方法技巧专题17 函数不等式的证明(解析版)

方法技巧专题函数不等式的证明解析篇一、函数不等式的证明知识框架二、构造辅助函数证函数不等式解题技巧：解题技巧：把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.解题程序：移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为0，另一端即为所构造的辅助函数；求，并求在指定区间上的单调性；求在指定区间上的最值，作比较即得所证.1.例题【例1】已知函数，求证：当时，恒有【解析】∴当时，，即在上为增函数当时，，即在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴（右边得证），现证边面，令，当，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即∴，综上可知，当【例2】证明当【解析】不等式两边取对数得，可化为令（），求导得，所以在上单调递减，又，所以，所以即所以【例3】证明：对任意的正整数n，不等式都成立.【解析】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有即，∴对任意正整数n，取2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；【解析】设，即，则=当时，=从而在上为增函数，∴∴当时，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。【练习2】若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求证： 【解析】由已知x+>0∴构造函数，则x+>0，从而在R上为增函数。∴即a>b【练习3】已知函数，设,证明：.【解析】证明：对求导,则.在中以b为主变元构造函数,设,则.当时，,因此在内为减函数.当时,,因此在上为增函数.从而当时,有极小值.因为所以,即又设.则.当时,.因此在上为减函数.因为所以,即.三、函数不等式的变形原理【一】幂函数与的积商形式对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含的式子，如，需两次求导才能化成不含的式子，如果把分离出来，只需一次求导就可化成不含的式子，所以，在解决这类问题时，方法是：尽可能把分离出来.1.例题【例1】已知函数,曲线在点处的切线方程为y=2（1）求a,b的值；（2）当且时，求证：【解析】（1）∵，由直线的斜率为0，且过点得，化简得：，解得：，.（2）.当时，不等式，当时，不等式.令，.当时，，所以函数在单调递增，当时，，故成立.当时，，故也成立.所以当且时，不等式总成立.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，所以.又曲线在点处的切线与直线平行，所以，即.（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：+0-极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极大值，的极大值为.（3）当时，.由于，要证，只需证明，令，则.因为，所以，故在上单调递增，当时，，即成立．故当时，有，即.【二】幂函数、与的混合形式对于同时含有幂函数、对于同时含有幂函数、与的形式，一般的处理方法或思路是：把与含幂函数形式的代数式配对；把与含幂函数形式的代数式配对.1.例题【例1】设函数.（1）求在区间[1，2]上的最小值；（2）证明：对任意的，都有.【解析】（1）由题，令，则，令，解得，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴，∴在区间上单调递增，∴.（2）证明：要证，只要证，从而只要证，令，，∴，，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，∴，，∴对任意的，都有.（等号不能同时取得），【例2】已知函数.(1)若上存在极值，求实数的取值范围；(2)求证：当时，．【解析】（2）要证即证令，则再令，则当时，，∴在上是增函数，∴∴，∴在上是增函数∴当时，∴令，则当时，，∴即在上是减函数∴当时，所以，即2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：【解析】（1）函数的定义域为，求导得，令，令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，所以单调增区间为减区间为．g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，所以的单调减区间为；证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于，由（1）有所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜ex-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.【练习2】已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.【解析】（1）函数，当且时，；当时，，所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是.（2）问题等价于.令，则，当时，取最小值.设，则.在上单调递增，在上单调递减.∴，∵，∴，∴，故当时，.四、函数不等式的单零点—隐零点问题对于对于隐零点问题，题目结构特征往往呈现出指数函数、对数函数、幂函数三者中的两者混合形态，之所以要引入隐零点，归根到底还是导数零点无法求出，在引入隐零点后，接下来的转换原则概括为：“指对幂上转”，意思是：把指数结构、对数结构往幂函数上转换.1.例题【例1】已知函数在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求证：．【解析】(1)函数的导数为，函数在点处的切线斜率为，由切线方程，可得，，解得，；(2)证明：，导数为，，易知为增函数，且.所以存在,有,即，且时，，递增；时，，递减，可得处取得最小值，可得成立．【例2】设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则．【解析】（1）因为在上单调递增,所以恒成立.令,当,在上单调递增,依题意有,得（2）由（1）可知,在上单调递增,当时,,,存在,使得,且当时,,即,在上单调递减当时,,即,在上单调递增所以在上的最小值为,,,,即成立或者,,即成立【例3】已知函数．（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；（2）若，求证：．【解析】（1），则为切线斜率．又，∴切点为．∴曲线在处切成方程为．当时，，当时，（易知）则切线与坐标轴围成三角形面积为．∴得．所以或．（2）法一：时，要证的不等式为，即．令，则．易知递增，，，∴仅有一解且，即．当时，，递减；当时，，递增．从而最小值为∴，故原不等式成立．法二：时，要证的不等式为．令，则．故问题化为证不等式恒成立．时，令，则，当时，，递减；当时，，递增．∴，从而原不等式成立．2.巩固提升综合练习【练习1】已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.【解析】（I），与在上单调递增在上单调递增，唯一的，使得在内有且只有一个零点（II）令，则.由（I）可知：存在使得，即：当时，，单调递减；当时，，单调递增∴【练习2】已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（1）求，的值；（2）设，求函数在上的最大值.【解析】（1）由切线方程知，当时，，∴∵，∴由切线方程知，∴（2）由（1）知，∴，当时，当时，，故单调递减∴在上的最大值为②当时∵，，∴存在，使当时，，故单调递减当时，，故单调递增∴在上的最大值为或又，，∴当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为当时，当时，，故单调递增∴在上的最大值为综上所述，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为【练习3】已知函数，其中a为非零常数．讨论的极值点个数，并说明理由；若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为【解析】解：由已知，的定义域为，，①当时，，从而，所以在内单调递减，无极值点；②当时，令，则由于在上单调递减，，，所以存在唯一的，使得，所以当时，，即；当时，，即，所以当时，在上有且仅有一个极值点.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；证明：由知．令，由得，所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，所以是的唯一极值点．令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以．从而当时，，且又因为，故在内有唯一的零点．由题意，即，从而，即．因为当时，，又，故，即，两边取对数，得，于是，整理得．五、函数不等式的双零点问题【一】双零点是二次函数的零点当研究的双零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是明确的，可根据韦达定理得到两零点之间满足的关系，消元后进一步求解.当研究的双零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是明确的，可根据韦达定理得到两零点之间满足的关系，消元后进一步求解.1.例题【例1】已知函数若在处取得极值,求函数的单调区间若是函数的两个极值点,且,求证：【解析】(1)的定义域为,,在处取得极值,.时,；时,的单调增区间为,单调减区间为,有两个极值点,,故得证【例2】已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.【解析】（1）.①当时，.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.即函数只有一个极大值点，无极小值点.②当时，，令，得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.即函数有一个极大值点，有一个极小值点.③当时，，此时恒成立，即在上单调递增，无极值点.综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当时，没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，即，所以.令，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即.【例3】已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.【解析】（1）因为，所以.因为直线的斜率为，曲线在处的切线与直线垂直，所以，即，所以.（2）因为，且的两个零点从小到大依次为，，所以，是方程的两个根，所以，，又，，，所以且，欲证，只需证，而，令，则，所以在上单调递增，所以，所以成立.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；（2）若函数在定义城内有两个极值点，，求证：．【解析】（1）因为在点处的切线与直线平行，，即故切点坐标为切线方程为（2）由题知方程在上有两个不等实根.又令则在上单调递减.即【练习2】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.【解析】（1）的定义域为，，对于函数，①当时，即时，在恒成立．在恒成立，在为增函数；②当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数，为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数．综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）由（1）知，且，故故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，所以单调递减，有得证.【二】极值点偏移问题当两零点关系不明确时，要利用降元思想，将双元不等式转化为单元不等式，具体方法如下：当两零点关系不明确时，要利用降元思想，将双元不等式转化为单元不等式，具体方法如下：设函数零点（），一般选取为主元，将，，，，建立关于的函数，用函数思想建立数量关系，借助导数证明不等式；利用转化思想，将函数不等式转化为函数单调性求解，即含有的形式化归到同一单调区间上，由建立桥梁，转化为单元不等式证明.1.例题【例1】已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．解法一：齐次构造证法1：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．于是，有，解得．另一方面，由，得，从而可得，．于是，．又，设，则．因此，，．要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，所以，为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以，有成立，．解法二变换函数证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．由，即只需证明即可．即只需证明．设，，故在，即，故．由于，故在，．设，令，则，又因为，，在，故有，即．原命题得证．解法三构造函数证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．解法四巧引变量（一）证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，需证．即只需证明，即．设，，，故在，故，故在，因此，命题得证．解法五巧引变量（二）证法5：设，，则由得，设，则，．欲证，需证，即只需证明，即，设，，故在，因此，命题得证．2.巩固提升综合练习【练习1】【2016年全国Ⅰ】已知函数QUOTE有两个零点．（I）求a的取值范围；（II）设，是QUOTE的两个零点，证明：．【解析】（Ⅰ）．（i）设，则，只有一个零点．（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在上单调递减，在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，又在上单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．【练习2】已知函数，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）【解析】∵，∴，当时，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减．不妨设，且，要证，需证，即证，又，所以只需证，即证：当时，．设，则，∴在上单调递减，又，故，原不等式成立．【练习3】已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围； （2）求证：；（3）求证：．【解析】：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．（3）构造函数，则当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，．六、课后自我检测1.已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直．（1）求的值；（2）证明：当时，．【解析】（1）；（2），，令，则，，因为，所以，所以在单调递增，，即，所以当时，．2.已知定义在上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为()A．B．C．D．【答案】D3、设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.4.已知函数,.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）当时，证明：.【解析】（1）解：因为，所以.因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得（2）解：原题等价于方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不同根.转化为，函数SKIPIF1<0与函数的图像在SKIPIF1<0上有两个不同交点.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增，在SKIPIF1<0上单调减.从而SKIPIF1<0又SKIPIF1<0有且只有一个零点是，且在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可见，要想函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像在SKIPIF1<0上有两个不同交点，所以SKIPIF1<0（3）证明：因为,，当时，要证，只需证明设，则在上单调递增，，，在上有唯一零点，因为，所以即.当时，；当时，，所以当时，取得最小值.所以.综上可知，当时，5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若都有，求证：.【解析】（1）∵，∴，∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴.（2）证明：∵，都有，∴即，设，，∴，令，，∴，∴在上单调递增，∵，，∴存在唯一使得，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，∵，，∴即，∴，令，，∵，∴在上单调递增，∴，∵，，∴.6.已知函数.（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，证明：.【解析】（1）因为为单调增函数，所以，即恒成立，，当且仅当时取等号，即．（2）证明：由（1）得，依题意可得的两个零点为，，所以，且，．所以令，．则，单调递减，因为，所以，故．7.已知函数．讨论函数的极值点的个数；若函数有两个极值点，，证明：．【解析】，，，当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，有极小值；当时，，故，在上单调递减，故此时无极值；当时，，方程有两个不等的正根，．可得，．则当及时，，单调递减；当时，；单调递增；在处有极小值，在处有极大值．综上所述：当时，有1个极值点；当时，没有极值点；当时，有2个极值点．由可知当且仅当时有极小值点和极大值点，且，是方程的两个正根，则，．；令，；，在上单调递减，故，．8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.【解析】：（1）依题意