x的函数解析式：，即；（2）因为小明家5月份的电费超过元，所以把代入中，解得．答：小明家12月份用电260度．【变式训练2】．为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费。每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图3所示．

(1)求与之间的函数表达式；(2)若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量．【答案】(1)(2)乙用户该月的用电量．【分析】（1）分两种情况讨论：①当时，设；②当时，设，利用待定系数法分别求出解析式即可得到与之间的函数表达式；（2）将代入，求出的值，即可得到答案．【详解】（1）解：①当时，设，则，解得：，；②当时，设，则，解得：，；与的函数表达式为（2）解：，乙用户某月需缴电费132元，适用，将代入，得：，解得：，答：乙用户该月的用电量．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件．【变式训练3】．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某用户居民每月应交水费（元）是用户量（方）的函数，其图像如图所示，根据图像回答下列问题：(1)分别求出和时，与的函数关系式；(2)自来水公司的收费标准是什么？(3)若某户居民交水费9元，该月用水多少方？【答案】(1)当时，；当时，(2)每户每月用水量不超过5方的，按每方元收费；超过5方时，其中的5方按每方元收费，超过5方的部分，按每方元收费(3)10方【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；（2）根据（1）的结论中的两个函数的一次项系数即可得；（3）先根据判断出用水量超过了5方，再将代入函数求出的值即可得．【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，将点代入得：，解得，则当时，与的函数关系式为，当时，设与的函数关系式为，将点代入得：，解得，则当时，与的函数关系式为．（2）解：由（1）可知，当时，；当时，，则自来水公司的收费标准是每户每月用水量不超过5方的，按每方元收费；超过5方时，其中的5方按每方元收费，超过5方的部分，按每方元收费．（3）解：因为，所以这户居民的月用水量超过了5方，则将代入得：，解得，答：该月用水10方．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图像，熟练掌握待定系数法是解题关键．1．某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假日根据团队人数x（人）实行分段售票；若x≤10，则按原展价购买；若x＞10，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原那价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y2与x之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a＝_______，b＝_______；（2）当x＞10时，求y2与x之间的函数表达式；（3）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计50人，共付门票款3120元，求甲团人数与乙团人数．【答案】（1）6，8；（2）y2＝64x＋160（x＞10），（3）甲团有35人，乙团有15人．【分析】（1）根据原票价和实际票价可求a、b的值，m的值可看图得到；（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式；（3）设甲团有m人，乙团有n人，根据题意分情况列出方程组即可求解．【详解】解：（1）门票定价为80元/人，那么10人应花费800元，而从图可知实际只花费480元，是打6折得到的价格，所以a＝6；从图可知10人之外的另10人花费640元，而原价是800元，可以知道是打8折得到的价格，所以b＝8，故答案为：6，8；（2）当x＞10时，设y2＝kx＋b．∵图象过点（10，800），（20，1440），∴，解得，∴y2＝64x＋160（x＞10），（3）设甲团有m人，乙团有n人．由图象，设y1＝px，把（10，480）代入得480＝10p，解得p=48∴y1＝48x，当m＞10时，依题意，得，解得，当m≤10时，依题意，得，解得，不符合题意，舍去∴甲团有35人，乙团有15人．【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系式．2．曹州牡丹园售票处规定：入园门票每张80元．非节假日的票价打6折售票；节假日根据团队人数实行分段售票：不超过10人，则按原票价购买；超过10人，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原票价打8折购买．某旅行社带团x人到牡丹园游览，设非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元．求：（1）当x＞10时，y1、y2与x的函数关系式；（2）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到牡丹园游览，甲、乙两个团各25人，请问乙团比甲团便宜多少元？【答案】（1）y1＝48x；y2＝64x+160；（2）560元【分析】（1）根据题意,当x＞10时，非节假日六折票价为元，y1＝48x；节假日其中10人按原票价购买为元，超过部分的按原票价打8折购买为，两者相加可得y2与x的函数关系式；（2）根据（1）的结果代数计算出甲团和乙团的花费，从而可以得到乙团比甲团便宜多少元．【详解】解：（1）当x＞10时，y1＝0.6×80x＝48x；y2＝0.8×80（x﹣10）+80×10＝64x+160；（2）甲团的花费为：64×25+160＝1760（元），乙团的花费为：80×25×0.6＝1200（元），1760﹣1200＝560（元），答：乙团比甲团便宜560元．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用中的方案问题，理解题意并按照要求列出函数表达式是解答关键.3．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用，问：学校应如何购买，花费资金最少，最少资金是多少？【答案】(1)甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元(2)购买甲书柜13个，乙书柜11个时，资金最少，最少资金4980元【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数解决实际问题．（1）设每个甲种书柜是x元，每个乙种书柜是y元，根据“购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”即可列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，根据“购买乙种书柜的费用不少于购买甲种书柜的费用”列出不等式，求出m的取值范围．进一步求出所需资金w与m的函数解析式，根据一次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：设每个甲种书柜是x元，每个乙种书柜是y元，由题意得，解得：，答：每个甲种书柜是180元，每个乙种书柜是240元；（2）解：设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，由题意得：，解得：，所需资金，，随的增大而减小，，且为整数，当时，w取最小值，为（元），此时（个）答：购买甲书柜13个，乙书柜11个时，资金最少，最少资金为4980元．4．为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．(1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？(2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元(2)当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元【分析】（1）设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列方程求解即可；（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．先根据“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，根据题意列出W与x的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出W的最小值。本题主要考差了列分式方程解应用题，以及一元一次不等式和一次函数的实际应用。根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键。【详解】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据题意，得，解得，经检验，是所列分式方程的解，（元），∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．根据题意，得，解得；设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，，∴W随x的增大而增大，∵，∴当时，W的值最小，，此时（个），∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．5．某公司准备组织20辆汽车将三种水果共100吨运往外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：水果品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨水果获利（元）140015001200(1)设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，求与之间的函数关系式；(2)如果装运每种水果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时的最大利润．【答案】(1)且为整数）(2)安排方案共有5种．方案一：装运种水果4车，种水果12车，种水果4车；方案二：装运种水果5车，种水果10车，种水果5车；方案三：装运种水果6车，种水果8车，种水果6车；方案四：装运种水果7车，种水果6车，种水果7车；方案五：装运种水果8车，种水果4车，种水果8车(3)当装运种水果4车，种水果12车，种水果4车时，获利最大，最大利润为14.28万元【分析】本题考查了一次函数的应用，解决的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．（1）设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，车辆数之和，从而得到，恒等变形即可得到答案；（2）由（1）知，装运、、三种水果的车辆数分别为，，，从而得到，解不等式后，根据为整数，分类讨论即可得到答案；关系式为：装运每种水果的车辆数；（3）总利润为装运种水果车辆数装运种水果的车辆数装运种水果的车辆数，得到，然后按的取值，结合一次函数性质来判定即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，那么装运种水果的车辆数为，则有，整理得且为整数）；（2）解：由（1）知，装运、、三种水果的车辆数分别为，，，由题意得，解得，为整数，的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种：方案一：装运种水果4车，种水果12车，种水果4车；方案二：装运种水果5车，种水果10车，种水果5车；方案三：装运种水果6车，种水果8车，种水果6车；方案四：装运种水果7车，种水果6车，种水果7车；方案五：装运种水果8车，种水果4车，种水果8车；（3）解：，设利润为（百元）则得到，，的值随的增大而减小，要使利润最大，则，故选方案一获利最大，最大值为：（百